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5.“世界桥梁看中国,中国桥梁看贵州。”如图是贵州一座横跨峡谷的大桥,天堑变通途,径直的大桥极大程度地缩短了大桥两端的路程,其中“径直的大桥极大程度地缩短了大桥两端的路程”所蕴含的数学原理是。
答案
解：两点之间线段最短
解析
【分析】
解题时先提炼题目核心信息：我们可以把大桥的两个端点看作两个固定的点，“径直的大桥”对应连接这两个点的线段，“缩短路程”说明这条线段的长度比其他连接两点的路径更短，结合所学的线段相关性质，就能推出对应的数学原理。
【解析】
将大桥的两个端点抽象为平面内的两个点，原本跨越峡谷需要绕行的路线是连接这两个点的折线或曲线，径直修建的大桥本质是连接这两个点的线段。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此径直的大桥可以极大缩短两端的路程，对应原理即为两点之间线段最短。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题以实际生活中的桥梁建造为背景，考查数学基础原理的实际应用，引导学生关注生活中的数学现象，学会用所学数学知识解释生活问题，感受数学的实用价值。
【难度系数】
0.9
解题时先提炼题目核心信息：我们可以把大桥的两个端点看作两个固定的点，“径直的大桥”对应连接这两个点的线段，“缩短路程”说明这条线段的长度比其他连接两点的路径更短，结合所学的线段相关性质，就能推出对应的数学原理。
【解析】
将大桥的两个端点抽象为平面内的两个点，原本跨越峡谷需要绕行的路线是连接这两个点的折线或曲线，径直修建的大桥本质是连接这两个点的线段。根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短，因此径直的大桥可以极大缩短两端的路程，对应原理即为两点之间线段最短。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题以实际生活中的桥梁建造为背景，考查数学基础原理的实际应用，引导学生关注生活中的数学现象，学会用所学数学知识解释生活问题，感受数学的实用价值。
【难度系数】
0.9
6. 看图填空,在横线中写上用字母表示的线段:
(1)$AB=$ $+$ $+$ $;$
(2)$AB=$ $+$ $=$ $+$ $;$
(3)$CD=$ $-$ $=$ $-$ $=AB-$ $-$ $;$
(4)$AB=AD+CB-$ $。$
(1)$AB=$ $+$ $+$ $;$
(2)$AB=$ $+$ $=$ $+$ $;$
(3)$CD=$ $-$ $=$ $-$ $=AB-$ $-$ $;$
(4)$AB=AD+CB-$ $。$
答案
解：
(1) $AB= \boldsymbol{AC} + \boldsymbol{CD} + \boldsymbol{DB}$；
(2) $AB= \boldsymbol{AC} + \boldsymbol{CB} = \boldsymbol{AD} + \boldsymbol{DB}$；
(3) $CD= \boldsymbol{AD} - \boldsymbol{AC} = \boldsymbol{CB} - \boldsymbol{DB} = AB- \boldsymbol{AC} - \boldsymbol{DB}$；
(4) $AB=AD+CB-\boldsymbol{CD}$。
(1) $AB= \boldsymbol{AC} + \boldsymbol{CD} + \boldsymbol{DB}$；
(2) $AB= \boldsymbol{AC} + \boldsymbol{CB} = \boldsymbol{AD} + \boldsymbol{DB}$；
(3) $CD= \boldsymbol{AD} - \boldsymbol{AC} = \boldsymbol{CB} - \boldsymbol{DB} = AB- \boldsymbol{AC} - \boldsymbol{DB}$；
(4) $AB=AD+CB-\boldsymbol{CD}$。
解析
【分析】
解题前先明确线段上点的排列顺序为A、C、D、B依次排列，整条线段AB被点C、D分成了AC、CD、DB三段。解答这类线段和差问题的思路是：①求和时，将目标线段拆分为若干段相邻的小线段相加；②求差时，用包含所求线段的长线段减去其余部分的短线段；③对于有重叠部分的线段和，减去重复计算的重叠段即可得到总长度。
【解析】
根据点的排列顺序逐一分析：
(1) 线段AB由相邻的三段AC、CD、DB拼接组成，因此$AB = AC + CD + DB$；
(2) 若将AB拆分为两段：可在C点拆分，得$AB=AC+CB$；也可在D点拆分，得$AB=AD+DB$；
(3) 由$AD=AC+CD$移项得$CD=AD-AC$；由$CB=CD+DB$移项得$CD=CB-DB$；从整条AB中减去AC、DB两段，剩余部分为CD，因此$CD=AB-AC-DB$；
