问题 请仔细观察下图中的圆柱与圆锥、圆柱与棱柱、圆锥与棱锥，并比较它们的异同。

名师指导
观察实物或模型，从它们的底面、侧面、棱等角度进行比较。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：

解：
(1) 圆柱与圆锥
相同点：侧面都是曲面，都有圆形的底面。
不同点：圆柱有2个大小相等、互相平行的底面，没有顶点；圆锥只有1个底面，有1个顶点。
(2) 圆柱与棱柱
相同点：都有2个形状、大小完全相同且互相平行的底面。
不同点：圆柱的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱柱的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。
(3) 圆锥与棱锥
相同点：都只有1个底面，都有1个公共顶点。
不同点：圆锥的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱锥的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。

【分析】
要比较三组几何体的异同，我们可以按照提示从底面、侧面、顶点、棱几个维度逐一分析：首先将三组几何体分开讨论，每组分别观察两个几何体的底面数量、底面形状、侧面是曲面还是平面、是否有顶点、是否有棱这些属性；先梳理两组几何体共有的属性作为相同点，再梳理二者不一样的属性作为不同点，分点整理即可得到完整结论。
【解析】
我们分三组分别对比异同：
(1) 圆柱与圆锥
相同点：侧面都是曲面，都有圆形的底面。
不同点：圆柱有2个大小相等、互相平行的底面，没有顶点；圆锥只有1个底面，有1个顶点。
(2) 圆柱与棱柱
相同点：都有2个形状、大小完全相同且互相平行的底面。
不同点：圆柱的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱柱的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。
(3) 圆锥与棱锥
相同点：都只有1个底面，都有1个公共顶点。
不同点：圆锥的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱锥的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。
【答案】
(1) 圆柱与圆锥
相同点：侧面都是曲面，都有圆形的底面。
不同点：圆柱有2个大小相等、互相平行的底面，没有顶点；圆锥只有1个底面，有1个顶点。
(2) 圆柱与棱柱
相同点：都有2个形状、大小完全相同且互相平行的底面。
不同点：圆柱的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱柱的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。
(3) 圆锥与棱锥
相同点：都只有1个底面，都有1个公共顶点。
不同点：圆锥的底面是圆，侧面是曲面，没有棱；棱锥的底面是多边形，侧面都是平面，有若干条棱。
【知识点】
立体图形的认识；常见几何体的特征
【点评】
本题是立体图形认识模块的基础题型，通过对比不同几何体的异同，能帮助大家精准掌握各类常见几何体的特点，学会从底面、侧面、顶点、棱等多个维度描述几何体的属性，是后续学习立体图形相关知识的基础。
【难度系数】
0.8

1. 棱柱的每一个侧面都是，棱锥的每一个侧面都是。

1. 长方形；三角形

【分析】
解题时先回忆棱柱和棱锥的结构特征：首先看棱柱，我们现阶段接触的多为直棱柱，它有两个互相平行且全等的上下底面，其余各面（即侧面）都是相邻公共边互相平行的四边形，直棱柱的侧棱和底面垂直，因此侧面都是长方形；再看棱锥，棱锥只有1个多边形底面，其余各面都是共用同一个顶点的面，因此侧面都是三角形，按照这个结构特征就能填写对应的答案。
【解析】
根据棱柱和棱锥的定义与结构特点：
1. 直棱柱的侧棱与底面垂直，每一个侧面都是长方形；
2. 棱锥的所有侧面都有公共的顶点，每一个侧面都是三角形。
因此依次填入长方形、三角形。
【答案】
长方形；三角形
【知识点】
棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；立体图形识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查常见立体图形的侧面形状，熟练掌握棱柱、棱锥的结构特点即可快速答对。
【难度系数】
0.9

