一、“8”字模型
1. 如图①，AD，BC相交于点O，得到的数学基本图形我们称为“8”字形ABCD.

(1)试说明：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$；
(2)如图②，$∠ ABC$和$∠ ADC$的平分线相交于点E，尝试用(1)中的数学基本图形和结论，猜想$∠ E$与$∠ A$，$∠ C$之间的数量关系，并说明理由.

1. 解:(1) 因为∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∠AOB=∠COD,
所以∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)数量关系:2∠E=∠A+∠C.理由如下:
因为∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,
所以可设∠ABE=∠EBC=x,∠ADE=∠EDC=y.
因为∠A+x=∠E+y,∠C+y=∠E+x,
所以∠A+∠C=∠E+∠E,
所以2∠E=∠A+∠C.

【分析】
(1) 要证明∠A+∠B=∠C+∠D，可观察到∠A、∠B在△AOB中，∠C、∠D在△COD中，首先根据三角形内角和为180°分别写出两个三角形的内角和等式，再结合对顶角∠AOB与∠COD相等，消去相等的角即可得出结论。
(2) 要探究∠E与∠A、∠C的数量关系，首先根据角平分线的定义，将∠ABC和∠ADC拆分为相等的两部分，可设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y；接下来在图中找到两个“8”字形结构，分别套用(1)的结论得到两个关于角的等式，最后将两个等式相加，消去x和y，就能推导得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
又
∵ ∠AOB和∠COD是对顶角，即∠AOB=∠COD，
∴ 180°-∠AOB = 180°-∠COD，
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D。
(2) 猜想数量关系：2∠E=∠A+∠C，理由如下：
∵ BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴ 可设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y。
观察A、B、E、D构成的“8”字形，根据(1)的结论可得：$∠ A + x = ∠ E + y$ ①，
观察E、B、C、D构成的“8”字形，根据(1)的结论可得：$∠ C + y = ∠ E + x$ ②，
将①+②得：$∠ A + x + ∠ C + y = ∠ E + y + ∠ E + x$，
消去等式两边的x和y，得：$∠ A + ∠ C = 2∠ E$，即$2∠ E=∠ A+∠ C$。
【答案】
(1) $∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$，证明成立；
(2) $2∠ E=∠ A+∠ C$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度推导的典型模型题，核心是掌握“8”字形的角的等量关系，解题的关键是准确识别图形中的“8”字形结构，结合角平分线性质建立角的等式，通过等式变形得到所求角的关系，熟练运用这类几何模型能大幅提升角度类问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

二、燕尾模型
2.(1)观察如图①所示的“燕尾图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由。

(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C。若∠A＝50°，则∠ABX＋∠ACX＝；
②如图③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB。若∠A＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数。

2. 解:(1)如图,连接AD并延长至点F.

由外角定理,可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD.
因为∠BDC=∠BDF+∠CDF,
所以∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
因为∠BAC=∠BAD+∠CAD,
所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)① 40°
② 由(1)的结论,
易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,
∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠A.
因为∠A=50°,∠DBE=130°,
所以∠ADB+∠AEB=80°.
因为DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
所以∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ADB,∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB.
所以∠DCE=$\frac{1}{2}$(∠ADB+∠AEB)+∠A = 40°+50°=90°.

【分析】
(1) 探究∠BDC与∠A、∠B、∠C的数量关系时，可通过作辅助线拆分角：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，对拆分后的角进行代换整理，即可得到三者的关系。
(2) ① 直接使用(1)推导的燕尾模型角的关系，结合三角尺的直角∠BXC=90°，代入已知∠A的度数，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
② 先利用燕尾模型结论，由∠A和∠DBE的度数求出∠ADB与∠AEB的和，再根据角平分线的性质得到∠ADC与∠AEC的和，最后再次套用燕尾模型结论即可求出∠DCE的度数。
【解析】
(1) 如图，连接AD并延长至点F。

由外角定理可得：∠BDF是△ABD的外角，故∠BDF=∠BAD+∠B；∠CDF是△ACD的外角，故∠CDF=∠C+∠CAD。
因为∠BDC=∠BDF+∠CDF，
所以∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD。
又因为∠BAC=∠BAD+∠CAD，
所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C。
(2) ① 由(1)的结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，已知三角尺XYZ为直角三角尺，故∠BXC=90°，∠A=50°，代入得：
∠ABX+∠ACX=∠BXC - ∠A=90°-50°=40°。
② 由(1)的结论可得：∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC。
已知∠A=50°，∠DBE=130°，代入第一个式子得：
∠ADB+∠AEB=∠DBE - ∠A=130°-50°=80°。
因为DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，所以∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ADB，∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
则∠ADC+∠AEC=$\frac{1}{2}$(∠ADB+∠AEB)=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
代入∠DCE的表达式得：∠DCE=50°+40°=90°。
【答案】
2. 解:(1)如图,连接AD并延长至点F.

