12.「2025吉林中考，★★★」如图，在$△ ABC$中，$AB = 3\sqrt{2}$，$BC = 5$，$∠ BAC = 45°$.动点$P$从点$A$出发，沿边$AC$以每秒1个单位长度的速度向终点$C$匀速运动.当点$P$出发后，以$AP$为边作正方形$APDE$，使点$D$和点$B$始终在边$AC$同侧.设点$P$的运动时间为$x(\mathrm{s})(x＞0)$，正方形$APDE$与$△ ABC$重叠部分图形的面积为$y$(平方单位).
(1)$AC$的长为.
(2)求$y$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围.
(3)当正方形$APDE$的对称中心与点$B$重合时，直接写出$x$的值.

(1)7
详解:过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$,如图:
$\because ∠ BAC=45°$,$\therefore ∠ ABH=45°$,$\therefore AH=BH$。在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$AB^2=AH^2+BH^2=2AH^2$,$\therefore 18=2AH^2$,$\therefore AH=BH=3$。在$\mathrm{Rt}△ BHC$中,$CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore AC=AH+CH=7$。
(2)$\because$ 四边形$APDE$是正方形,$\therefore ∠ DAP=45°=∠ BAC$,$\therefore$ 点$D$在射线$AB$上。当$D$在线段$AB$上时,$y=\frac{1}{2}AP· DP=\frac{1}{2}x^2(0＜x≤3)$。当$D$在线段$AB$的延长线上时,如图,此时点$P$在线段$HC$上运动,$AP=x$,则$PH=x-3$,$CP=7-x$,过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$。
易知$FP// BH$,$\therefore △ CFP∽△ CBH$,$\therefore \frac{CP}{CH}=\frac{FP}{BH}$,$\therefore \frac{7-x}{4}=\frac{FP}{3}$,$\therefore FP=\frac{21-3x}{4}$,$\therefore y=S_{△ AHB}+S_{梯形HPFB}=\frac{1}{2}×3^2+\frac{3+\frac{21-3x}{4}}{2}×(x-3)=-\frac{3}{8}(x-7)^2+10.5(3＜x≤7)$,$\therefore y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2,0＜x≤3,\\-\frac{3}{8}(x-7)^2+10.5,3＜x≤7.\end{cases}$
(3)$x=6$
详解:当正方形$APDE$的对称中心与点$B$重合时,$AD=2AB=6\sqrt{2}$,$\because AP=DP$,$AP^2+DP^2=AD^2$,$\therefore 2AP^2=72$,解得$AP=6$(舍负),$\therefore x=6$。