四、共顶点角平分线与高线夹角模型
4. 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，∠B=38°，∠C=64°.
(1)∠DAE=；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC于点E”，∠B=α，∠C=β(α＜β)，请用含α,β的代数式表示∠DFE.

4. 解:(1)13°
(2)因为∠B=α,∠C=β,
所以∠BAC=180°-α-β.
因为AD平分∠BAC,
所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=90°-\frac{1}{2}(α+β)$,
所以$∠ADE=∠B+∠BAD=90°+\frac{1}{2}(α-β)$.
因为FE⊥BC,
所以∠FEB=90°,
所以$∠DFE=180°-∠FEB-∠ADE=\frac{1}{2}(β-α)$.

【分析】
(1) 求∠DAE时，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线的定义算出∠DAC的度数，然后结合AE⊥BC的条件求出∠EAC的度数，最后用∠DAC减去∠EAC即可得到∠DAE的大小。
(2) 推导含α、β的表达式时，思路与(1)一致：先用α、β表示出∠BAC，再根据角平分线定义得到∠BAD的度数，利用三角形外角的性质求出∠ADE的度数，最后结合FE⊥BC的条件，在△FDE中利用三角形内角和定理即可求出∠DFE的表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B=38°，∠C=64°，
根据三角形内角和定理得：$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-38°-64°=78°$，
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×78°=39°$，
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEC=90°$，
在Rt△AEC中，$∠ EAC=180°-∠ AEC-∠ C=180°-90°-64°=26°$，
∴$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=39°-26°=13°$。
(2) 在△ABC中，∠B=α，∠C=β，
根据三角形内角和定理得：$∠ BAC=180°-α-β$，
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{1}{2}(α+β)$，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=α+90°-\frac{1}{2}(α+β)=90°+\frac{1}{2}(α-β)$，
∵FE⊥BC，
∴$∠ FED=90°$，
在△FED中，根据三角形内角和定理得：
$∠ DFE=180°-∠ FED-∠ ADE=180°-90°-[90°+\frac{1}{2}(α-β)]=\frac{1}{2}(β-α)$。
【答案】
(1) $\boxed{13°}$；(2) $\boxed{∠ DFE=\dfrac{1}{2}(β-α)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型模型题，解题核心是灵活运用角平分线、高线的性质，结合三角形内角和与外角定理逐步推导，熟记该共顶点角平分线与高线的夹角模型结论，可有效提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7