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11. (云南模拟)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，$AC⊥ BC$于点$C$，$DE⊥ AB$于点$E$，已知$AB=5$，$BC=4$，$AC=3$，则$△ AED$的周长是（
A.3
B.4
C.6
D.5
B
）A.3
B.4
C.6
D.5
答案
11. B
解析
【分析】
解题时先利用角平分线的性质得出DE=DC，再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE，进而求出AE的长度，最后将△AED的周长中的DE替换为DC，把周长转化为AE与AC的和，即可计算出结果。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB
∴DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DC=DE\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
∴BC=BE=4
∵AB=5，
∴AE=AB-BE=5-4=1
△AED的周长为$AE + DE + AD$
又
∵DE=DC，
∴$DE+AD=DC+AD=AC=3$
∴△AED的周长=$1+3=4$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，周长等量代换
【点评】
本题核心是利用角平分线性质和全等三角形实现线段的等量转换，不需要单独计算每条未知边的长度，掌握这类转换思路能大幅提升几何解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先利用角平分线的性质得出DE=DC，再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE，进而求出AE的长度，最后将△AED的周长中的DE替换为DC，把周长转化为AE与AC的和，即可计算出结果。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB
∴DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DC=DE\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
∴BC=BE=4
∵AB=5，
∴AE=AB-BE=5-4=1
△AED的周长为$AE + DE + AD$
又
∵DE=DC，
∴$DE+AD=DC+AD=AC=3$
∴△AED的周长=$1+3=4$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，周长等量代换
【点评】
本题核心是利用角平分线性质和全等三角形实现线段的等量转换，不需要单独计算每条未知边的长度，掌握这类转换思路能大幅提升几何解题效率。
【难度系数】
0.7
12.(镇江模拟)如图,点P是∠AOB的平分线上一点,PD⊥OA于点D,CE垂直平分OP,若∠AOB=30°,OE=8,则PD=
4
.答案
12. 4
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：① 首先利用线段垂直平分线的性质，得出PE与OE长度相等，得到PE的长度；② 结合角平分线的定义、等腰三角形等边对等角的性质以及三角形外角的性质，求出PE与OB边的夹角为30°；③ 过P作OB的垂线，利用角平分线的性质可知PD等于该垂线段的长度，最后利用含30°角的直角三角形的性质计算即可得到PD的值。
【解析】
过点P作PF⊥OB于点F。
1. 因为CE垂直平分OP，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得 $ PE = OE = 8 $，因此 $ ∠ EOP = ∠ EPO $。
2. 已知OP是$ ∠ AOB $的角平分线，$ ∠ AOB = 30° $，所以 $ ∠ EOP = ∠ DOP = \frac{1}{2}∠ AOB = 15° $。
根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得 $ ∠ PEF = ∠ EOP + ∠ EPO = 15° + 15° = 30° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ PEF $中，$ ∠ PFE = 90° $，$ ∠ PEF = 30° $，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得 $ PF = \frac{1}{2}PE = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
4. 因为OP平分$ ∠ AOB $，$ PD⊥ OA $，$ PF⊥ OB $，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $ PD = PF = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将所求线段转化为易求的垂线段，再结合相关几何性质逐步推导即可，需要学生熟练掌握常用的几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：① 首先利用线段垂直平分线的性质，得出PE与OE长度相等，得到PE的长度；② 结合角平分线的定义、等腰三角形等边对等角的性质以及三角形外角的性质，求出PE与OB边的夹角为30°；③ 过P作OB的垂线，利用角平分线的性质可知PD等于该垂线段的长度，最后利用含30°角的直角三角形的性质计算即可得到PD的值。
【解析】
过点P作PF⊥OB于点F。
1. 因为CE垂直平分OP，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得 $ PE = OE = 8 $，因此 $ ∠ EOP = ∠ EPO $。
2. 已知OP是$ ∠ AOB $的角平分线，$ ∠ AOB = 30° $，所以 $ ∠ EOP = ∠ DOP = \frac{1}{2}∠ AOB = 15° $。
根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得 $ ∠ PEF = ∠ EOP + ∠ EPO = 15° + 15° = 30° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ PEF $中，$ ∠ PFE = 90° $，$ ∠ PEF = 30° $，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得 $ PF = \frac{1}{2}PE = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
4. 因为OP平分$ ∠ AOB $，$ PD⊥ OA $，$ PF⊥ OB $，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $ PD = PF = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将所求线段转化为易求的垂线段，再结合相关几何性质逐步推导即可，需要学生熟练掌握常用的几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
13.如图,已知 BD 为$∠ABC$的平分线,点 P在BD 上,$PM⊥AD$于点 M,$PN⊥CD$于点 N,且$PM=PN$.求证:$AD=CD$.
