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1.(2023,赤峰,9)化简$\frac{4}{x+2}+x-2$的结果是(
A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$
D
).A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$
答案
1.D
解析
【分析】
这是分式与整式的加减运算，解题时先将整式转化为和分式同分母的形式，把异分母运算转化为同分母分式加减运算，再按照同分母分式加减法则计算，最后化简分子即可得到结果。通分的公分母取分式的分母$x+2$，整式$x-2$可以看作分母为1的分式，通分时分子分母同乘$x+2$即可。
【解析】
首先对整式$x-2$进行通分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4}{x+2}+\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}\\&=\frac{4}{x+2}+\frac{x^2-4}{x+2} \quad \mathrm{（利用平方差公式计算分子）}\\&=\frac{4+x^2-4}{x+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\\&=\frac{x^2}{x+2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式加减的通分规则和同分母分式的运算方法，计算时注意整式通分不要漏乘公分母，分子合并时要准确化简。
【难度系数】
0.7
这是分式与整式的加减运算，解题时先将整式转化为和分式同分母的形式，把异分母运算转化为同分母分式加减运算，再按照同分母分式加减法则计算，最后化简分子即可得到结果。通分的公分母取分式的分母$x+2$，整式$x-2$可以看作分母为1的分式，通分时分子分母同乘$x+2$即可。
【解析】
首先对整式$x-2$进行通分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4}{x+2}+\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}\\&=\frac{4}{x+2}+\frac{x^2-4}{x+2} \quad \mathrm{（利用平方差公式计算分子）}\\&=\frac{4+x^2-4}{x+2} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分母不变，分子相加）}\\&=\frac{x^2}{x+2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减、平方差公式、通分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分式加减的通分规则和同分母分式的运算方法，计算时注意整式通分不要漏乘公分母，分子合并时要准确化简。
【难度系数】
0.7
2.计算$(1+\dfrac{1}{x-1})÷(1+\dfrac{1}{x^2-1})$的结果是(
A.1
B.$x+1$
C.$\dfrac{x+1}{x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
C
).A.1
B.$x+1$
C.$\dfrac{x+1}{x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是分式混合运算的基础题，解题需遵循分式运算顺序：先算括号内的加法，再计算除法。第一步先对两个括号中的式子通分，将整数1改写为和括号内分式同分母的形式，合并得到最简分式；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时利用平方差公式对$x^2-1$因式分解；第三步约去分子分母的公因式，即可得到化简结果，对应选项判断即可。
【解析】
先分别计算两个括号内的加法：
1. 计算第一个括号：
$1+\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-1}{x-1} + \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)+1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$
2. 计算第二个括号：
先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，再通分计算：
$1+\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{x^2-1}{x^2-1} + \dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x^2-1} = \dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x}{x-1} × \dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
约去分子分母的公因式$x$和$x-1$，得：
原式$=\dfrac{x+1}{x}$
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考察分式运算的顺序、通分约分的能力，运算时要注意先处理括号内的式子，除法转化为乘法后再约分，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算的基础题，解题需遵循分式运算顺序：先算括号内的加法，再计算除法。第一步先对两个括号中的式子通分，将整数1改写为和括号内分式同分母的形式，合并得到最简分式；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时利用平方差公式对$x^2-1$因式分解；第三步约去分子分母的公因式，即可得到化简结果，对应选项判断即可。
【解析】
先分别计算两个括号内的加法：
1. 计算第一个括号：
$1+\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-1}{x-1} + \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)+1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$
2. 计算第二个括号：
先因式分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，再通分计算：
$1+\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{x^2-1}{x^2-1} + \dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x^2-1} = \dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
3. 将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{x}{x-1} ÷ \dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x}{x-1} × \dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}$
约去分子分母的公因式$x$和$x-1$，得：
原式$=\dfrac{x+1}{x}$
【答案】
C
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考察分式运算的顺序、通分约分的能力，运算时要注意先处理括号内的式子，除法转化为乘法后再约分，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
3.化简$(1-\dfrac{2}{a-1})÷\dfrac{a^2-6a+9}{a-1}$的结果是________.
