1.「2026安徽合肥四十二中月考，★★☆」已知二次函数$y=ax^2+bx-c(a≠0)$，其中$b＞0,c＞0$，则该函数的图象可能为（）

∵ c＞0,
∴ -c＜0,故 A,D 选项不符合题意;当 a＞0 时,
∵ b＞0,
∴ -b/(2a)＜0,
∴ 对称轴在 y 轴左侧,故 B 选项不符合题意;当 a＜0 时,
∵ b＞0,
∴ -b/(2a)＞0,
∴ 对称轴在 y 轴右侧,故 C选项符合题意.故选 C.

2.「2026广东珠海期中，★★★」二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，下列结论：①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$m$为任意实数时，$a+b≤m(am+b)$；④$a-b+c＞0$；⑤若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$，且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=2$。其中正确的是（）

A.①②③④
B.②③④
C.②③④⑤
D.①②③④⑤

①由抛物线开口向上得 a＞0,由抛物线对称轴为直线 x=1,得 -b/(2a)=1,
∴ b=-2a,
∴ b＜0,由抛物线与 y 轴交于负半轴,得 c＜0,
∴ abc＞0,故①错误;
②由 b=-2a 得 2a+b=0,故②正确;
③
∵ 抛物线对称轴为直线 x=1,开口向上,
∴ 当 x=1 时,函数取得最小值,为 a+b+c,
∴ m 为任意实数时,a+b+c≤am²+bm+c,即 a+b≤m(am+b),故③正确;
④
∵ 抛物线与 x 轴一个交点在点(3,0)左侧,对称轴为直线x=1,
∴ 抛物线与 x 轴另一个交点在点(-1,0)右侧,
∴ 当 x=-1 时,y=a-b+c＞0,故④正确;
⑤
∵ ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂,
∴ ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c,
∴ 当 x=x₁ 和 x=x₂ 时,函数值相等,
∵ x₁≠x₂,
∴ 抛物线对称轴为直线 x=(x₁+x₂)/2=1,
∴ x₁+x₂=2,故⑤正确.
故选 C.

3.「2026辽宁葫芦岛绥中期中，★★☆」在同一坐标系中，一次函数$y=bx-a$和二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象可能为（）

选项 A,由二次函数图象开口向下,得 a＜0,由一次函数的图象与 y 轴交点在负半轴上,得 a＞0,两者矛盾,故 A 不符合题意;选项 B,由二次函数图象开口向上,得 a＞0,由对称轴在 y 轴右侧,得 b＜0,由一次函数的图象过第二、三、四象限,得 b＜0,a＞0,故 B 符合题意;选项 C,由二次函数图象开口向上,得 a＞0,由对称轴在 y 轴右侧,得 b＜0,由一次函数的图象过第一、二、三象限,得 b＞0,a＜0,两者矛盾,故 C 不符合题意;选项 D,由二次函数图象开口向上,得 a＞0,由对称轴在 y 轴左侧,得 b＞0,由一次函数的图象过第二、三、四象限,得 b＜0,a＞0,两者矛盾,故 D 不符合题意.故选 B.

4.「2026江苏镇江期末，★★☆」如图,在平面直角坐标系中,一条直线与x轴、y轴分别交于$A(4,0),B(0,2)$两点,二次函数$y=x^2-2mx+n$（$m,n$是常数）的图象的顶点$P$在线段$AB$上,则$n$的最小值为


A.$0$
B.$\dfrac{31}{16}$
C.$\dfrac{33}{16}$
D.$\dfrac{17}{8}$

设直线 AB 的函数表达式为 y=kx+b,
则$\begin{cases}4k+b=0,\\b=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$.
因为二次函数的表达式为 $y=x^2-2mx+n$,
所以顶点 P 的坐标可表示为 $(m,-m^2+n)$.
因为点 P 在线段 AB 上,所以 $-m^2+n=-\dfrac{1}{2}m+2$,
整理得 $n=m^2-\dfrac{1}{2}m+2$,所以 $n=(m-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{31}{16}$.
因为 $0≤ m≤4$,
所以当 $m=\dfrac{1}{4}$ 时,n 取得最小值,为 $\dfrac{31}{16}$.
故选 B.