2. 三棱柱由个面围成，它有个顶点，条棱。

2. 5；6；9

【分析】
要解决这道题，我们可以结合三棱柱的结构特征来思考：首先明确棱柱由上下两个底面和侧面组成，三棱柱的底面是三角形，侧面是3个长方形。我们既可以分别数出面、顶点、棱的数量，也可以用n棱柱的通用规律快速计算：n棱柱的面数为n+2，顶点数为2n，棱数为3n，本题对应n=3，代入规律即可得到结果。
【解析】
1. 计算面的数量：三棱柱有2个三角形的底面，还有3个长方形的侧面，总面数为2+3=5个；
2. 计算顶点的数量：每个三角形底面有3个顶点，上下两个底面的顶点总数为3×2=6个；
3. 计算棱的数量：上下两个底面各有3条棱，还有连接上下底面对应顶点的3条侧棱，总棱数为3+3+3=9条。
【答案】
5；6；9
【知识点】
棱柱的结构特征；立体图形的组成元素
【点评】
本题考查对棱柱基本结构的认识，属于基础题型，掌握n棱柱的面、顶点、棱的数量规律可以快速得出答案，是后续学习立体图形相关知识的基础。
【难度系数】
0.9

3. 写出下列立体图形的名称：
（1） （2） （3） （5） （6）

3. (1) 圆锥；(2) 正方体；(3) 圆柱；(4) 球；(5) 四棱锥；(6) 四棱柱

【分析】
解决本题的核心是熟记常见立体图形的特征，思考步骤如下：首先明确立体图形分为柱体、锥体、球体三大类，先判断每个图形所属的大类；再根据底面的形状、面的特点确定具体名称：如果是锥体，底面是圆则为圆锥，底面是n边形则为n棱锥；如果是柱体，底面是圆则为圆柱，底面是n边形则为n棱柱，六个面都是正方形的四棱柱就是正方体；完全由曲面围成的是球，依次对应每个图形判断即可。
【解析】
我们逐个分析图形特征：
（1）图形有1个圆形底面、1个顶点，侧面为曲面，属于锥体，符合圆锥的特征；
（2）图形是四棱柱，且6个面都是全等的正方形，符合正方体的特征；
（3）图形有2个大小相等、互相平行的圆形底面，侧面为曲面，属于柱体，符合圆柱的特征；
（4）图形完全由曲面围成，符合球的特征；
（5）图形底面是四边形，侧面是4个有公共顶点的三角形，属于锥体，符合四棱锥的特征；
（6）图形上下底面是全等的四边形，侧面为平行四边形，属于柱体，符合四棱柱的特征。
【答案】
(1) 圆锥；(2) 正方体；(3) 圆柱；(4) 球；(5) 四棱锥；(6) 四棱柱
【知识点】
立体图形识别、常见几何体特征、柱锥球类分类
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查对常见立体图形的辨认能力，掌握各类立体图形的核心特征是解题的关键，这类知识是几何学习的入门基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

4. 写出下列物体属于哪种立体图形.
文具盒；日光灯管；谷堆；篮球.

4. 长方体；圆柱；圆锥；球体

【分析】
解题时先回忆常见立体图形的核心特征，再将生活中物体的外形与特征逐一比对匹配即可。首先明确四类常见立体图形的特征：长方体有6个面，多为矩形，相对的面完全相同；圆柱有2个大小相等、互相平行的圆形底面，侧面是曲面；圆锥有1个圆形底面，侧面是曲面，顶端汇聚为一点；球体由单一曲面围成，表面任意点到中心的距离都相等。再分别对应四个物体的外形判断即可。
【解析】
1. 文具盒一般有6个矩形面，相对的面完全相同，符合长方体的特征，属于长方体；
2. 日光灯管有两个互相平行、大小相等的圆形底面，侧面为曲面，符合圆柱的特征，属于圆柱；
3. 谷堆底面是圆形，侧面是曲面，顶端为一个尖点，符合圆锥的特征，属于圆锥；
4. 篮球由单一曲面围成，表面任意点到中心的距离相等，符合球体的特征，属于球体。
【答案】
长方体；圆柱；圆锥；球体
【知识点】
立体图形的识别、常见立体图形的特征
【点评】
本题考查生活中实物对应的立体图形判断，贴近生活实际，意在引导学生将课本知识与生活场景结合，加深对各类立体图形特征的理解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9

