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21.(10分)某景区有一座美丽的彩虹桥,它的部分截面示意图如图所示,桥L,钢缆$L_1$、$L_2$均呈抛物线型,线段BC为桥面,线段OA为立柱,$OA⊥BC$,$OA=2$ m,$L_1$、$L_2$关于OA所在直线对称.$L_1$的最低点到BC的距离为$\frac{1}{2}$ m,到OA的距离为2 m.以O为原点,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求$L_1$所在抛物线的函数表达式;
(2)现要悬挂两条灯带$M_1N_1$、$M_2N_2$来增加夜景效果,$M_1N_1$、$M_2N_2$均与BC垂直,点$M_1$、$M_2$分别在$L_1$、$L_2$上,点$N_1$、$N_2$在L上,点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m.已知L所在抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2$,求这两条灯带的总长.
(1)求$L_1$所在抛物线的函数表达式;
(2)现要悬挂两条灯带$M_1N_1$、$M_2N_2$来增加夜景效果,$M_1N_1$、$M_2N_2$均与BC垂直,点$M_1$、$M_2$分别在$L_1$、$L_2$上,点$N_1$、$N_2$在L上,点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m.已知L所在抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2$,求这两条灯带的总长.
答案
21.(1)由题意知,$L_1$所在抛物线的顶点为$(2,\frac{1}{2})$,且过$A(0,2)$,
∴设其表达式为$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}$,
∴$2=a(0-2)^2+\frac{1}{2}$,解得$a=\frac{3}{8}$,
∴$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$.
(2)
∵点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m,
把$x=3$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$,得$y=\frac{7}{8}$,
∴$y=-\frac{1}{16}×3^2=-\frac{9}{16}$,
∴$M_2N_2=M_1N_1=\frac{23}{16}\mathrm{m}$,
∴这两条灯带的总长为$\frac{23}{8}\mathrm{m}$.
∴设其表达式为$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}$,
∴$2=a(0-2)^2+\frac{1}{2}$,解得$a=\frac{3}{8}$,
∴$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$.
(2)
∵点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m,
把$x=3$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$,得$y=\frac{7}{8}$,
∴$y=-\frac{1}{16}×3^2=-\frac{9}{16}$,
∴$M_2N_2=M_1N_1=\frac{23}{16}\mathrm{m}$,
∴这两条灯带的总长为$\frac{23}{8}\mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 要求$L_1$的抛物线解析式，首先提取已知信息：$L_1$的最低点就是抛物线顶点，根据“到BC的距离为$\frac{1}{2}$m，到OA的距离为2m”可得顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$，同时抛物线过点$A(0,2)$。已知顶点时选择顶点式设解析式计算更简便，将点A的坐标代入顶点式求出参数$a$，即可得到$L_1$的解析式。
(2) 灯带$M_1N_1$、$M_2N_2$与BC垂直，即与x轴垂直，因此同一条灯带上的两个点横坐标相同，灯带长度等于上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标。已知$M_1$、$M_2$到OA的距离为3m，可得两点横坐标为3，分别代入$L_1$和L的解析式求出对应纵坐标，计算出单条灯带的长度，再由对称性可知两条灯带长度相等，乘2即可得到总长。
【解析】
(1) 由题意可知，$L_1$所在抛物线的顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$，且过点$A(0,2)$。
设$L_1$的函数表达式为顶点式：$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}$（$a≠0$），
将$A(0,2)$代入表达式得：$2=a(0-2)^2+\frac{1}{2}$，
整理得：$4a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{3}{8}$，
因此$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$。
(2)
∵点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m，
∴点$M_1$的横坐标为$x=3$，
将$x=3$代入$L_1$的解析式$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$，得：
$y_{M_1}=\frac{3}{8}×(3-2)^2+\frac{1}{2}=\frac{7}{8}$，
将$x=3$代入L的解析式$y=-\frac{1}{16}x^2$，得：
$y_{N_1}=-\frac{1}{16}×3^2=-\frac{9}{16}$，
则单条灯带长度$M_1N_1=y_{M_1}-y_{N_1}=\frac{7}{8}-(-\frac{9}{16})=\frac{23}{16}\mathrm{ m}$，
由对称性可知$M_2N_2=M_1N_1=\frac{23}{16}\mathrm{ m}$，
因此两条灯带的总长为$\frac{23}{16}×2=\frac{23}{8}\mathrm{ m}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
