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12. 如果关于 $x$ 的代数式 $3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + kx^3 + mx^2 + 4x + 5 - 7x$ 合并同类项后不含 $x^3$ 和 $x^2$ 项，求 $m^k$ 的值.
答案
12.【解】$3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + kx^3 + mx^2 + 4x + 5 - 7x=3x^4+(k-2)x^3+(m+5)x^2+(4-7)x+5=3x^4+(k-2)x^3+(m+5)x^2-3x+5$.
因为合并同类项后不含 $x^3$ 和 $x^2$ 项，
所以 $k-2=0,m+5=0$,
解得 $k=2,m=-5$.
所以 $m^k=(-5)^2=25$.
因为合并同类项后不含 $x^3$ 和 $x^2$ 项，
所以 $k-2=0,m+5=0$,
解得 $k=2,m=-5$.
所以 $m^k=(-5)^2=25$.
13. 如果 $ 2mx^a y $ 与 $ -5nx^{2a-3} y $（其中 $ m ≠ 0, n ≠ 0 $）是关于 $ x, y $ 的单项式，且它们是同类项。
(1) 求 $ (7a - 22)^{2026} $ 的值；
(2) 若 $ 2mx^a y + 5nx^{2a-3} y = 0 $，求 $ (2m + 5n)^{2027} $ 的值。
(1) 求 $ (7a - 22)^{2026} $ 的值；
(2) 若 $ 2mx^a y + 5nx^{2a-3} y = 0 $，求 $ (2m + 5n)^{2027} $ 的值。
答案
13.【解】(1) 因为 $ 2mx^a y $ 与 $ -5nx^{2a-3} y $（其中 $ m ≠ 0, n ≠ 0 $）是关于 $ x, y $ 的单项式，且它们是同类项，所以 $ a=2a-3 $,解得 $ a=3 $，
所以 $(7a-22)^{2026}=(7×3-22)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
(2) 因为 $ 2mx^a y + 5nx^{2a-3} y = 0 $，
所以 $ 2m+5n=0 $，
所以 $(2m+5n)^{2027}=0^{2027}=0$.
所以 $(7a-22)^{2026}=(7×3-22)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
(2) 因为 $ 2mx^a y + 5nx^{2a-3} y = 0 $，
所以 $ 2m+5n=0 $，
所以 $(2m+5n)^{2027}=0^{2027}=0$.
14. 母题 教材 P115习题 T5 我们知道：$4x+2x-x=(4+2-1)x=5x$，类似地，若我们把$(a+b)$看成一个整体，则有$4(a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)·(a+b)=5(a+b)$。这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛。
请运用“整体思想”解答下面的问题：
(1)$3(a-b)^2 -7(a-b)^2 +2(a-b)^2$；
(2)$-5(x+2y-z)^3 + \frac{1}{2}(x+2y-z)^3 -3(x+2y-z)^3$。
请运用“整体思想”解答下面的问题：
(1)$3(a-b)^2 -7(a-b)^2 +2(a-b)^2$；
(2)$-5(x+2y-z)^3 + \frac{1}{2}(x+2y-z)^3 -3(x+2y-z)^3$。
答案
14.【解】(1)原式$=(3-7+2)(a-b)^2=-2(a-b)^2$.
(2)原式$=(-5+\frac{1}{2}-3)(x+2y-z)^3=$
$-\frac{15}{2}(x+2y-z)^3$.
(2)原式$=(-5+\frac{1}{2}-3)(x+2y-z)^3=$
$-\frac{15}{2}(x+2y-z)^3$.
15. 学科素养 抽象能力 类比同类项的概念，我们规定:所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如:$-x^3y^4$与$2x^4y^3$是“强同类项”.