(4) 先计算$AD+CB$：$AD=AC+CD$，$CB=CD+DB$，因此$AD+CB=AC+CD+CD+DB=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$，移项可得$AB=AD+CB-CD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CD}$；$\boldsymbol{DB}$
(2) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CB}$；$\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{DB}$
(3) $\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CB}$；$\boldsymbol{DB}$；$\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{DB}$
(4) $\boldsymbol{CD}$
【知识点】
线段的和差计算，线段的表示
【点评】
本题是线段和差的基础考查题，解题核心是理清线段上各点的位置顺序，明确不同线段之间的包含、组合关系，拆分或合并线段时不要漏算、重复计算段数即可正确求解。
【难度系数】
0.9
解题前先明确线段上点的排列顺序为A、C、D、B依次排列，整条线段AB被点C、D分成了AC、CD、DB三段。解答这类线段和差问题的思路是：①求和时，将目标线段拆分为若干段相邻的小线段相加；②求差时，用包含所求线段的长线段减去其余部分的短线段；③对于有重叠部分的线段和，减去重复计算的重叠段即可得到总长度。
【解析】
根据点的排列顺序逐一分析：
(1) 线段AB由相邻的三段AC、CD、DB拼接组成，因此$AB = AC + CD + DB$；
(2) 若将AB拆分为两段：可在C点拆分，得$AB=AC+CB$；也可在D点拆分，得$AB=AD+DB$；
(3) 由$AD=AC+CD$移项得$CD=AD-AC$；由$CB=CD+DB$移项得$CD=CB-DB$；从整条AB中减去AC、DB两段，剩余部分为CD，因此$CD=AB-AC-DB$；
(4) 先计算$AD+CB$：$AD=AC+CD$，$CB=CD+DB$，因此$AD+CB=AC+CD+CD+DB=(AC+CD+DB)+CD=AB+CD$，移项可得$AB=AD+CB-CD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CD}$；$\boldsymbol{DB}$
(2) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CB}$；$\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{DB}$
(3) $\boldsymbol{AD}$；$\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{CB}$；$\boldsymbol{DB}$；$\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{DB}$
(4) $\boldsymbol{CD}$
【知识点】
线段的和差计算，线段的表示
【点评】
本题是线段和差的基础考查题，解题核心是理清线段上各点的位置顺序，明确不同线段之间的包含、组合关系，拆分或合并线段时不要漏算、重复计算段数即可正确求解。
【难度系数】
0.9
7.若A,B,P是数轴上三点,且点A表示的数为-2,点B表示的数为4,点P表示的数为x,当三点所组成的线段中,其中一个点是另外两点所组成线段的中点时,则x的值可以是。
答案
解：分三种情况计算：
1. 当点P是线段AB的中点时，
$x = (-2 + 4) ÷ 2 = 1$；
2. 当点A是线段BP的中点时，
$-2 = (4 + x) ÷ 2$，
解得$x = -8$；
3. 当点B是线段AP的中点时，
$4 = (-2 + x) ÷ 2$，
解得$x = 10$。
综上，$x$的值可以是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-8}$或$\boldsymbol{10}$。
1. 当点P是线段AB的中点时，
$x = (-2 + 4) ÷ 2 = 1$；
2. 当点A是线段BP的中点时，
$-2 = (4 + x) ÷ 2$，
解得$x = -8$；
3. 当点B是线段AP的中点时，
$4 = (-2 + x) ÷ 2$，
解得$x = 10$。
综上，$x$的值可以是$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-8}$或$\boldsymbol{10}$。
解析
【分析】
本题需结合线段中点的性质，用分类讨论的思想求解。题目未明确哪个点是另外两点连线的中点，因此要分三种情况逐一分析：①点P是线段AB的中点；②点A是线段BP的中点；③点B是线段AP的中点。每种情况利用“数轴上两点连线的中点对应的数等于两点对应数的平均数”的规律列式计算，就能求出对应的x值。
【解析】
分三种情况计算：
