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1. (2024 云南模拟)先化简,再求值:
$(\dfrac{x^2}{x-2} - x) ÷ \dfrac{x(x-4)}{2-x}$,其中 $x=5$.
$(\dfrac{x^2}{x-2} - x) ÷ \dfrac{x(x-4)}{2-x}$,其中 $x=5$.
答案
解：
先化简括号内的表达式：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-2} - x &= \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2}\\&= \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2}\\&= \frac{2x}{x-2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{2x}{x-2} ÷ \frac{x(x-4)}{2-x}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{2-x}{x(x-4)}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-4)}\\&= -\frac{2}{x-4}\\&= \frac{2}{4-x}\end{aligned}$
将$x=5$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{4-5}=-2$
先化简括号内的表达式：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-2} - x &= \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2}\\&= \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2}\\&= \frac{2x}{x-2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{2x}{x-2} ÷ \frac{x(x-4)}{2-x}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{2-x}{x(x-4)}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-4)}\\&= -\frac{2}{x-4}\\&= \frac{2}{4-x}\end{aligned}$
将$x=5$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{4-5}=-2$
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的异分母分式减法，通过通分将两项化为同分母分式后合并；接着将分式除法转化为乘法运算，注意到2-x与x-2互为相反数，变形时需调整符号，再对分子分母因式分解后约分化为最简分式；最后代入x=5计算结果，代入前可确认x的取值使原分式所有分母不为0，保证运算有效。
【解析】
先化简括号内的表达式：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-2} - x &= \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2}\\&= \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2}\\&= \frac{2x}{x-2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{2x}{x-2} ÷ \frac{x(x-4)}{2-x}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{2-x}{x(x-4)}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-4)}\\&= -\frac{2}{x-4}\\&= \frac{2}{4-x}\end{aligned}$
将$x=5$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{4-5}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的混合运算、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式通分、约分、除法转乘法的运算规则，解题的易错点是处理互为相反数的因式时容易忽略符号变化，代入数值前可先验证原分式有意义，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的异分母分式减法，通过通分将两项化为同分母分式后合并；接着将分式除法转化为乘法运算，注意到2-x与x-2互为相反数，变形时需调整符号，再对分子分母因式分解后约分化为最简分式；最后代入x=5计算结果，代入前可确认x的取值使原分式所有分母不为0，保证运算有效。
【解析】
先化简括号内的表达式：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-2} - x &= \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2}\\&= \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2}\\&= \frac{2x}{x-2}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= \frac{2x}{x-2} ÷ \frac{x(x-4)}{2-x}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{2-x}{x(x-4)}\\&= \frac{2x}{x-2} · \frac{-(x-2)}{x(x-4)}\\&= -\frac{2}{x-4}\\&= \frac{2}{4-x}\end{aligned}$
将$x=5$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{4-5}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的混合运算、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式通分、约分、除法转乘法的运算规则，解题的易错点是处理互为相反数的因式时容易忽略符号变化，代入数值前可先验证原分式有意义，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
2. 先化简，再求值：
，其中 $x=-2$。
，其中 $x=-2$。答案
解：
先化简括号内的式子：
$\begin{aligned}x+2-\frac{5}{x-2}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}\\&=\frac{x^2-4-5}{x-2}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}\end{aligned}$
因此原式可转化为：
$\begin{aligned}\frac{x-3}{x-2}÷\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}&=\frac{x-3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
将$x=-2$代入$\frac{1}{x+3}$，得：
