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基础知识·预习
问题1 解决数字问题时，你能根据两个数的和与积求出这两个数吗？
问题2 说一说三角形、矩形、菱形等几何图形的面积公式。
问题1 解决数字问题时，你能根据两个数的和与积求出这两个数吗？
问题2 说一说三角形、矩形、菱形等几何图形的面积公式。
答案
解：
问题1
可以求出这两个数。
设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据题意列方程：
$x(s-x)=p$
整理得一元二次方程：
$x^2 - sx + p = 0$
求解该方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2
1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；
2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；
3. 菱形面积公式：$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；也可表示为$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
问题1
可以求出这两个数。
设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据题意列方程：
$x(s-x)=p$
整理得一元二次方程：
$x^2 - sx + p = 0$
求解该方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2
1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；
2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；
3. 菱形面积公式：$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；也可表示为$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
解析
【分析】
问题1解题思路：已知两个数的和与积，我们可以先设其中一个数为未知数，利用两数的和表示出另一个数，再结合两数的积这一等量关系列方程，转化为一元二次方程求解即可得到这两个数。
问题2解题思路：分别回忆三角形、矩形、菱形的面积推导逻辑，准确写出对应的面积公式，明确公式中各字母代表的几何量，注意菱形有两种面积计算方法，不要遗漏。
【解析】
问题1
可以求出这两个数。
设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据两数积为$p$的条件列方程：
$x(s-x)=p$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - sx + p = 0$
求解该一元二次方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2
1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；
2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；
3. 菱形面积公式：第一种为底乘高形式$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；第二种为对角线乘积的一半形式$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
【答案】
问题1：可以求出这两个数。设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据题意列方程：$x(s-x)=p$，整理得一元二次方程：$x^2 - sx + p = 0$，求解该方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2：1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；3. 菱形面积公式：$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；也可表示为$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 几何图形面积计算
【点评】
本题属于基础预习类题目，数字问题的核心是找准等量关系列方程，几何面积公式是后续解决图形类实际问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
问题1解题思路：已知两个数的和与积，我们可以先设其中一个数为未知数，利用两数的和表示出另一个数，再结合两数的积这一等量关系列方程，转化为一元二次方程求解即可得到这两个数。
问题2解题思路：分别回忆三角形、矩形、菱形的面积推导逻辑，准确写出对应的面积公式，明确公式中各字母代表的几何量，注意菱形有两种面积计算方法，不要遗漏。
【解析】
问题1
可以求出这两个数。
设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据两数积为$p$的条件列方程：
$x(s-x)=p$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - sx + p = 0$
求解该一元二次方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2
1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；
2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；
3. 菱形面积公式：第一种为底乘高形式$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；第二种为对角线乘积的一半形式$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
【答案】
问题1：可以求出这两个数。设两个数的和为$s$，积为$p$，设其中一个数为$x$，则另一个数为$s-x$，根据题意列方程：$x(s-x)=p$，整理得一元二次方程：$x^2 - sx + p = 0$，求解该方程，得到的两个实数根就是所求的两个数。
问题2：1. 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$，其中$a$为三角形的底边长，$h$为这条底边对应的高；2. 矩形面积公式：$S=ab$，其中$a$、$b$分别为矩形的长和宽；3. 菱形面积公式：$S=ah$，其中$a$为菱形的底边长，$h$为这条底边对应的高；也可表示为$S=\frac{1}{2}mn$，其中$m$、$n$分别为菱形两条对角线的长度。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 几何图形面积计算
【点评】
本题属于基础预习类题目，数字问题的核心是找准等量关系列方程，几何面积公式是后续解决图形类实际问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】两个数的和是12，积是32，求这两个数.
【解】设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$.
根据题意，得$x(12-x)=32$.
解得$x_1=4$，$x_2=8$.
所以这两个数是4，8.
【解】设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$.
根据题意，得$x(12-x)=32$.
解得$x_1=4$，$x_2=8$.
所以这两个数是4，8.
