1. 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
如图，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角是$∠ AOB$，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角是$∠ ACB$，.

1. ∠ADB

【分析】
解题时首先明确题干要求：找出$\overset{\frown}{AB}$所对的另一个圆周角。首先回忆圆周角的判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都和圆相交；同时该角所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$，即角的两边的端点分别是A、B两点。结合图形观察，除了点C外，点D也在圆上，连接DA、DB形成的∠ADB，完全符合上述要求，即为所求角。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
要找$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，需满足：顶点在圆上，两边分别经过A、B两点。
观察图形：∠ADB的顶点D在⊙O上，边DA、DB均与圆相交，且所对的弧是$\overset{\frown}{AB}$，符合要求。
【答案】
∠ADB
【知识点】
1. 圆周角的定义
2. 弧与圆周角的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对圆周角定义的理解和图形识别能力，只要牢记圆周角的特征，结合图形即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 下列各图中，$∠ A$是圆周角的是（）

2. A

【分析】
解题时首先要明确圆周角的判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即两边除顶点外各有一个交点在圆上）。接下来将四个选项分别对照这两个条件逐一判断，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，对各选项逐一判断：
选项B：顶点A在圆O的内部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项C：顶点A在圆O的外部，不满足“顶点在圆上”的要求，不是圆周角；
选项D：∠A的其中一条边是圆的切线，与圆仅有公共点A，不满足“两边都与圆相交”的要求，不是圆周角；
选项A：顶点A在圆上，且角的两条边都与圆相交，完全符合圆周角的定义，是圆周角。
【答案】
A
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握圆周角的两个特征，牢记定义即可快速完成判断。
【难度系数】
0.9

3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半.

3. 圆心角

【分析】
本题考查圆周角定理的基础识记，解题时只需回忆教材中圆周角定理的完整表述即可：我们学习圆的相关性质时，明确了同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，定理中直接给出了二者的倍数关系，准确记忆该定理内容就能完成填空。
【解析】
根据圆周角定理的标准表述：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，因此横线处应填写“圆心角”。
【答案】
圆心角
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重考查对教材核心定理的记忆掌握程度，是基础送分题型，平时学习时注重准确识记基础定理、概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

4.【例1】如图,根据条件求∠A的度数.
(1)

(3)
(1)∠A=;
(2)∠A=;
(3)∠A=.

4. (1) 15° (2) 65° (3) 40°

【分析】
本题可根据圆周角定理求解：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。解题时先分别确定每个图中与∠A同弧所对的圆心角的度数，再利用圆周角定理计算∠A的度数即可。
【解析】
(1) 图(1)中，∠BOC是弧BC所对的圆心角，度数为$30°$，∠A是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×30°=15°$
(2) 图(2)中，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=130°$，∠A是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$
(3) 图(3)中，弧BC所对的圆心角$∠ BOC=80°$，∠A是弧BC所对的圆周角，因此：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
【答案】
(1)$15°$；(2)$65°$；(3)$40°$
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，牢记二者的数量关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ A = 50°$.

(1) $∠ BOC$的度数为;
(2) $∠ OBC$的度数为.

5. (1) 100° (2) 40°

【分析】
(1) 求解∠BOC时，先观察角的关系：∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，结合圆周角定理“同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”，代入已知∠A的度数即可计算。
(2) 求解∠OBC时，首先OB、OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等；再结合三角形内角和为180°，用180°减去顶角∠BOC的度数，再平分即可得到底角∠OBC的度数。
【解析】
(1)
∵ ∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ A$
已知$∠ A=50°$，代入得$∠ BOC=2×50°=100°$
(2)
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ $OB=OC$，即$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
【答案】
(1) $\boxed{100°}$；(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的相关性质与三角形基础性质的综合应用，解题关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，结合等腰三角形的特点计算角度，是圆性质部分的常考题型。
【难度系数】
0.85

6. 圆周角定理的推论
推论1:同弧或等弧所对的圆周角.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.

6. 相等 直角 直径

【分析】
本题考查圆周角定理推论的基础识记，解题时可结合圆周角定理核心内容推导记忆：圆周角等于其所对圆心角的一半。同弧或等弧对应的圆心角相等，因此对应的圆周角也相等；半圆（直径）对应的圆心角为180°，因此对应的圆周角为90°即直角，反之90°的圆周角对应圆心角为180°，对应的弦就是直径。
【解析】
根据圆周角定理的推论内容直接填写：
1. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
2. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
相等 直角 直径
【知识点】
圆周角定理推论；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考察对圆周角定理相关推论的记忆与理解，是圆相关性质的核心基础考点，熟练掌握相关推论是解决圆类综合题的前提，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9

7.【例2】(2025青海)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB = 40°$，则$∠ ADC$的度数是 ()


A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$

7. B

【分析】
解题思路如下：首先由AB是⊙O的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再结合已知∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；最后观察到∠ADC和∠ABC是同一段弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理及其推论，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题目，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质即可快速得出结果，需要熟练掌握圆周角相关定理。
【难度系数】
0.8

8. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上.

(1)若$∠ ACD=50°$,则$∠ ABD=$$°$;
(2)若$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$,$∠ CAD=30°$,则$∠ BDC=\_\_\_\_\_\_°$.

8. (1) 50 (2) 30

【分析】
(1) 首先观察∠ACD和∠ABD的位置，二者都是⊙O中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等的性质，即可直接求出∠ABD的度数。
(2) 已知$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等的性质，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角为∠CAD，$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角为∠BDC，因此两个角相等，代入已知∠CAD的度数即可求出∠BDC的度数。
【解析】
(1)
∵∠ACD和∠ABD都是$\odot O$中$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ ABD=∠ ACD=50°$。
(2)
∵$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，
根据等弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角是$∠ CAD$，$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角是$∠ BDC$，
∴$∠ BDC=∠ CAD=30°$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$；(2) $\boxed{30}$
【知识点】
同弧所对圆周角相等；等弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，重点考查圆周角定理推论的应用，只要准确找到角与对应弧的关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.85