9.已知$△ ABC$的周长是36，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为D，$△ ABD$的周长是30，则AD的长是（）

A.6
B.8
C.12
D.20

9.C

【分析】
本题可利用等腰三角形的性质结合周长公式求解：首先由△ABC是等腰三角形且AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一可得BD=CD；再结合△ABC的周长推出AB与BD的和，最后将其代入△ABD的周长公式即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD（等腰三角形底边上的高平分底边，即三线合一）。
∵△ABC的周长为36，
∴AB + AC + BC = 36，
又
∵AC=AB，BC=2BD，
∴2AB + 2BD = 36，化简得AB + BD = 18。
∵△ABD的周长为30，
∴AB + BD + AD = 30，
将AB + BD = 18代入上式，得18 + AD = 30，
解得AD = 12。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质，建立两个三角形周长之间的关联，通过整体代入的方法计算未知线段，无需单独求解各边长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别为边AB,AC,BC上的点,且$BD=BF$,$CF=CE$,$∠ A=62°$,则$∠ DFE$的度数为 ()

A.$58°$
B.$59°$
C.$62°$
D.$76°$

10.B

【分析】
解题思路如下：1. 先根据三角形内角和定理，由已知∠A的度数求出△ABC中∠B+∠C的和；2. 由BD=BF、CF=CE可知△BDF和△CEF都是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，分别用∠B、∠C表示出底角∠BFD和∠CFE的度数；3. 结合平角为180°的性质，可知∠DFE=180°-∠BFD-∠CFE，将前面的式子代入，整体计算即可求出∠DFE的度数，不需要单独求出∠B和∠C的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$
∵ $BD=BF$，
∴ $△ BDF$是等腰三角形，根据等边对等角：
$∠ BFD = \frac{180° - ∠ B}{2}$
同理，
∵ $CF=CE$，
∴ $△ CEF$是等腰三角形：
$∠ CFE = \frac{180° - ∠ C}{2}$
则$∠ BFD + ∠ CFE = \frac{(180°-∠ B)+(180°-∠ C)}{2} = \frac{360° - (∠ B+∠ C)}{2}$
将$∠ B+∠ C=118°$代入得：
$∠ BFD + ∠ CFE = \frac{360° - 118°}{2} = 121°$
∵ 点F在BC上，$∠ BFD + ∠ DFE + ∠ CFE = 180°$（平角的定义）
∴ $∠ DFE = 180° - 121° = 59°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是利用等腰三角形的性质将所求角相关的角和已知角所在的三角形内角和建立联系，通过整体代入的方法简化计算，避免单独求解∠B、∠C的多余步骤。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠B=65^{\circ },$BC边上的中线AE与AB的垂直平分线交于点O,连接OC,则$∠ACO$的度数为度.

11.25

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合∠B的度数先求出∠ACB和∠BAC的度数；再根据等腰三角形三线合一的性质，得出AE既是BC的垂直平分线，也是∠BAC的角平分线，由此可得∠BAE的度数，且AE上的点O到B、C的距离相等，即OB=OC；接着利用AB的垂直平分线的性质，得到OA=OB，推出∠OBA=∠BAE，进而求出∠OBC的度数；最后由OB=OC得∠OCB=∠OBC，用∠ACB减去∠OCB即可求出∠ACO的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠B=65^{\circ }$
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ACB=∠B=65^{\circ }$
∴$∠BAC=180^{\circ }-∠B-∠ACB=180^{\circ }-65^{\circ }× 2=50^{\circ }$
∵AE是BC边上的中线，$AB=AC$
根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE垂直平分BC，且AE平分$∠BAC$
∴$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=25^{\circ }$，且$OB=OC$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
又
∵点O在AB的垂直平分线上
∴$OA=OB$
∴$∠OBA=∠BAE=25^{\circ }$
∴$∠OBC=∠ABC-∠OBA=65^{\circ }-25^{\circ }=40^{\circ }$
∵$OB=OC$
∴$∠OCB=∠OBC=40^{\circ }$
∴$∠ACO=∠ACB-∠OCB=65^{\circ }-40^{\circ }=25^{\circ }$
【答案】
25
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的常规应用题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的性质推导相等的线段和相等的角，逐步推导求解即可，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7

12.如图，$AB=AC$，$CD⊥ AB$于点$D$，$BE⊥ AC$于点$E$，$BE$与$CD$相交于点$O$.
(1)求证：$AD=AE$；
(2)连接$OA$，$BC$，试判断直线$OA$，$BC$的位置关系并说明理由.