(2) $\frac{23}{8}\mathrm{ m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是合理选择抛物线解析式的形式，理解坐标系中竖直线段长度的计算方法，整体难度不高，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$L_1$的抛物线解析式，首先提取已知信息：$L_1$的最低点就是抛物线顶点，根据“到BC的距离为$\frac{1}{2}$m，到OA的距离为2m”可得顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$，同时抛物线过点$A(0,2)$。已知顶点时选择顶点式设解析式计算更简便，将点A的坐标代入顶点式求出参数$a$，即可得到$L_1$的解析式。
(2) 灯带$M_1N_1$、$M_2N_2$与BC垂直，即与x轴垂直，因此同一条灯带上的两个点横坐标相同，灯带长度等于上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标。已知$M_1$、$M_2$到OA的距离为3m，可得两点横坐标为3，分别代入$L_1$和L的解析式求出对应纵坐标，计算出单条灯带的长度，再由对称性可知两条灯带长度相等，乘2即可得到总长。
【解析】
(1) 由题意可知，$L_1$所在抛物线的顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$，且过点$A(0,2)$。
设$L_1$的函数表达式为顶点式：$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}$（$a≠0$），
将$A(0,2)$代入表达式得：$2=a(0-2)^2+\frac{1}{2}$，
整理得：$4a=\frac{3}{2}$，解得$a=\frac{3}{8}$，
因此$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$。
(2)
∵点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m，
∴点$M_1$的横坐标为$x=3$，
将$x=3$代入$L_1$的解析式$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$，得：
$y_{M_1}=\frac{3}{8}×(3-2)^2+\frac{1}{2}=\frac{7}{8}$，
将$x=3$代入L的解析式$y=-\frac{1}{16}x^2$，得：
$y_{N_1}=-\frac{1}{16}×3^2=-\frac{9}{16}$，
则单条灯带长度$M_1N_1=y_{M_1}-y_{N_1}=\frac{7}{8}-(-\frac{9}{16})=\frac{23}{16}\mathrm{ m}$，
由对称性可知$M_2N_2=M_1N_1=\frac{23}{16}\mathrm{ m}$，
因此两条灯带的总长为$\frac{23}{16}×2=\frac{23}{8}\mathrm{ m}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
(2) $\frac{23}{8}\mathrm{ m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是合理选择抛物线解析式的形式，理解坐标系中竖直线段长度的计算方法，整体难度不高，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,关于x的二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$与正比例函数$y=kx$的图像都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图像上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1)若点$A$为该二次函数的顶点,求:
①二次函数的表达式;
②线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
(1)若点$A$为该二次函数的顶点,求:
①二次函数的表达式;
②线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$,且$m＞4$,求$a$的取值范围.
答案
22.(1)①
∵$A(3,3)$为二次函数的顶点,
∴$\begin{cases}9a+3b=3,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$.
②
∵正比例函数$y=kx$经过点$A(3,3)$,
∴$3k=3$,
∴$k=1$,
∴正比例函数表达式为$y=x$.
设$OD=t(0\le t\le3)$,则$CD=t$,$PD=-\frac{1}{3}t^2+2t$,
∴$PC=PD-CD=-\frac{1}{3}t^2+2t-t=-\frac{1}{3}t^2+t=-\frac{1}{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$,
∴当$t=\frac{3}{2}$时,线段$PC$长度取得最大值$\frac{3}{4}$.
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$经过点$A(3,3)$,
∴$9a+3b=3$,即$b=1-3a$.
令$ax^2+bx=0$,解得$x_1=0$,$x_2=-\frac{b}{a}$,
∵二次函数与x轴的一个交点为$B(m,0)$,$m＞4$,
∴$m=-\frac{b}{a}$,
∴$-\frac{b}{a}＞4$.
∵$a＜0$,
∴$b＞-4a$,
∴$1-3a＞-4a$,$a＞-1$,
∴$a$的取值范围是$-1＜a＜0$.
∵$A(3,3)$为二次函数的顶点,
∴$\begin{cases}9a+3b=3,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$.
②
∵正比例函数$y=kx$经过点$A(3,3)$,
∴$3k=3$,
∴$k=1$,
∴正比例函数表达式为$y=x$.
设$OD=t(0\le t\le3)$,则$CD=t$,$PD=-\frac{1}{3}t^2+2t$,
∴$PC=PD-CD=-\frac{1}{3}t^2+2t-t=-\frac{1}{3}t^2+t=-\frac{1}{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$,
∴当$t=\frac{3}{2}$时,线段$PC$长度取得最大值$\frac{3}{4}$.
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$经过点$A(3,3)$,
∴$9a+3b=3$,即$b=1-3a$.
令$ax^2+bx=0$,解得$x_1=0$,$x_2=-\frac{b}{a}$,
∵二次函数与x轴的一个交点为$B(m,0)$,$m＞4$,
∴$m=-\frac{b}{a}$,
∴$-\frac{b}{a}＞4$.