答案
3.$\frac{1}{a-3}$
解析
【分析】
本题是分式混合运算化简题，按照分式运算顺序求解即可：第一步先处理括号内的减法，将整数1转化为与括号内分式同分母的形式，做同分母分式减法运算；第二步根据“除以一个分式等于乘以它的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；第三步利用完全平方公式对除式的分子进行因式分解；第四步对分子分母的公因式进行约分化简，即可得到最终结果，约分时要注意公因式不能为0。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{a-1}{a-1}-\dfrac{2}{a-1} ) ÷ \dfrac{a^2-6a+9}{a-1} \\&=\dfrac{a-1-2}{a-1} × \dfrac{a-1}{(a-3)^2} \\&=\dfrac{a-3}{a-1} × \dfrac{a-1}{(a-3)^2} \\&=\dfrac{1}{a-3} \quad (a≠1且a≠3)\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{a-3}$
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算的基本规则，计算时需注意运算顺序，因式分解要准确，避免因漏看公因式或者符号错误失分，熟练掌握分式运算规则和因式分解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式混合运算化简题，按照分式运算顺序求解即可：第一步先处理括号内的减法，将整数1转化为与括号内分式同分母的形式，做同分母分式减法运算；第二步根据“除以一个分式等于乘以它的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；第三步利用完全平方公式对除式的分子进行因式分解；第四步对分子分母的公因式进行约分化简，即可得到最终结果，约分时要注意公因式不能为0。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{a-1}{a-1}-\dfrac{2}{a-1} ) ÷ \dfrac{a^2-6a+9}{a-1} \\&=\dfrac{a-1-2}{a-1} × \dfrac{a-1}{(a-3)^2} \\&=\dfrac{a-3}{a-1} × \dfrac{a-1}{(a-3)^2} \\&=\dfrac{1}{a-3} \quad (a≠1且a≠3)\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{a-3}$
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式运算的基本规则，计算时需注意运算顺序，因式分解要准确，避免因漏看公因式或者符号错误失分，熟练掌握分式运算规则和因式分解方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4.若$\frac{m}{x^2 - y^2} = \frac{2xy + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x - y}$，则$m=$
$-x^2$
答案
4.$-x^2$
解析
【分析】
观察等式可知，两边分式的公分母为$x^2-y^2$，且分式有意义时$x^2-y^2≠0$，因此可以利用等式性质两边同乘公分母消去分母，再对右侧整式进行化简，即可求出$m$的值；也可以先将右侧两个分式通分，根据同分母分式相等时分子相等，化简右侧分子得到$m$。
【解析】
∵ 分式有意义，
∴ $x^2-y^2≠0$
等式两边同时乘以$x^2-y^2$，可得：
$m=2xy+y^2 - \frac{x+y}{x-y}·(x^2-y^2)$
根据平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入得：
$m=2xy+y^2 - (x+y)(x+y)$
展开完全平方公式：
$m=2xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)$
去括号并合并同类项：
$m=2xy+y^2 - x^2 - 2xy - y^2=-x^2$
【答案】
$-x^2$
【知识点】
分式的基本性质，分式加减运算，整式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时需要注意去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式和完全平方公式可以提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
观察等式可知，两边分式的公分母为$x^2-y^2$，且分式有意义时$x^2-y^2≠0$，因此可以利用等式性质两边同乘公分母消去分母，再对右侧整式进行化简，即可求出$m$的值；也可以先将右侧两个分式通分，根据同分母分式相等时分子相等，化简右侧分子得到$m$。
【解析】
∵ 分式有意义，
∴ $x^2-y^2≠0$
等式两边同时乘以$x^2-y^2$，可得：
$m=2xy+y^2 - \frac{x+y}{x-y}·(x^2-y^2)$
根据平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入得：
$m=2xy+y^2 - (x+y)(x+y)$
展开完全平方公式：
$m=2xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)$
去括号并合并同类项：
$m=2xy+y^2 - x^2 - 2xy - y^2=-x^2$
【答案】
$-x^2$
【知识点】
分式的基本性质，分式加减运算，整式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时需要注意去括号时的符号变化，熟练掌握平方差公式和完全平方公式可以提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
5.已知$x^2 - 2 = 0$，求代数式$\frac{(x-1)^2}{x^2 - 1} + \frac{x^2}{x + 1}$的值。
答案
5.解:$\frac{(x-1)^2}{x^2-1}+\frac{x^2}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}+\frac{x^2}{x+1}$
=$\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-1}{x+1}.$
由$x^2-2=0$,得$x^2=2$,把$x^2=2$代入原式,
则原式=$\frac{2+x-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1.$
=$\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+x-1}{x+1}.$
由$x^2-2=0$,得$x^2=2$,把$x^2=2$代入原式,
则原式=$\frac{2+x-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1.$
解析
【分析】
这是分式化简求值题，解题时优先先化简代数式再代入计算，可简化运算。首先观察代数式中第一个分式的分母为$x^2-1$，可利用平方差公式因式分解，对第一个分式约分后，两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则合并，再将已知条件$x^2=2$整体代入化简后的式子，最后约分即可得到结果，无需先求解$x$的值。
【解析】
解：先对代数式化简：
$\frac{(x-1)^2}{x^2-1}+\frac{x^2}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}+\frac{x^2}{x+1}$
约分（$x≠1$，保证分式有意义）得：
$=\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2}{x+1}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{x^2+x-1}{x+1}$
由$x^2-2=0$，得$x^2=2$，将$x^2=2$代入上式：
原式$=\frac{2+x-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$（$x≠-1$，保证分式有意义）
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先对分式因式分解、约分简化运算，再整体代入已知条件求值，避免直接求解$x$带来的额外计算，解题时需注意分式有意义的隐含约束，保证约分合法。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值题，解题时优先先化简代数式再代入计算，可简化运算。首先观察代数式中第一个分式的分母为$x^2-1$，可利用平方差公式因式分解，对第一个分式约分后，两个分式分母相同，按照同分母分式加法法则合并，再将已知条件$x^2=2$整体代入化简后的式子，最后约分即可得到结果，无需先求解$x$的值。
【解析】
解：先对代数式化简：
$\frac{(x-1)^2}{x^2-1}+\frac{x^2}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}+\frac{x^2}{x+1}$
约分（$x≠1$，保证分式有意义）得：
$=\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2}{x+1}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{x^2+x-1}{x+1}$
由$x^2-2=0$，得$x^2=2$，将$x^2=2$代入上式：
原式$=\frac{2+x-1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$（$x≠-1$，保证分式有意义）
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先对分式因式分解、约分简化运算，再整体代入已知条件求值，避免直接求解$x$带来的额外计算，解题时需注意分式有意义的隐含约束，保证约分合法。
【难度系数】
0.8