5. 如图所示是正方体切去一个小角后的立体图形，如果按照这样的方式切去正方体的八个角(相邻两个角之间还有一段原来的棱)，则新的几何体有条棱，有个面，有个顶点。

5. 36，14，24

【分析】
解题时先明确原正方体的顶点、棱、面的基础数量，再分析单一切角操作对这三个量的影响，找到变化规律后，计算切8个角后的总数量即可。首先原正方体有8个顶点、12条棱、6个面；观察切1个角的变化：①面：每切1个角新增1个切面，面数+1；②棱：切面是三角形，新增3条棱，原有棱仅变短不消失；③顶点：切掉1个原顶点，切面新增3个顶点，顶点数净增2个。最后将8个角的总变化量叠加原数量即可得到结果。
【解析】
解：已知原正方体的基础属性：有8个顶点，12条棱，6个面。
分析每切去1个角的变化规律：
1. 面数变化：每切1个角，新增1个切面，切8个角共新增8个面，总面数=原面数+新增面数=6+8=14；
2. 棱数变化：每切1个角，切面为三角形，新增3条棱，切8个角共新增3×8=24条棱，原有棱保持不变，总棱数=原棱数+新增棱数=12+24=36；
3. 顶点数变化：每切1个角，减少1个原顶点，新增3个切面顶点，单个切角净增顶点数为3-1=2，切8个角共新增2×8=16个顶点，总顶点数=原顶点数+新增顶点数=8+16=24。
【答案】
36，14，24
【知识点】
正方体的特征，立体图形的切截，几何体计数
【点评】
本题侧重考查立体图形切截后的变化分析，解题核心是先推导单个切角操作的变化规律，再推广到整体计算，避免直接数图形出现的误差，掌握规律后能快速准确得到结果。
【难度系数】
0.6

十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：

(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

四面体棱数是；正八面体顶点数是.
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是.
(2) 一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是.
(3) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为a个，八边形的个数为b个，求出$a+b$的值.

解:(1) 6；6；V+F-E=2.
(2) 12.
(3)
∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱. 由24+F-36=2，解得F=14，
∴a+b=14.

【分析】
(1) 先通过观察立体模型直接数出四面体的棱数、正八面体的顶点数，再分别计算不同多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的和差关系，就能归纳出三者通用的关系式；
(2) 已知棱数E=30，且面数比顶点数小8，即V=F+8，将已知条件代入欧拉公式，解一元一次方程即可求出面数F；
(3) 首先根据“24个顶点，每个顶点处有3条棱，每条棱连接2个顶点”的特点计算总棱数E，再将V和E代入欧拉公式求出总面数F，由于总面数就是三角形个数a和八边形个数b的和，即可得到a+b的值。
【解析】
(1) 观察四面体模型，可数出棱数为6；观察正八面体模型，可数出顶点数为6；分别计算各多面体的V+F-E：四面体V=4、F=4、E=6，4+4-6=2；长方体V=8、F=6、E=12，8+6-12=2；正八面体V=6、F=8、E=12，6+8-12=2，可归纳出关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 由题意得$V=F+8$，$E=30$，代入$V+F-E=2$，得：
$\begin{aligned}(F+8)+F-30&=2\\2F&=24\\F&=12\end{aligned}$
(3) 因为每个顶点处有3条棱，每条棱属于2个顶点，所以总棱数$E=24×3÷2=36$；
将$V=24$，$E=36$代入$V+F-E=2$，得：
$\begin{aligned}24+F-36&=2\\F&=14\end{aligned}$
由于该多面体的面仅由三角形和八边形组成，总面数$F=a+b$，因此$a+b=14$。
【答案】
(1) $6$；$6$；$V+F-E=2$
(2) $12$
(3) $14$
【知识点】
欧拉公式；立体图形计数；规律探究
【点评】
本题围绕欧拉公式展开，既考查了观察归纳规律的能力，又考查了公式的灵活应用，解题时要注意计算棱数时避免重复计数，整体需要熟练掌握公式中三个量的转换计算。
【难度系数】
0.7