24. 学科特色一线三等角模型「2025 河南郑州中原期末， ★★★」(12 分)加菲尔德利用验证了勾股定理,过等腰直角△ACB 的直角顶点 C 作直线 l,过点 A 作 AD⊥l 于点 D,过点 B 作 BE⊥l 于点 E,研究图形,不难发现△ADC≌△CEB.
(1)如图,在平面直角坐标系中,△AOB 是等腰直角三角形,∠AOB=90°,AO=BO,已知点 A 的坐标为(2,1),求点 B 的坐标.
(2)如图,直线 y=2x+2 分别交 x 轴,y 轴于点 A,C,直线 BC 过点 C 且交 x 轴于点 B,∠CBA=45°,求直线 BC 的表达式.
(3)在(2)的条件下,若点 Q 是直线 AC 上且位于第三象限的一个动点,点 M 是 y 轴上的一个动点,当以 B,M,Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出点 Q 的坐标.

24.解析 (1)如图,过 A 作 $AE ⊥ x$ 轴于 E,过 B 作 $BF ⊥ x$ 轴于 F,
∴ $∠BFO=∠AEO=90°=∠AOB$,
∴ $∠OBF+∠BOF=90°$,$∠BOF+∠AOE=90°$,
∴ $∠OBF=∠AOE$,
∵ OB=OA,
∴ $△OBF≌△AOE$(AAS),
∴ AE=OF,OE=BF, ……………………（3分）
∵ 点 A 的坐标为(2,1),
∴ AE=1,OE=2,
∴ OF=1,BF=2,
∴ 点 B 的坐标为(-1,2). ………………（5分）
(2)
∵ 直线 y=2x+2 分别交 x 轴,y 轴于点 A,C,当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=-1,
∴ A(-1,0),C(0,2), ……（6分）
∵ $∠CBA=45°$,
∴ OB=OC=2,
∴ B(2,0),
设直线 BC 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,将(0,2),(2,0)代入得 b=2,2k+b=0,解得 k=-1,
∴ 直线 BC 的表达式为 y=-x+2. ………………（8分）
(3)点 Q 的坐标为 $(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3})$ 或(-2,-2). ……（12分）
详解:设点 M(0,m),点 Q(n,2n+2),存在以下 3 种情况:
①如图,当 $∠BMQ=90°$,BM=MQ 时,点 M 在 x 轴上方,分别过点 Q,B 作 y 轴的平行线 QG,BH,过点 M 作 x 轴的平行线分别交 QG,BH 于点 G,H,易证 $△MHB≌△QGM$,
∴ BH=GM,GQ=MH,即 m=-n,m-2n-2=2,解得 $m=\dfrac{4}{3}$,$n=-\dfrac{4}{3}$,
∴ $Q(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3})$.
②如图,当 $∠MQB=90°$,BQ=MQ 时,过 Q 作 $QH ⊥ y$ 轴于 H,$QG ⊥ x$ 轴于 G,易证 $△QHM≌△QGB$,
∴ QH=QG,HM=BG,即 -n=-2n-2,2n+2-m=2-n,解得 m=-6,n=-2,
∴ Q(-2,-2).
③如图,当 $∠QBM=90°$,BM=BQ 时,过 Q 作 $QG ⊥ x$ 轴于 G,易证 $△QGB≌△BOM$,
∴ QG=BO,BG=OM,即 -2n-2=2,2-n=m,解得 m=4,n=-2,
∴ Q(-2,-2).
综上,点 Q 的坐标为 $(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3})$ 或(-2,-2).