23(12分)【问题背景】
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
【外形参数】
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线$L_1$，中间的矩形$ABCD$和下方的抛物线$L_2$组成.抛物线$L_1$的高度为8 cm，矩形$ABCD$的边$AB=8$ cm，$BC=6$ cm，抛物线$L_2$的高度为4 cm.在装置内部安装矩形电子显示屏$EFGH$，点$E$、$F$在抛物线$L_2$上，点$H$、$G$在抛物线$L_1$上.
【问题解决】
如图3，该小组以矩形$ABCD$的顶点$A$为原点，以$AB$边所在的直线为$x$轴，以$AD$边所在的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出$B$、$C$、$D$三点的坐标；
(2)直接写出抛物线$L_1$和$L_2$的顶点坐标，并分别求出抛物线$L_1$和$L_2$的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏$EFGH$的空间要求，需要$EH$边的长为15 cm，求此时$EF$边的长.

23.(1)
∵矩形$ABCD$的边$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,
∴$CD=AB=8\ \mathrm{cm}$,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$CD// AB$,$BC// AD$,
∴$B(8,0)$,$C(8,6)$,$D(0,6)$.
(2)装置整体图案为轴对称图形,作出对称轴,分别交抛物线$L_1$于点$M$,交抛物线$L_2$于点$Q$,交矩形$ABCD$于点$P$、$N$,
结合矩形和抛物线的对称性,可得直线$MQ$是抛物线$L_1$和$L_2$的对称轴,$AP=BP=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$∠ DNP=∠ APN=90°$,
∴四边形$DAPN$是矩形,
∴$NP=AD=6\ \mathrm{cm}$.
∵抛物线$L_1$的高度为8 cm,抛物线$L_2$的高度为4 cm,直线$MQ$是抛物线$L_1$和$L_2$的对称轴,
∴$MP=MN+NP=8+6=14(\mathrm{cm})$,$QP=4\ \mathrm{cm}$,
∴抛物线$L_1$和$L_2$的顶点坐标分别为$M(4,14)$,$Q(4,-4)$.
分别设抛物线$L_1$和$L_2$的表达式为$y=a_1(x-4)^2+14$,$y=a_2(x-4)^2-4$,
将$D(0,6)$代入$y=a_1(x-4)^2+14$,
解得$a_1=-\frac{1}{2}$,
则抛物线$L_1$的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+14=-\frac{1}{2}x^2+4x+6$;
将$A(0,0)$代入$y=a_2(x-4)^2-4$,解得$a_2=\frac{1}{4}$.
则抛物线$L_2$的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-4)^2-4=\frac{1}{4}x^2-2x$.
(3)
∵装置整体图案为轴对称图形,
∴$EF⊥ MQ$,$HG⊥ MQ$.
∵$MQ⊥ x$轴,
∴$EF// HG// x$轴.
∵四边形$EFGH$是矩形,
∴$HE⊥ EF$,
∴$HE⊥ x$轴,
∴$x_E=x_H$. 设$x_E=x_H=n$,
∴$y_H=-\frac{1}{2}n^2+4n+6$,$y_E=\frac{1}{4}n^2-2n$,
∴$EH=y_H-y_E=-\frac{3}{4}n^2+6n+6=15$,
解得$n=2$或6(在对称轴右侧,舍去),
∴$x_E=2$,
由抛物线对称性可得$EF=2(x_{\mathrm{对称轴}}-x_E)=4\ \mathrm{cm}$.

【分析】
（1）根据坐标系的设置和矩形的边长性质求解坐标：A为原点，AB在x轴、AD在y轴上，结合AB=8cm、BC=6cm，可直接推出B、C、D三点的横纵坐标。
（2）先利用整体图形的轴对称性确定两条抛物线的对称轴为x=4，再结合抛物线高度和矩形高度求出顶点坐标；设二次函数顶点式，分别代入已知点D、A的坐标求出系数，化简即可得到两个抛物线的解析式。
（3）根据矩形EFGH的性质可得E、H横坐标相同，设横坐标为n，用含n的代数式分别表示H、E的纵坐标，由EH=15列方程求解n，再结合抛物线对称性即可求出EF的长度。
【解析】
(1)
∵矩形$ABCD$的边$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,
∴$CD=AB=8\ \mathrm{cm}$,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$CD// AB$,$BC// AD$,
∴$B(8,0)$,$C(8,6)$,$D(0,6)$.
(2) 装置整体图案为轴对称图形,作出对称轴,分别交抛物线$L_1$于点$M$,交抛物线$L_2$于点$Q$,交矩形$ABCD$于点$P$、$N$,
结合矩形和抛物线的对称性,可得直线$MQ$是抛物线$L_1$和$L_2$的对称轴,$AP=BP=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$,$∠ DNP=∠ APN=90°$,
∴四边形$DAPN$是矩形,
∴$NP=AD=6\ \mathrm{cm}$.
∵抛物线$L_1$的高度为8 cm,抛物线$L_2$的高度为4 cm,直线$MQ$是抛物线$L_1$和$L_2$的对称轴,
∴$MP=MN+NP=8+6=14(\mathrm{cm})$,$QP=4\ \mathrm{cm}$,
∴抛物线$L_1$和$L_2$的顶点坐标分别为$M(4,14)$,$Q(4,-4)$.
分别设抛物线$L_1$和$L_2$的表达式为$y=a_1(x-4)^2+14$,$y=a_2(x-4)^2-4$,
将$D(0,6)$代入$y=a_1(x-4)^2+14$,
解得$a_1=-\frac{1}{2}$,
则抛物线$L_1$的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+14=-\frac{1}{2}x^2+4x+6$;
将$A(0,0)$代入$y=a_2(x-4)^2-4$,解得$a_2=\frac{1}{4}$.
则抛物线$L_2$的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-4)^2-4=\frac{1}{4}x^2-2x$.
(3)
∵装置整体图案为轴对称图形,
∴$EF⊥ MQ$,$HG⊥ MQ$.
∵$MQ⊥ x$轴,
∴$EF// HG// x$轴.
∵四边形$EFGH$是矩形,
∴$HE⊥ EF$,
∴$HE⊥ x$轴,
∴$x_E=x_H$. 设$x_E=x_H=n$,
∴$y_H=-\frac{1}{2}n^2+4n+6$,$y_E=\frac{1}{4}n^2-2n$,
∴$EH=y_H-y_E=-\frac{3}{4}n^2+6n+6=15$,
解得$n=2$或6(在对称轴右侧,舍去),
∴$x_E=2$,
由抛物线对称性可得$EF=2(x_{\mathrm{对称轴}}-x_E)=4\ \mathrm{cm}$.
【答案】
(1) $B(8,0)$，$C(8,6)$，$D(0,6)$；
(2) 抛物线$L_1$顶点坐标为$(4,14)$，函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+4x+6$；抛物线$L_2$顶点坐标为$(4,-4)$，函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-2x$；
(3) $EF$边的长为$4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
坐标的确定、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际图案设计考查几何与二次函数的综合应用，融合了矩形性质、二次函数对称性、解方程等知识点，解题时需结合数形结合思想和方程思想，利用图形对称性可有效简化计算。
【难度系数】
0.65