1. 当点P是线段AB的中点时，根据中点公式可得：
$x = (-2 + 4) ÷ 2 = 1$；
2. 当点A是线段BP的中点时，A为BP的中点，因此：
$-2 = (4 + x) ÷ 2$，
等式两边同乘2得：$-4=4+x$，解得$x = -8$；
3. 当点B是线段AP的中点时，B为AP的中点，因此：
$4 = (-2 + x) ÷ 2$，
等式两边同乘2得：$8=-2+x$，解得$x = 10$。
综上，x的值为1、-8或10。
【答案】
1或-8或10
【知识点】
线段中点定义，数轴中点计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段中点性质的应用，解题核心是完整枚举中点的三种可能情况，避免漏解，只要熟练掌握数轴上中点的计算方法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题需结合线段中点的性质，用分类讨论的思想求解。题目未明确哪个点是另外两点连线的中点，因此要分三种情况逐一分析：①点P是线段AB的中点；②点A是线段BP的中点；③点B是线段AP的中点。每种情况利用“数轴上两点连线的中点对应的数等于两点对应数的平均数”的规律列式计算，就能求出对应的x值。
【解析】
分三种情况计算：
1. 当点P是线段AB的中点时，根据中点公式可得：
$x = (-2 + 4) ÷ 2 = 1$；
2. 当点A是线段BP的中点时，A为BP的中点，因此：
$-2 = (4 + x) ÷ 2$，
等式两边同乘2得：$-4=4+x$，解得$x = -8$；
3. 当点B是线段AP的中点时，B为AP的中点，因此：
$4 = (-2 + x) ÷ 2$，
等式两边同乘2得：$8=-2+x$，解得$x = 10$。
综上，x的值为1、-8或10。
【答案】
1或-8或10
【知识点】
线段中点定义，数轴中点计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段中点性质的应用，解题核心是完整枚举中点的三种可能情况，避免漏解，只要熟练掌握数轴上中点的计算方法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 本节课告诉我们,画一条线段等于已知线段a,可以用圆规在射线AC上截取,就得到AB=a,如图①所示。
应用:如图②,已知线段AB。
(1)用直尺和圆规作图(在图②中),反向延长线段AB到点D,使AD=AB(不写作法,保留作图痕迹)。
(2)在(1)的条件下,若P为AD的中点,点C在直线AB上,且AB=4 cm,BC=1 cm。
①求线段BP的长度;
②直接写出CP的长度。
(3)若点A,B,C,按图③所示放置在数轴上,它们表示的数分别为a,b,b-a,请用直尺和圆规找出原点的位置(不写作法,保留作图痕迹)。
应用:如图②,已知线段AB。
(1)用直尺和圆规作图(在图②中),反向延长线段AB到点D,使AD=AB(不写作法,保留作图痕迹)。
(2)在(1)的条件下,若P为AD的中点,点C在直线AB上,且AB=4 cm,BC=1 cm。
①求线段BP的长度;
②直接写出CP的长度。
(3)若点A,B,C,按图③所示放置在数轴上,它们表示的数分别为a,b,b-a,请用直尺和圆规找出原点的位置(不写作法,保留作图痕迹)。
答案
解：
(1) 反向延长线段BA，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BA的延长线于点D，即得到AD=AB，保留对应圆规作图痕迹即可。
(2) ① 由AD=AB，AB=4 cm，得AD=4 cm。
∵ P为AD的中点，
∴ $AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP=AP+AB=2+4=6\ \mathrm{cm}$。
② CP的长度为5 cm或7 cm。
(3) 以点C为圆心，线段AB的长为半径画弧，交数轴于点O，点O即为所求的原点，保留对应圆规作图痕迹即可。
(1) 反向延长线段BA，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BA的延长线于点D，即得到AD=AB，保留对应圆规作图痕迹即可。
(2) ① 由AD=AB，AB=4 cm，得AD=4 cm。
∵ P为AD的中点，
∴ $AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $BP=AP+AB=2+4=6\ \mathrm{cm}$。
② CP的长度为5 cm或7 cm。
(3) 以点C为圆心，线段AB的长为半径画弧，交数轴于点O，点O即为所求的原点，保留对应圆规作图痕迹即可。
解析
【分析】
本题分为作图和线段计算两类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问作图：反向延长AB即沿BA方向延长，再用圆规截取等长线段：以A为圆心、AB长度为半径画弧，与BA延长线的交点即为D，满足AD=AB。