由外角定理,可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD.
因为∠BDC=∠BDF+∠CDF,
所以∠BDC=∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
因为∠BAC=∠BAD+∠CAD,
所以∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)① 40°
② 由(1)的结论,
易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,
∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠A.
因为∠A=50°,∠DBE=130°,
所以∠ADB+∠AEB=80°.
因为DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
所以∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ADB,∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB.
所以∠DCE=$\frac{1}{2}$(∠ADB+∠AEB)+∠A = 40°+50°=90°.
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；燕尾模型求角
【点评】
本题从燕尾模型的推导到应用展开，既考查了学生对三角形外角性质的灵活运用能力，也考查了学生的知识迁移应用能力，掌握该模型的角的数量关系可快速简化同类型角度计算问题的求解过程。
【难度系数】
0.7

三、三角形内、外角平分线夹角模型
3. 认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
【探究1】如图①，在$△ ABC$中，O是$∠ ABC$的平分线BO与$∠ ACB$的平分线CO的交点，通过分析发现$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
因为BO和CO分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，
所以$∠1=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠2=\frac{1}{2}∠ ACB$，
所以$∠1+∠2=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$.
又因为$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
所以$∠1+∠2=\frac{1}{2}(180°-∠ A)$
$=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
所以$∠ BOC=180°-(∠1+∠2)$
$=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)$
$=90°+\frac{1}{2}∠ A$.
【探究2】
(1)如图②，O是$∠ ABC$的平分线BO与外角$∠ ACD$的平分线CO的交点. 试分析$∠ BOC$与$∠ A$有怎样的数量关系？请说明理由.
【探究3】
(2)如图③，O是外角$∠ DBC$的平分线BO与外角$∠ ECB$的平分线CO的交点. 试说明$∠ BOC$与$∠ A$之间的数量关系.

3. 解:(1)$∠BOC=\frac{1}{2}∠A$.理由如下:
如图,因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线,

所以$∠3=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠4=\frac{1}{2}∠ACD$.
又因为∠ACD是△ABC的外角,
所以∠ACD=∠A+∠ABC,
所以$∠4=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\frac{1}{2}∠A+∠3$.
因为∠4是△BOC的外角,
所以$∠BOC=∠4-∠3=\frac{1}{2}∠A+∠3-∠3=\frac{1}{2}∠A$.
(2)因为BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的平分线,
所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠DBC=\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)$,
$∠OCB=\frac{1}{2}∠ECB=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$,
所以$∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC+∠ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}×180°$
$=90°-\frac{1}{2}∠A$.

【分析】
(1) 求解探究2的问题时，首先根据角平分线的定义得到对应角的数量关系，再利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，分别得到∠ACD与∠A、∠ABC的关系，以及△BOC的外角∠4与∠BOC、∠3的关系，通过等量代换消去公共角，即可推导出∠BOC和∠A的关系。
(2) 求解探究3的问题时，先通过角平分线定义表示出△BOC的两个底角∠OBC、∠OCB，再利用外角性质将两个外角用∠A和△ABC的内角表示，最后结合三角形内角和为180°的性质，代入化简即可得到∠BOC和∠A的数量关系。
【解析】
(1) $∠BOC=\frac{1}{2}∠A$，理由如下：

因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
所以$∠3=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠4=\frac{1}{2}∠ACD$。
又因为∠ACD是△ABC的外角，
所以$∠ACD=∠A+∠ABC$，
所以$∠4=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\frac{1}{2}∠A+∠3$。
因为∠4是△BOC的外角，
所以$∠BOC=∠4-∠3=\frac{1}{2}∠A+∠3-∠3=\frac{1}{2}∠A$。
(2) $∠BOC=90°-\frac{1}{2}∠A$，理由如下：
因为BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的平分线，
所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠DBC=\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)$，
$∠OCB=\frac{1}{2}∠ECB=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$，
所以$∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC+∠ACB)$
又因为在△ABC中，$∠A+∠ABC+∠ACB=180°$，代入得：
$∠BOC=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}×180°=90°-\frac{1}{2}∠A$。
【答案】
(1)$∠BOC=\frac{1}{2}∠A$.理由如下:

因为BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线,
所以$∠3=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠4=\frac{1}{2}∠ACD$.
又因为∠ACD是△ABC的外角,
所以∠ACD=∠A+∠ABC,
所以$∠4=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\frac{1}{2}∠A+∠3$.
因为∠4是△BOC的外角,
所以$∠BOC=∠4-∠3=\frac{1}{2}∠A+∠3-∠3=\frac{1}{2}∠A$.
(2)因为BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的平分线,
所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠DBC=\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)$,
$∠OCB=\frac{1}{2}∠ECB=\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$,
所以$∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)$
$=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}(∠A+∠ABC+∠ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}×180°$
$=90°-\frac{1}{2}∠A$.
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的典型模型题，覆盖了双内角平分线、一内一外角平分线、双外角平分线三类常见的夹角推导场景，解题过程主要运用角平分线性质和三角形内外角定理进行等量代换化简，掌握这三类模型的结论可以有效提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7