24(12分)已知关于$x$的二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中$a$、$b$为两个不相等的实数.
(1)当$a=0$、$b=3$时，求此函数图像的对称轴；
(2)当$b=2a$时，若该函数在$0≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小；在$3≤x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，求$a$的取值范围；
(3)若点$A(a,y_1)$、$B(\dfrac{a+b}{2},y_2)$、$C(b,y_3)$均在该函数的图像上，是否存在常数$m$，使得$y_1+my_2+y_3=0$？若存在，求出$m$的值；若不存在，说明理由.

24.(1)当$a=0$,$b=3$时,二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$可化为$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$,
∴此函数图像的对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$.
(2)当$b=2a$时,二次函数$y=x(x-a)+(x-a)·(x-b)+x(x-b)$可化为$y=x(x-a)+(x-a)·(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$.
∵$3＞0$,
∴抛物线开口方向向上.
∵在$0≤x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴$a≥1$.
∵在$3≤x≤4$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$a≤3$,
∴$1≤a≤3$.
(3)存在. 若点$A(a,y_1)$,$B(\frac{a+b}{2},y_2)$,$C(b,y_3)$均在该函数的图像上,
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$,
$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab=3×\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab=-\frac{1}{4}(a-b)^2$,
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$.
∵$y_1+my_2+y_3=0$,
∴$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$,
整理,得$(a-b)^2[1-\frac{1}{4}m]=0$.
∵$a$、$b$为两个不相等的实数,
∴$a-b≠0$,
∴$1-\frac{1}{4}m=0$,解得$m=4$.

【分析】
本题分三小问考查二次函数相关知识，解题思路如下：(1) 要求函数图像的对称轴，需先将a=0、b=3代入函数表达式，展开合并同类项得到二次函数的一般式，再利用对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中A为二次项系数，B为一次项系数）计算即可；(2) 先将b=2a代入函数化简得到一般式，求出对称轴，由二次项系数为正可知抛物线开口向上，此时对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，结合题目给出的增减性区间，即可确定对称轴的取值范围，进而求出a的范围；(3) 分别将A、B、C三点的横坐标代入函数表达式，化简得到$y_1$、$y_2$、$y_3$的代数式，代入$y_1+my_2+y_3=0$整理，结合a、b不相等的条件即可求解m的值。
【解析】
(1) 当$a=0$，$b=3$时，二次函数可化为：
$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$
∴此函数图像的对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，二次函数可化为：
$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
∵$3＞0$，
∴抛物线开口方向向上。
∵在$0≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴对称轴需在区间$[0,1]$的右侧，即$a≥1$。
∵在$3≤x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴对称轴需在区间$[3,4]$的左侧，即$a≤3$。
综上，$1≤a≤3$。
(3) 存在。
分别将A、B、C三点的横坐标代入函数表达式：
$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$
先将原函数化为一般式：$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)(\frac{a+b}{2})+ab=\frac{3(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=-\frac{(a+b)^2}{4}+ab=-\frac{1}{4}(a-b)^2$
$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$
将$y_1、y_2、y_3$代入$y_1+my_2+y_3=0$，得：
$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$
整理得：$(a-b)^2-\frac{1}{4}m(a-b)^2=0$，即$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$
∵a、b为两个不相等的实数，
∴$a-b≠0$，即$(a-b)^2≠0$
∴$1-\frac{1}{4}m=0$，解得$m=4$。
【答案】
(1) 直线$\boldsymbol{x=1}$；(2) $\boldsymbol{1≤a≤3}$；(3) 存在，$\boldsymbol{m=4}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算；代数式化简求值
【点评】
本题分层设置问题，从基础的对称轴计算到增减性的应用，再到代数变形求解参数，既考查了二次函数的核心性质，也对整式运算、因式分解等基础能力有一定要求，是二次函数章节的典型综合题。
【难度系数】
0.65