2. 第(2)问线段计算：①先根据AD=AB得到AD的长度，再结合中点性质求出AP的长，最后根据线段和的关系计算BP；②点C在直线AB上，存在两种位置情况：C在线段AB上、C在线段AB的延长线上，分情况结合线段和差计算CP即可，避免漏解。
3. 第(3)问数轴找原点：数轴上AB的长度为$b-a$，点C表示的数为$b-a$，说明原点到C的距离等于AB的长度，因此以C为圆心、AB长为半径向左画弧，与数轴的交点即为原点。
【解析】
(1) 反向延长线段BA，以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与BA的延长线交于点D，点D即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) ①已知AD=AB，AB=4cm，因此AD=4cm。
∵ P是AD的中点，
∴ $AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D在AB的反向延长线上，P、A、B三点顺序为P、A、B，
∴ $BP=AP+AB=2+4=6\ \mathrm{cm}$。
②点C在直线AB上，分两种情况：
情况1：点C在线段AB的延长线上（B的右侧），此时$CP=BP+BC=6+1=7\ \mathrm{cm}$；
情况2：点C在线段AB上（B的左侧），此时$CP=BP-BC=6-1=5\ \mathrm{cm}$；
因此CP的长度为5cm或7cm。
(3) 以点C为圆心，线段AB的长度为半径画弧，交线段AC于点O，点O即为所求原点，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 按要求作图，保留圆规画弧痕迹即可；
(2) ① $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$；
(3) 按要求作图，保留圆规画弧痕迹即可。
【知识点】
尺规作等长线段，线段中点的性质，线段的和差计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图操作、线段和差计算及数轴的应用，解题时需要注意点在直线上时存在多种位置，要分类讨论避免漏解，同时考查了动手操作能力和逻辑推理能力，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
本题分为作图和线段计算两类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问作图：反向延长AB即沿BA方向延长，再用圆规截取等长线段：以A为圆心、AB长度为半径画弧，与BA延长线的交点即为D，满足AD=AB。
2. 第(2)问线段计算：①先根据AD=AB得到AD的长度，再结合中点性质求出AP的长，最后根据线段和的关系计算BP；②点C在直线AB上，存在两种位置情况：C在线段AB上、C在线段AB的延长线上，分情况结合线段和差计算CP即可，避免漏解。
3. 第(3)问数轴找原点：数轴上AB的长度为$b-a$，点C表示的数为$b-a$，说明原点到C的距离等于AB的长度，因此以C为圆心、AB长为半径向左画弧，与数轴的交点即为原点。
【解析】
(1) 反向延长线段BA，以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与BA的延长线交于点D，点D即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) ①已知AD=AB，AB=4cm，因此AD=4cm。
∵ P是AD的中点，
∴ $AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D在AB的反向延长线上，P、A、B三点顺序为P、A、B，
∴ $BP=AP+AB=2+4=6\ \mathrm{cm}$。
②点C在直线AB上，分两种情况：
情况1：点C在线段AB的延长线上（B的右侧），此时$CP=BP+BC=6+1=7\ \mathrm{cm}$；
情况2：点C在线段AB上（B的左侧），此时$CP=BP-BC=6-1=5\ \mathrm{cm}$；
因此CP的长度为5cm或7cm。
(3) 以点C为圆心，线段AB的长度为半径画弧，交线段AC于点O，点O即为所求原点，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) 按要求作图，保留圆规画弧痕迹即可；
(2) ① $\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；② $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$；
(3) 按要求作图，保留圆规画弧痕迹即可。
【知识点】
尺规作等长线段，线段中点的性质，线段的和差计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图操作、线段和差计算及数轴的应用，解题时需要注意点在直线上时存在多种位置，要分类讨论避免漏解，同时考查了动手操作能力和逻辑推理能力，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.7
