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9. 如图,已知线段AB,点C是AB的中点,点D是AB的三等分点,且点D在点C的右边。
(1)若AB=6,求CD的长。
(2)在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点,同时点C也是DE的中点?若存在,请说明理由。
(1)若AB=6,求CD的长。
(2)在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点,同时点C也是DE的中点?若存在,请说明理由。
答案
解：
(1) 因为点C是AB的中点，AB=6，
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，
所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$。
所以 $CD=AD-AC=4-3=1$。
(2) 存在，理由如下：
设线段AB的长为$x$，
因为点C是AB的中点，所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2x}{3}$。
若E是AD的中点，则 $AE=ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{2x}{3}=\frac{x}{3}$。
此时 $EC=AC-AE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{x}{6}$，
又 $CD=AD-AC=\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=\frac{x}{6}$，
所以 $EC=CD$，即点C是DE的中点。
由 $AE=\frac{x}{3}＜\frac{x}{2}=AC$，可知点E在线段AC上，满足条件。
因此在线段AC上存在符合要求的点E。
(1) 因为点C是AB的中点，AB=6，
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，
所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$。
所以 $CD=AD-AC=4-3=1$。
(2) 存在，理由如下：
设线段AB的长为$x$，
因为点C是AB的中点，所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2x}{3}$。
若E是AD的中点，则 $AE=ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{2x}{3}=\frac{x}{3}$。
此时 $EC=AC-AE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{x}{6}$，
又 $CD=AD-AC=\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=\frac{x}{6}$，
所以 $EC=CD$，即点C是DE的中点。
由 $AE=\frac{x}{3}＜\frac{x}{2}=AC$，可知点E在线段AC上，满足条件。
因此在线段AC上存在符合要求的点E。
解析
【分析】
(1) 要求CD的长度，首先根据线段中点的定义求出AC的长度，再根据靠近B的三等分点的性质求出AD的长度，最后通过线段差的关系CD=AD-AC计算即可得到结果。
(2) 探究是否存在符合条件的点E，可先设AB的长度为参数x，用含x的式子表示出AC、AD的长度；再假设E是AD的中点，求出AE、ED的长度，计算EC的长度后和CD的长度对比，同时验证E的位置是否在线段AC上，即可判断是否存在满足要求的点E。
【解析】
(1) 因为点C是AB的中点，AB=6，
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，
所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$。
所以 $CD=AD-AC=4-3=1$。
(2) 存在，理由如下：
设线段AB的长为$x$，
因为点C是AB的中点，所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2x}{3}$。
若E是AD的中点，则 $AE=ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{2x}{3}=\frac{x}{3}$。
此时 $EC=AC-AE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{x}{6}$，
又 $CD=AD-AC=\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=\frac{x}{6}$，
所以 $EC=CD$，即点C是DE的中点。
由 $AE=\frac{x}{3}＜\frac{x}{2}=AC$，可知点E在线段AC上，满足条件。
因此在线段AC上存在符合要求的点E。
【答案】
(1) $CD=1$；
(2) 存在，理由见解析。
【知识点】
线段中点的定义，线段三等分点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问为基础的线段长度求解，直接利用分点性质和线段和差关系即可计算；第二问为存在性探究题，通过设参数表示各线段长度的方法可以直观验证条件是否成立，熟练掌握线段分点的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的长度，首先根据线段中点的定义求出AC的长度，再根据靠近B的三等分点的性质求出AD的长度，最后通过线段差的关系CD=AD-AC计算即可得到结果。
(2) 探究是否存在符合条件的点E，可先设AB的长度为参数x，用含x的式子表示出AC、AD的长度；再假设E是AD的中点，求出AE、ED的长度，计算EC的长度后和CD的长度对比，同时验证E的位置是否在线段AC上，即可判断是否存在满足要求的点E。
【解析】
(1) 因为点C是AB的中点，AB=6，
所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，
所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×6=4$。
所以 $CD=AD-AC=4-3=1$。
(2) 存在，理由如下：
设线段AB的长为$x$，
因为点C是AB的中点，所以 $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$。
因为点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边，所以 $AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2x}{3}$。
若E是AD的中点，则 $AE=ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{2x}{3}=\frac{x}{3}$。