(1)给出下列四个单项式:
①$5x^2y^5$,②$-x^5y^5$,③$4x^4y^4$,④$-2x^3y^6$.其中与$x^4y^5$是“强同类项”的是
(2)若$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”，求$m$的值;
(3)若$C$为关于$x,y$的多项式，$C=(n-5)x^5y^6 + 3x^4y^5 -7x^4y^n$，当$C$的任意两项都是“强同类项”时，求$n$的值;
(4)已知$2a^2b^s,3a^tb^4$均为关于$a,b$的单项式，其中$s=|x-1|+k,t=2k$，如果$2a^2b^s$与$3a^tb^4$是“强同类项”，那么$x$的最大值是
(1)给出下列四个单项式:
①$5x^2y^5$,②$-x^5y^5$,③$4x^4y^4$,④$-2x^3y^6$.其中与$x^4y^5$是“强同类项”的是
②③④
（填序号）;(2)若$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”，求$m$的值;
(3)若$C$为关于$x,y$的多项式，$C=(n-5)x^5y^6 + 3x^4y^5 -7x^4y^n$，当$C$的任意两项都是“强同类项”时，求$n$的值;
(4)已知$2a^2b^s,3a^tb^4$均为关于$a,b$的单项式，其中$s=|x-1|+k,t=2k$，如果$2a^2b^s$与$3a^tb^4$是“强同类项”，那么$x$的最大值是
$\frac{11}{2}$
，最小值是$-\frac{7}{2}$
.答案
15.【解】(1)②③④
(2)因为 $x^3y^4z^{m-2}$ 与 $-2x^2y^3z^6$ 是“强同类项”,所以
$m-2=5,6$ 或 7,所以 $m=7,8$ 或 9.
(3)由题可知 $(n-5)x^5y^6$ 与 $3x^4y^5$ 是“强同类项”.
当 $(n-5)x^5y^6$ 与 $-7x^4y^n$ 是“强同类项”时,$n=5,6$ 或 7;
当 $3x^4y^5$ 与 $-7x^4y^n$ 是“强同类项”时 , $n=4,5$ 或 6. 所以 $n=5$ 或 6. 又因为当 $n=5$ 时,$C=-4x^4y^5$ 是单项式,与已知矛盾,所以 $n=6$.
(4)$\frac{11}{2};-\frac{7}{2}$ 【点拨】因为 $2a^2b^s,3a^tb^4$ 是“强同类项”,所以 $s=3,4$ 或 $5,t=1,2$ 或 $3$. 因为 $t=2k$,
所以 $k=\frac{1}{2},1$ 或 $\frac{3}{2}$. 因为 $s=|x-1|+k$,所以
$|x-1|=s-k$. 当 $s$ 取最大值,$k$ 取最小值时,
$|x-1|$ 取得最大值,此时 $x$ 有最大值和最小值,
即当 $s=5,k=\frac{1}{2}$ 时,$|x-1|=s-k=5-\frac{1}{2}=$
$\frac{9}{2}$,解得 $x=\frac{11}{2}$ 或 $-\frac{7}{2}$,所以 $x$ 的最大值为 $\frac{11}{2}$,
$x$ 的最小值为 $-\frac{7}{2}$.
(2)因为 $x^3y^4z^{m-2}$ 与 $-2x^2y^3z^6$ 是“强同类项”,所以
$m-2=5,6$ 或 7,所以 $m=7,8$ 或 9.
(3)由题可知 $(n-5)x^5y^6$ 与 $3x^4y^5$ 是“强同类项”.
当 $(n-5)x^5y^6$ 与 $-7x^4y^n$ 是“强同类项”时,$n=5,6$ 或 7;
当 $3x^4y^5$ 与 $-7x^4y^n$ 是“强同类项”时 , $n=4,5$ 或 6. 所以 $n=5$ 或 6. 又因为当 $n=5$ 时,$C=-4x^4y^5$ 是单项式,与已知矛盾,所以 $n=6$.
(4)$\frac{11}{2};-\frac{7}{2}$ 【点拨】因为 $2a^2b^s,3a^tb^4$ 是“强同类项”,所以 $s=3,4$ 或 $5,t=1,2$ 或 $3$. 因为 $t=2k$,
所以 $k=\frac{1}{2},1$ 或 $\frac{3}{2}$. 因为 $s=|x-1|+k$,所以
$|x-1|=s-k$. 当 $s$ 取最大值,$k$ 取最小值时,
$|x-1|$ 取得最大值,此时 $x$ 有最大值和最小值,
即当 $s=5,k=\frac{1}{2}$ 时,$|x-1|=s-k=5-\frac{1}{2}=$
$\frac{9}{2}$,解得 $x=\frac{11}{2}$ 或 $-\frac{7}{2}$,所以 $x$ 的最大值为 $\frac{11}{2}$,
$x$ 的最小值为 $-\frac{7}{2}$.