∵$a＜0$,
∴$b＞-4a$,
∴$1-3a＞-4a$,$a＞-1$,
∴$a$的取值范围是$-1＜a＜0$.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1)①已知二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，且函数过点$A$，可利用二次函数顶点横坐标公式$-\frac{b}{2a}=3$，结合将$A(3,3)$代入二次函数得到的方程，联立方程组求解$a$、$b$，即可得到二次函数的表达式；
②先将点$A(3,3)$代入正比例函数$y=kx$，求出$k$的值得到正比例函数解析式。设$OD=t$（$0\le t\le3$），则点$P$的纵坐标为二次函数在$x=t$处的函数值，点$C$的纵坐标为正比例函数在$x=t$处的函数值，线段$PC$的长度为二者纵坐标的差，整理得到关于$t$的二次函数，配方后即可求得最大值；
(2)先将点$A(3,3)$代入二次函数，得到$b$与$a$的关系式，再求出二次函数与$x$轴除原点外的另一个交点横坐标，结合该交点横坐标$m＞4$、$a＜0$的条件列不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)①
∵$A(3,3)$为二次函数$y=ax^2+bx$的顶点，
∴$\begin{cases}9a+3b=3,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②
∵正比例函数$y=kx$经过点$A(3,3)$，
∴$3k=3$，解得$k=1$，
∴正比例函数表达式为$y=x$。
设$OD=t(0\le t\le3)$，则$CD=t$，$PD=-\frac{1}{3}t^2+2t$，
∴$PC=PD-CD=-\frac{1}{3}t^2+2t-t=-\frac{1}{3}t^2+t=-\frac{1}{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，线段$PC$长度取得最大值$\frac{3}{4}$。
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$经过点$A(3,3)$，
∴$9a+3b=3$，即$b=1-3a$。
令$ax^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
∵二次函数与x轴的一个交点为$B(m,0)$，$m＞4$，
∴$m=-\frac{b}{a}$，即$-\frac{b}{a}＞4$。
∵$a＜0$，不等式两边乘负数$a$时不等号方向改变，
∴$b＞-4a$，
将$b=1-3a$代入得：$1-3a＞-4a$，解得$a＞-1$，
结合$a＜0$的条件，得$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x}$；②$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(2)$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数性质；函数解析式求解；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，考查了二次函数解析式的确定、最值计算以及结合函数图像性质求解参数范围的能力，解题时需要注意，解含负系数参数的不等式时不等号方向要发生改变，掌握线段长度用坐标差表示的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1)①已知二次函数$y=ax^2+bx$的顶点为$A(3,3)$，且函数过点$A$，可利用二次函数顶点横坐标公式$-\frac{b}{2a}=3$，结合将$A(3,3)$代入二次函数得到的方程，联立方程组求解$a$、$b$，即可得到二次函数的表达式；
②先将点$A(3,3)$代入正比例函数$y=kx$，求出$k$的值得到正比例函数解析式。设$OD=t$（$0\le t\le3$），则点$P$的纵坐标为二次函数在$x=t$处的函数值，点$C$的纵坐标为正比例函数在$x=t$处的函数值，线段$PC$的长度为二者纵坐标的差，整理得到关于$t$的二次函数，配方后即可求得最大值；
(2)先将点$A(3,3)$代入二次函数，得到$b$与$a$的关系式，再求出二次函数与$x$轴除原点外的另一个交点横坐标，结合该交点横坐标$m＞4$、$a＜0$的条件列不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)①
∵$A(3,3)$为二次函数$y=ax^2+bx$的顶点，
∴$\begin{cases}9a+3b=3,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+2x$。
②
∵正比例函数$y=kx$经过点$A(3,3)$，
∴$3k=3$，解得$k=1$，
∴正比例函数表达式为$y=x$。
设$OD=t(0\le t\le3)$，则$CD=t$，$PD=-\frac{1}{3}t^2+2t$，
∴$PC=PD-CD=-\frac{1}{3}t^2+2t-t=-\frac{1}{3}t^2+t=-\frac{1}{3}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，线段$PC$长度取得最大值$\frac{3}{4}$。
(2)
∵二次函数$y=ax^2+bx$经过点$A(3,3)$，
∴$9a+3b=3$，即$b=1-3a$。
令$ax^2+bx=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-\frac{b}{a}$，
∵二次函数与x轴的一个交点为$B(m,0)$，$m＞4$，
∴$m=-\frac{b}{a}$，即$-\frac{b}{a}＞4$。
∵$a＜0$，不等式两边乘负数$a$时不等号方向改变，
∴$b＞-4a$，
将$b=1-3a$代入得：$1-3a＞-4a$，解得$a＞-1$，
结合$a＜0$的条件，得$a$的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2+2x}$；②$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(2)$\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数性质；函数解析式求解；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，考查了二次函数解析式的确定、最值计算以及结合函数图像性质求解参数范围的能力，解题时需要注意，解含负系数参数的不等式时不等号方向要发生改变，掌握线段长度用坐标差表示的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