$\frac{1}{-2+3}=1$
最终结果为$\boldsymbol{1}$。
先化简括号内的式子：
$\begin{aligned}x+2-\frac{5}{x-2}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}\\&=\frac{x^2-4-5}{x-2}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}\end{aligned}$
因此原式可转化为：
$\begin{aligned}\frac{x-3}{x-2}÷\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}&=\frac{x-3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
将$x=-2$代入$\frac{1}{x+3}$，得：
$\frac{1}{-2+3}=1$
最终结果为$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，按照“先化简，再代入求值”的思路解题：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式减分式，需先通分，将整式化为和分式同分母（分母为x-2）的形式，再合并分子，对合并后的分子因式分解，方便后续约分；第二步将分式除法转化为乘法运算，约掉分子分母的公因式，得到最简分式；最后将给定的x值代入最简分式计算结果即可，计算过程中要注意保证分式分母不为0。
【解析】
首先化简括号内的式子：
$\begin{aligned}x+2-\frac{5}{x-2}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}\\&=\frac{x^2-4-5}{x-2}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}\end{aligned}$
再计算原式的除法运算，将除法转化为乘以除数的倒数：
$\begin{aligned}\frac{x-3}{x-2}÷\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}&=\frac{x-3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
最后将$x=-2$代入最简式$\frac{1}{x+3}$计算：
$\frac{1}{-2+3}=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算的基本规则，通分、约分、平方差公式因式分解是解题的关键，运算时需遵循先算括号内、再算括号外的顺序，代入数值前可先验证取值是否让原分式有意义，避免出错。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，按照“先化简，再代入求值”的思路解题：第一步先处理括号内的运算，括号内是整式减分式，需先通分，将整式化为和分式同分母（分母为x-2）的形式，再合并分子，对合并后的分子因式分解，方便后续约分；第二步将分式除法转化为乘法运算，约掉分子分母的公因式，得到最简分式；最后将给定的x值代入最简分式计算结果即可，计算过程中要注意保证分式分母不为0。
【解析】
首先化简括号内的式子：
$\begin{aligned}x+2-\frac{5}{x-2}&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}\\&=\frac{x^2-4-5}{x-2}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}\end{aligned}$
再计算原式的除法运算，将除法转化为乘以除数的倒数：
$\begin{aligned}\frac{x-3}{x-2}÷\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}&=\frac{x-3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{1}{x+3}\end{aligned}$
最后将$x=-2$代入最简式$\frac{1}{x+3}$计算：
$\frac{1}{-2+3}=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式运算的基本规则，通分、约分、平方差公式因式分解是解题的关键，运算时需遵循先算括号内、再算括号外的顺序，代入数值前可先验证取值是否让原分式有意义，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. (2025 昆明期中)先化简,再求值:
$( \dfrac{4-2a}{a+2} - a + 2 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a}{a+2}$,请从$-2,-1,0,2$中选择一个合适的数作为$a$的值代入求值.
$( \dfrac{4-2a}{a+2} - a + 2 ) ÷ \dfrac{a^2 - 2a}{a+2}$,请从$-2,-1,0,2$中选择一个合适的数作为$a$的值代入求值.
答案
解：
$\begin{aligned}原式&=[\frac{4-2a}{a+2}-(a-2)]·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-(a-2)(a+2)}{a+2}·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-a^2+4}{a(a-2)}\\&=\frac{-a^2-2a+8}{a(a-2)}\\&=\frac{-(a+4)(a-2)}{a(a-2)}\\&=-\frac{a+4}{a}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$a+2≠0$，$a^2-2a≠0$，
即$a≠-2$，$a≠0$，$a≠2$，
因此选取$a=-1$代入，
当$a=-1$时，
原式$=-\frac{-1+4}{-1}=3$。
$\begin{aligned}原式&=[\frac{4-2a}{a+2}-(a-2)]·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-(a-2)(a+2)}{a+2}·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-a^2+4}{a(a-2)}\\&=\frac{-a^2-2a+8}{a(a-2)}\\&=\frac{-(a+4)(a-2)}{a(a-2)}\\&=-\frac{a+4}{a}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$a+2≠0$，$a^2-2a≠0$，
即$a≠-2$，$a≠0$，$a≠2$，
因此选取$a=-1$代入，
当$a=-1$时，
原式$=-\frac{-1+4}{-1}=3$。
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，遵循运算顺序先计算括号内的部分，将括号内的$-a+2$变形为$-(a-2)$，和前面的分式通分后计算减法；第二步，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子、分母因式分解，约分化简得到最简结果；第三步，先根据分式有意义的条件（分母、除数不能为0）排除不合适的$a$的取值，再从剩余可选数值中选一个代入最简式计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=[\frac{4-2a}{a+2}-(a-2)]·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-(a-2)(a+2)}{a+2}·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-a^2+4}{a(a-2)}\\&=\frac{-a^2-2a+8}{a(a-2)}\\&=\frac{-(a+4)(a-2)}{a(a-2)}\\&=-\frac{a+4}{a}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母和除数不能为0，即$a+2≠0$，$a^2-2a≠0$，