12.(1)证明:$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,$
$\therefore ∠ADC=∠AEB=90°.$
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases} ∠AEB=∠ADC,\\ ∠BAE=∠CAD,\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS}).\therefore AE=AD.$
(2)解:$AO$垂直平分$BC$,理由如下:
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\begin{cases} AO=AO,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠DAO=∠EAO.\therefore AO$平分$∠BAC.$
又$AB=AC,\therefore AO$垂直平分$BC.$

【分析】
(1) 要证AD=AE，可通过证明两条线段所在的△ABE与△ACD全等推导。已知CD⊥AB、BE⊥AC可得两个直角相等，两三角形有公共角∠BAC，且已知AB=AC，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可推出对应边AD=AE。
(2) 判断OA与BC的位置关系，结合AB=AC的条件，可联想等腰三角形三线合一的性质，只需证明OA是∠BAC的角平分线即可。先利用HL证明Rt△ADO与Rt△AEO全等，得到∠DAO=∠EAO，即OA平分顶角∠BAC，再结合等腰三角形性质即可得到OA与BC的位置关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC \\∠ BAE=∠ CAD \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$
$\therefore AD=AE$
(2) 解：$OA$垂直平分$BC$，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}AO=AO \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ DAO=∠ EAO$，即$OA$平分$∠ BAC$
又$\because AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质
$\therefore OA$垂直平分$BC$
【答案】
(1) $AD=AE$；
(2) $OA$垂直平分$BC$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于全等三角形和等腰三角形性质的综合基础题，解题关键是准确找到对应全等三角形，结合等腰三角形的特殊性质推导线段关系，是该章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.75

13.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.

13. 解:(1)$∠DAC$的度数不会改变.理由如下:
$\because EA=EC,\therefore ∠EAC=∠C.$
$\because BA=BD,\therefore ∠BAD=∠BDA.$
$\because ∠BAE=90°,$
$\therefore ∠B=90°-∠AED=90°-2∠C.$
$\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}(180°-∠B)=\frac{1}{2}[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C.$
$\therefore ∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C.$
$\therefore ∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°.$
(2)设$∠ABC=m°$,则$∠BAD=\frac{1}{2}(180°-m°)=90°-\frac{1}{2}m°,∠AEB=180°-n°-m°.$
$\therefore ∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°-90°+\frac{1}{2}m°.$
$\because EA=EC,$
$\therefore ∠CAE=\frac{1}{2}∠AEB=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°.$
$\therefore ∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+\frac{1}{2}m°+90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°=\frac{1}{2}n°.$

【分析】
(1) 要判断∠DAC的度数是否改变，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和、外角的性质，将相关角用同一个中间量（如∠C）表示，推导∠DAC的度数，判断是否与去掉的∠B=45°条件无关。
(2) 第二问将∠BAE改为n°后，思路与第一问一致，设∠B为参数，分别表示出组成∠DAC的∠DAE和∠CAE，相加后消去参数，即可得到∠DAC和n的数量关系。
【解析】
(1) ∠DAC的度数不会改变，理由如下：
$\because EA=EC$，$\therefore ∠ EAC=∠ C$（等腰三角形两底角相等）。
$\because BA=BD$，$\therefore ∠ BAD=∠ BDA$（等腰三角形两底角相等）。
$\because ∠ BAE=90°$，$∠ AED$是$△ AEC$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ EAC+∠ C=2∠ C$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ AED=90°-2∠ C$。
在$△ ABD$中，$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=\frac{1}{2}[180°-(90°-2∠ C)]=45°+∠ C$。
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=90°-(45°+∠ C)=45°-∠ C$。
$\therefore ∠ DAC=∠ DAE+∠ CAE=(45°-∠ C)+∠ C=45°$，和$∠ B$的度数无关，因此不会改变。
(2) 设$∠ B=m°$，
$\because BA=BD$，$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-m°)=90°-\frac{1}{2}m°$，
在$△ ABE$中，$∠ AEB=180°-∠ BAE-∠ B=180°-n°-m°$。
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=n°-(90°-\frac{1}{2}m°)=n°-90°+\frac{1}{2}m°$。
$\because EA=EC$，$\therefore ∠ EAC=∠ C$，又$\because ∠ AEB$是$△ AEC$的外角，$∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ CAE$，
$\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-n°-m°)=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°$。
$\therefore ∠ DAC=∠ DAE+∠ CAE=(n°-90°+\frac{1}{2}m°)+(90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°)=\frac{1}{2}n°$。
【答案】
(1) $∠ DAC$的度数不会改变，为$45°$；
(2) $∠ DAC$的度数为$\frac{1}{2}n°$。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质的灵活运用，解题时通过引入中间参数表示未知角，利用角的和差关系及等腰三角形、三角形内外角的性质推导，最终消去中间参数得到结论，能有效锻炼逻辑推理能力和参数运算能力。
【难度系数】
0.6