答案
13. 证明:因为BD为$∠ABC$的平分线,
所以$∠ABD=∠CBD$,
因为$PM⊥AD$,$PN⊥CD$,且$PM=PN$,
所以$∠ADB=∠CDB$.
在$△ABD$和$△CBD$中,$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(\mathrm{ASA})$,所以$AD=CD$.
所以$∠ABD=∠CBD$,
因为$PM⊥AD$,$PN⊥CD$,且$PM=PN$,
所以$∠ADB=∠CDB$.
在$△ABD$和$△CBD$中,$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(\mathrm{ASA})$,所以$AD=CD$.
解析
【分析】
要证明AD=CD，可通过证明AD、CD所在的△ABD与△CBD全等实现。首先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，且两三角形有公共边BD，还缺少一组相等的角或边；再结合已知PM⊥AD、PN⊥CD且PM=PN，根据角平分线的判定定理，可知点P在∠ADC的平分线上，即BD平分∠ADC，得到∠ADB=∠CDB，此时满足ASA全等的判定条件，证得两三角形全等后即可推出对应边AD=CD。
【解析】
证明：因为BD为$∠ABC$的平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$，
因为$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，且$PM=PN$，
所以$∠ADB=∠CDB$。
在$△ABD$和$△CBD$中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(\mathrm{ASA})$，所以$AD=CD$。
【答案】
$AD=CD$
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的判定和全等三角形的相关知识，解题的关键是根据PM=PN推出∠ADB=∠CDB，找到证明三角形全等的条件，属于常规几何证明题，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明AD=CD，可通过证明AD、CD所在的△ABD与△CBD全等实现。首先梳理已知条件：BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，且两三角形有公共边BD，还缺少一组相等的角或边；再结合已知PM⊥AD、PN⊥CD且PM=PN，根据角平分线的判定定理，可知点P在∠ADC的平分线上，即BD平分∠ADC，得到∠ADB=∠CDB，此时满足ASA全等的判定条件，证得两三角形全等后即可推出对应边AD=CD。
【解析】
证明：因为BD为$∠ABC$的平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$，
因为$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，且$PM=PN$，
所以$∠ADB=∠CDB$。
在$△ABD$和$△CBD$中，
$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(\mathrm{ASA})$，所以$AD=CD$。
【答案】
$AD=CD$
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的判定和全等三角形的相关知识，解题的关键是根据PM=PN推出∠ADB=∠CDB，找到证明三角形全等的条件，属于常规几何证明题，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
14. (应用意识)国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪.某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表(不完整).
| 课题 | 测量学校旗杆的高度 |
| --- | --- |
| 成员 | 组长:××× 组员:×××,×××,××× |
| 工具 | 皮尺等 |
| 测量示意图 |
说明:线段AB表示学校旗杆,AB垂直地面于点B,如图1,第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直落到地面,并多出了一段BC,用皮尺测出BC的长度;如图2,第二次将绳子拉直,绳子末端落在地面的点D处,用皮尺测出BD的距离 |
| 测量数据 | 测量项目 数值 图1中BC的长度 1 m 图2中BD的长度 5.4 m |
| ... | ... |
(1)根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度;
(2)该校礼仪队要求旗手在不少于45 s且不超过50 s的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处,已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96 cm,求五星红旗升起的平均速度的取值范围(结果精确到0.01 m/s).
| 课题 | 测量学校旗杆的高度 |
| --- | --- |
| 成员 | 组长:××× 组员:×××,×××,××× |
| 工具 | 皮尺等 |
| 测量示意图 |
说明:线段AB表示学校旗杆,AB垂直地面于点B,如图1,第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直落到地面,并多出了一段BC,用皮尺测出BC的长度;如图2,第二次将绳子拉直,绳子末端落在地面的点D处,用皮尺测出BD的距离 || 测量数据 | 测量项目 数值 图1中BC的长度 1 m 图2中BD的长度 5.4 m |
| ... | ... |
(1)根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度;
(2)该校礼仪队要求旗手在不少于45 s且不超过50 s的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处,已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96 cm,求五星红旗升起的平均速度的取值范围(结果精确到0.01 m/s).