此时 $EC=AC-AE=\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{x}{6}$，
又 $CD=AD-AC=\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=\frac{x}{6}$，
所以 $EC=CD$，即点C是DE的中点。
由 $AE=\frac{x}{3}＜\frac{x}{2}=AC$，可知点E在线段AC上，满足条件。
因此在线段AC上存在符合要求的点E。
【答案】
(1) $CD=1$；
(2) 存在，理由见解析。
【知识点】
线段中点的定义，线段三等分点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问为基础的线段长度求解，直接利用分点性质和线段和差关系即可计算；第二问为存在性探究题，通过设参数表示各线段长度的方法可以直观验证条件是否成立，熟练掌握线段分点的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10. 已知点A,B,C是直线l上的三个点(点A在点B左侧),点D,E分别是AC,BC的中点。
(1)特例探究:如图,当点C在线段AB上,且AB=10时,求DE的长度。
(2)一般猜想:当点C在线段AB上,且AB=a时,求线段DE的长度。
(3)归纳结论:经历了上述探究过程,请你用简短的文字概括上述探究得到的结论。
(4)方法迁移:若点C是直线AB上任意一点(点C在线段AB上除外),上述结论还成立吗?请画出图形,并选取其中一种情况加以说明。
(5)学以致用:小明同学在解决问题“某校七年级(1)班延时服务统计情况如下,其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍,参加延时服务的男生是全班男生人数的$\frac{2}{3}$,若参加延时服务的男生、女生共有m人,则该班共有学生多少人?(用含m的式子表示)”时,突然联想到上面的几何问题,请你将这个实际问题转化为几何模型,并直接写出答案。(建立几何模型就是画出相应的线段示意图,并分别注明相应线段的实际意义)
(1)特例探究:如图,当点C在线段AB上,且AB=10时,求DE的长度。
(2)一般猜想:当点C在线段AB上,且AB=a时,求线段DE的长度。
(3)归纳结论:经历了上述探究过程,请你用简短的文字概括上述探究得到的结论。
(4)方法迁移:若点C是直线AB上任意一点(点C在线段AB上除外),上述结论还成立吗?请画出图形,并选取其中一种情况加以说明。
(5)学以致用:小明同学在解决问题“某校七年级(1)班延时服务统计情况如下,其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍,参加延时服务的男生是全班男生人数的$\frac{2}{3}$,若参加延时服务的男生、女生共有m人,则该班共有学生多少人?(用含m的式子表示)”时,突然联想到上面的几何问题,请你将这个实际问题转化为几何模型,并直接写出答案。(建立几何模型就是画出相应的线段示意图,并分别注明相应线段的实际意义)
答案
解：
(1) 因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=10$，
所以 $DE=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=a$，
所以 $DE=\frac{1}{2}a$。
(3) 若点C在线段AB上，点D,E分别是AC,BC的中点，则线段DE的长度恒等于线段AB长度的一半，与点C的位置无关。
(4) 上述结论仍然成立。
选取点C在线段AB的延长线上的情况说明：
直线l上点的顺序从左到右为A、B、C。
因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC-EC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
又因为 $AC-BC=AB$，
所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，结论成立。
(5) 几何模型：
画线段AB，点C在线段AB上，标注：
线段AC代表全班女生总人数，
线段CB代表全班男生总人数，
点D在AC上，$AD=\frac{2}{3}AC$ 代表参加延时服务的女生人数，
点E在CB上，$CE=\frac{2}{3}CB$ 代表参加延时服务的男生人数，满足$AD+CE=m$。
该班共有学生 $\frac{3}{2}m$ 人。
(1) 因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=10$，
所以 $DE=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=a$，
所以 $DE=\frac{1}{2}a$。
(3) 若点C在线段AB上，点D,E分别是AC,BC的中点，则线段DE的长度恒等于线段AB长度的一半，与点C的位置无关。
(4) 上述结论仍然成立。
选取点C在线段AB的延长线上的情况说明：
直线l上点的顺序从左到右为A、B、C。
因为点D,E分别是AC,BC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC-EC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
又因为 $AC-BC=AB$，
所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，结论成立。
(5) 几何模型：
画线段AB，点C在线段AB上，标注：
线段AC代表全班女生总人数，
线段CB代表全班男生总人数，
点D在AC上，$AD=\frac{2}{3}AC$ 代表参加延时服务的女生人数，
点E在CB上，$CE=\frac{2}{3}CB$ 代表参加延时服务的男生人数，满足$AD+CE=m$。
该班共有学生 $\frac{3}{2}m$ 人。
解析
【分析】
本题围绕线段中点的性质逐层展开探究，解题思路如下：
(1) 看到线段中点可联想到中点将线段分为等长的两段，因此可得$DC=\frac{1}{2}AC$、$EC=\frac{1}{2}BC$，观察$DE$的组成可知$DE=DC+EC$，合并后刚好为$\frac{1}{2}(AC+BC)$，而$AC+BC$就是$AB$的长度，代入$AB=10$即可计算出结果。
(2) 与第(1)问推理逻辑完全一致，仅将$AB$的具体数值替换为字母$a$，代入即可得到$DE$的表达式。
(3) 总结前两问的共性规律：当点$C$在线段$AB$上时，无论$C$的位置如何，$DE$的长度始终是$AB$的一半，据此提炼文字结论即可。
(4) 点$C$在直线$AB$上时，除了在线段$AB$上，还有在线段$AB$延长线、线段$BA$延长线两种情况，任选其一利用中点性质推导，此时$DE$为两段中点线段的差，结合线段和差关系仍可推出$DE=\frac{1}{2}AB$，即可证明结论成立。
(5) 分析实际问题：参加延时的女生是女生总人数的$\frac{2}{3}$，参加延时的男生是男生总人数的$\frac{2}{3}$，可将女生总人数、男生总人数分别看作同一直线上相邻的两段线段$AC$、$CB$，参加延时的男女生人数分别是对应线段的$\frac{2}{3}$，相加可得总参加人数为全班总人数的$\frac{2}{3}$，反推即可求出全班总人数。