解得$a≠-2$，$a≠0$，$a≠2$，
因此选取$a=-1$代入最简式，
当$a=-1$时，
原式$=-\frac{-1+4}{-1}=3$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-\dfrac{a+4}{a}}$，选$a=-1$代入时，值为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件，因式分解的应用
【点评】
本题是分式运算的典型常考题，既考查了分式通分、约分、四则运算的基本规则，也提醒学生要先确定字母的合法取值范围，避免代入使分式无意义的数，计算过程中要格外注意符号变化，减少因符号失误导致的错误。
【难度系数】
0.6
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，遵循运算顺序先计算括号内的部分，将括号内的$-a+2$变形为$-(a-2)$，和前面的分式通分后计算减法；第二步，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子、分母因式分解，约分化简得到最简结果；第三步，先根据分式有意义的条件（分母、除数不能为0）排除不合适的$a$的取值，再从剩余可选数值中选一个代入最简式计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=[\frac{4-2a}{a+2}-(a-2)]·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-(a-2)(a+2)}{a+2}·\frac{a+2}{a(a-2)}\\&=\frac{4-2a-a^2+4}{a(a-2)}\\&=\frac{-a^2-2a+8}{a(a-2)}\\&=\frac{-(a+4)(a-2)}{a(a-2)}\\&=-\frac{a+4}{a}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母和除数不能为0，即$a+2≠0$，$a^2-2a≠0$，
解得$a≠-2$，$a≠0$，$a≠2$，
因此选取$a=-1$代入最简式，
当$a=-1$时，
原式$=-\frac{-1+4}{-1}=3$。
【答案】
化简结果为$\boldsymbol{-\dfrac{a+4}{a}}$，选$a=-1$代入时，值为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
分式的化简求值，分式有意义的条件，因式分解的应用
【点评】
本题是分式运算的典型常考题，既考查了分式通分、约分、四则运算的基本规则，也提醒学生要先确定字母的合法取值范围，避免代入使分式无意义的数，计算过程中要格外注意符号变化，减少因符号失误导致的错误。
【难度系数】
0.6
4. 先化简,再求值:
$(1+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2 -4}{m},$请为m选择一个合适的数代入求值.
$(1+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2 -4}{m},$请为m选择一个合适的数代入求值.
答案
解：
原式$=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2-4}{m}$
$=\frac{m}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$
由分式有意义的条件可知，$m≠0$且$m≠2$，
取$m=1$代入，
得原式$=1+2=3$。
原式$=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2-4}{m}$
$=\frac{m}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$
由分式有意义的条件可知，$m≠0$且$m≠2$，
取$m=1$代入，
得原式$=1+2=3$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题可按以下步骤思考：第一步先处理括号内的分式加法，将整数1转化为和括号内分式同分母的分式，通分后合并得到括号内的计算结果；第二步计算分式乘法，先对多项式$m^2-4$用平方差公式因式分解，再将分子分母的公因式约分，得到最简结果；第三步要结合分式有意义的条件（分母不为0）确定m的允许取值范围，避开使分母为0的数值后，任选一个合适的m代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2-4}{m}\\&=\frac{m-2+2}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}\\&=\frac{m}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}\\&=m+2\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：$m-2≠0$且$m≠0$，即$m≠2$且$m≠0$。
选择$m=1$代入化简后的式子，得：原式$=1+2=3$。
（注：m取值不唯一，只要满足$m≠0$且$m≠2$均可）
【答案】
化简结果为$m+2$，当$m=1$时，原式的值为$3$（答案不唯一）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心考查分式的运算法则，解题时需要注意：代入求值的数值必须保证原式中所有分式的分母都不为0，不能随意取值，否则会导致原分式无意义。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类题目，解题可按以下步骤思考：第一步先处理括号内的分式加法，将整数1转化为和括号内分式同分母的分式，通分后合并得到括号内的计算结果；第二步计算分式乘法，先对多项式$m^2-4$用平方差公式因式分解，再将分子分母的公因式约分，得到最简结果；第三步要结合分式有意义的条件（分母不为0）确定m的允许取值范围，避开使分母为0的数值后，任选一个合适的m代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2})·\frac{m^2-4}{m}\\&=\frac{m-2+2}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}\\&=\frac{m}{m-2}·\frac{(m+2)(m-2)}{m}\\&=m+2\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得：$m-2≠0$且$m≠0$，即$m≠2$且$m≠0$。
选择$m=1$代入化简后的式子，得：原式$=1+2=3$。
（注：m取值不唯一，只要满足$m≠0$且$m≠2$均可）
【答案】
化简结果为$m+2$，当$m=1$时，原式的值为$3$（答案不唯一）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心考查分式的运算法则，解题时需要注意：代入求值的数值必须保证原式中所有分式的分母都不为0，不能随意取值，否则会导致原分式无意义。
【难度系数】
0.8