答案
14. 解:(1)由题图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1 m,
设旗杆的高度为$x$ m,则绳子的长度为$(x+1)$m,
由题图2可得,在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AB^2+BD^2=AD^2$,即$x^2+5.4^2=(x+1)^2$,
解得$x=14.08$.
答:旗杆的高度为14.08 m.
(2)$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$,
$14.08-0.96=13.12(\mathrm{m})$,
$13.12÷45\approx0.29(\mathrm{m/s})$,
$13.12÷50\approx0.26(\mathrm{m/s})$.
答:五星红旗升起的速度不小于0.26 m/s且不大于0.29 m/s.
设旗杆的高度为$x$ m,则绳子的长度为$(x+1)$m,
由题图2可得,在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AB^2+BD^2=AD^2$,即$x^2+5.4^2=(x+1)^2$,
解得$x=14.08$.
答:旗杆的高度为14.08 m.
(2)$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$,
$14.08-0.96=13.12(\mathrm{m})$,
$13.12÷45\approx0.29(\mathrm{m/s})$,
$13.12÷50\approx0.26(\mathrm{m/s})$.
答:五星红旗升起的速度不小于0.26 m/s且不大于0.29 m/s.
解析
【分析】
（1）首先梳理题目中的数量关系：绳子长度比旗杆高度多1m，绳子拉直落到地面D点时，旗杆AB、水平距离BD、绳子AD刚好构成直角三角形，我们可以设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列一元一次方程求解即可。
（2）首先要统一单位，其次注意旗子自身有长度，因此旗子实际上升的路程为旗杆高度减去旗子自身的长度，再根据“速度=路程÷时间”，分别用路程除以最长时间、最短时间，即可得到平均速度的取值范围。
【解析】
(1) 设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知绳子的总长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
将$BD=5.4\ \mathrm{m}$，$AD=x+1$代入上式得：
$x^2 + 5.4^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$x^2 + 29.16 = x^2 + 2x + 1$
移项化简解得：$x=14.08$
(2) 先统一单位：$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$
五星红旗实际上升的路程为：$14.08 - 0.96 = 13.12\ \mathrm{m}$
当升旗时间为最长的$50\ \mathrm{s}$时，平均速度最小：$13.12÷50\approx0.26(\mathrm{m/s})$
当升旗时间为最短的$45\ \mathrm{s}$时，平均速度最大：$13.12÷45\approx0.29(\mathrm{m/s})$
【答案】
(1) 学校旗杆AB的高度为14.08 m；
(2) 五星红旗升起的平均速度不小于0.26 m/s且不大于0.29 m/s。
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；速度计算
【点评】
本题结合校园升旗的真实场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，兼顾几何定理应用和代数运算，贴合生活实际，能有效锻炼学生的实践应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先梳理题目中的数量关系：绳子长度比旗杆高度多1m，绳子拉直落到地面D点时，旗杆AB、水平距离BD、绳子AD刚好构成直角三角形，我们可以设旗杆高度为未知数，利用勾股定理列一元一次方程求解即可。
（2）首先要统一单位，其次注意旗子自身有长度，因此旗子实际上升的路程为旗杆高度减去旗子自身的长度，再根据“速度=路程÷时间”，分别用路程除以最长时间、最短时间，即可得到平均速度的取值范围。
【解析】
(1) 设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$，由题意可知绳子的总长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + BD^2 = AD^2$
将$BD=5.4\ \mathrm{m}$，$AD=x+1$代入上式得：
$x^2 + 5.4^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$x^2 + 29.16 = x^2 + 2x + 1$
移项化简解得：$x=14.08$
(2) 先统一单位：$96\ \mathrm{cm}=0.96\ \mathrm{m}$
五星红旗实际上升的路程为：$14.08 - 0.96 = 13.12\ \mathrm{m}$
当升旗时间为最长的$50\ \mathrm{s}$时，平均速度最小：$13.12÷50\approx0.26(\mathrm{m/s})$
当升旗时间为最短的$45\ \mathrm{s}$时，平均速度最大：$13.12÷45\approx0.29(\mathrm{m/s})$
【答案】
(1) 学校旗杆AB的高度为14.08 m；
(2) 五星红旗升起的平均速度不小于0.26 m/s且不大于0.29 m/s。
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；速度计算
【点评】
本题结合校园升旗的真实场景，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，兼顾几何定理应用和代数运算，贴合生活实际，能有效锻炼学生的实践应用能力。
【难度系数】
0.7