【解析】
(1) 因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=10$，
所以 $DE=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=a$，
所以 $DE=\frac{1}{2}a$。
(3) 若点$C$在线段$AB$上，点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，则线段$DE$的长度恒等于线段$AB$长度的一半，与点$C$的位置无关。
(4) 上述结论仍然成立。
选取点$C$在线段$AB$的延长线上的情况说明：
直线$l$上点的顺序从左到右为$A、B、C$。
因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC-EC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
又因为 $AC-BC=AB$，
所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，结论成立。
(5) 几何模型：
画线段$AB$，点$C$在线段$AB$上，标注：
线段$AC$代表全班女生总人数，
线段$CB$代表全班男生总人数，
点$D$在$AC$上，$AD=\frac{2}{3}AC$ 代表参加延时服务的女生人数，
点$E$在$CB$上，$CE=\frac{2}{3}CB$ 代表参加延时服务的男生人数，满足$AD+CE=m$。
该班共有学生 $\frac{3}{2}m$ 人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=5}$；
(2) $\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}a}$；
(3) 若点$C$在线段$AB$上，点$D$、$E$分别是$AC$、$BC$的中点，则$DE$的长度等于$AB$长度的一半，与点$C$的位置无关；
(4) 结论仍然成立，说明见解析；
(5) 几何模型见解析，该班共有学生$\boldsymbol{\frac{3}{2}m}$人。
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，数学建模
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，先探究线段上点的规律，再拓展到直线上点的所有位置，最后结合实际问题考查知识迁移能力，既巩固了线段相关的基础运算，也锻炼了逻辑推理和建模应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕线段中点的性质逐层展开探究，解题思路如下：
(1) 看到线段中点可联想到中点将线段分为等长的两段，因此可得$DC=\frac{1}{2}AC$、$EC=\frac{1}{2}BC$，观察$DE$的组成可知$DE=DC+EC$，合并后刚好为$\frac{1}{2}(AC+BC)$，而$AC+BC$就是$AB$的长度，代入$AB=10$即可计算出结果。
(2) 与第(1)问推理逻辑完全一致，仅将$AB$的具体数值替换为字母$a$，代入即可得到$DE$的表达式。
(3) 总结前两问的共性规律：当点$C$在线段$AB$上时，无论$C$的位置如何，$DE$的长度始终是$AB$的一半，据此提炼文字结论即可。
(4) 点$C$在直线$AB$上时，除了在线段$AB$上，还有在线段$AB$延长线、线段$BA$延长线两种情况，任选其一利用中点性质推导，此时$DE$为两段中点线段的差，结合线段和差关系仍可推出$DE=\frac{1}{2}AB$，即可证明结论成立。
(5) 分析实际问题：参加延时的女生是女生总人数的$\frac{2}{3}$，参加延时的男生是男生总人数的$\frac{2}{3}$，可将女生总人数、男生总人数分别看作同一直线上相邻的两段线段$AC$、$CB$，参加延时的男女生人数分别是对应线段的$\frac{2}{3}$，相加可得总参加人数为全班总人数的$\frac{2}{3}$，反推即可求出全班总人数。
【解析】
(1) 因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=10$，
所以 $DE=\frac{1}{2}×10=5$。
(2) 因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC+EC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB=a$，
所以 $DE=\frac{1}{2}a$。
(3) 若点$C$在线段$AB$上，点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，则线段$DE$的长度恒等于线段$AB$长度的一半，与点$C$的位置无关。
(4) 上述结论仍然成立。
选取点$C$在线段$AB$的延长线上的情况说明：
直线$l$上点的顺序从左到右为$A、B、C$。
因为点$D,E$分别是$AC,BC$的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$。
所以 $DE=DC-EC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
又因为 $AC-BC=AB$，
所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，结论成立。
(5) 几何模型：
画线段$AB$，点$C$在线段$AB$上，标注：
线段$AC$代表全班女生总人数，
线段$CB$代表全班男生总人数，
点$D$在$AC$上，$AD=\frac{2}{3}AC$ 代表参加延时服务的女生人数，
点$E$在$CB$上，$CE=\frac{2}{3}CB$ 代表参加延时服务的男生人数，满足$AD+CE=m$。
该班共有学生 $\frac{3}{2}m$ 人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=5}$；
(2) $\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}a}$；
(3) 若点$C$在线段$AB$上，点$D$、$E$分别是$AC$、$BC$的中点，则$DE$的长度等于$AB$长度的一半，与点$C$的位置无关；
(4) 结论仍然成立，说明见解析；
(5) 几何模型见解析，该班共有学生$\boldsymbol{\frac{3}{2}m}$人。
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，数学建模
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，先探究线段上点的规律，再拓展到直线上点的所有位置，最后结合实际问题考查知识迁移能力，既巩固了线段相关的基础运算，也锻炼了逻辑推理和建模应用的能力。
【难度系数】
0.7