答案
解：设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$。
整理得$x^2 -12x +32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
答：这两个数是4和8。
根据题意，得$x(12-x)=32$。
整理得$x^2 -12x +32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
答：这两个数是4和8。
解析
【分析】
这是一道典型的一元二次方程应用类数字问题，解题思路清晰：首先根据两数之和为12的已知条件，设其中一个数为未知数$x$，即可用含$x$的代数式表示另一个数为$12-x$；再抓住两数之积为32的等量关系列出一元二次方程；随后用合适的方法解一元二次方程，最后验证解的合理性，就能得到所求的两个数。
【解析】
设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$。
整理得$x^2 -12x +32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
答：这两个数是4和8。
【答案】
4和8
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系建立方程，解方程后要结合题意确认结果的合理性，掌握这类基础题型能为后续解决更复杂的方程应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的一元二次方程应用类数字问题，解题思路清晰：首先根据两数之和为12的已知条件，设其中一个数为未知数$x$，即可用含$x$的代数式表示另一个数为$12-x$；再抓住两数之积为32的等量关系列出一元二次方程；随后用合适的方法解一元二次方程，最后验证解的合理性，就能得到所求的两个数。
【解析】
设这两个数中的一个数是$x$，则另一个数是$12-x$。
根据题意，得$x(12-x)=32$。
整理得$x^2 -12x +32=0$，
因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$。
当$x=4$时，$12-x=8$；当$x=8$时，$12-x=4$。
答：这两个数是4和8。
【答案】
4和8
【知识点】
列一元二次方程解应用题；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系建立方程，解方程后要结合题意确认结果的合理性，掌握这类基础题型能为后续解决更复杂的方程应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
【即学即练】
1. 两个数的差是4，积是45，求这两个数.
1. 两个数的差是4，积是45，求这两个数.
答案
设这两个数中较小的数是 x,则另一个数是 x+4.
根据题意,得 x(x+4)=45.
解得 x₁=5,x₂=-9.
当 x=5 时,x+4=5+4=9.
当 x=-9 时,x+4=-9+4=-5.
所以这两个数是 5,9 或-9,-5.
根据题意,得 x(x+4)=45.
解得 x₁=5,x₂=-9.
当 x=5 时,x+4=5+4=9.
当 x=-9 时,x+4=-9+4=-5.
所以这两个数是 5,9 或-9,-5.
解析
【分析】
本题是已知两数的差与乘积求两数的问题，可通过列一元二次方程求解。首先根据两数差为4的数量关系，设较小的数为x，则另一个数可表示为x+4，再结合两数积为45的等量关系列出方程，求解方程后分别计算对应的另一个数即可，注意不要遗漏符合题意的负数解。
【解析】
设这两个数中较小的数是$ x $，则另一个数是$ x+4 $。
根据题意，列方程得：
$ x(x+4)=45 $
整理得$ x^2 + 4x - 45 = 0 $，因式分解得$ (x-5)(x+9)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-9 $。
当$ x=5 $时，$ x+4=5+4=9 $；
当$ x=-9 $时，$ x+4=-9+4=-5 $。
【答案】
5，9或-9，-5
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 数字问题设元
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题关键是根据两数的数量关系正确设元，结合给定的乘积条件列方程求解，求解后要注意检验所有解是否符合题意，避免遗漏负数解。
【难度系数】
0.7
本题是已知两数的差与乘积求两数的问题，可通过列一元二次方程求解。首先根据两数差为4的数量关系，设较小的数为x，则另一个数可表示为x+4，再结合两数积为45的等量关系列出方程，求解方程后分别计算对应的另一个数即可，注意不要遗漏符合题意的负数解。
【解析】
设这两个数中较小的数是$ x $，则另一个数是$ x+4 $。
根据题意，列方程得：
$ x(x+4)=45 $
整理得$ x^2 + 4x - 45 = 0 $，因式分解得$ (x-5)(x+9)=0 $
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-9 $。
当$ x=5 $时，$ x+4=5+4=9 $；
当$ x=-9 $时，$ x+4=-9+4=-5 $。
【答案】
5，9或-9，-5
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的解法
3. 数字问题设元
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，解题关键是根据两数的数量关系正确设元，结合给定的乘积条件列方程求解，求解后要注意检验所有解是否符合题意，避免遗漏负数解。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】用一根长为56 cm的铁丝围一个矩形区域.
(1)当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别是多少?
(2)能围成面积为200 cm²的矩形区域吗?请说明理由.
【解】(1)设矩形区域的一边长为x cm,则此边的邻边长为$(28-x)$cm.
根据题意,得$x(28-x)=180$.
解得$x_1=10,x_2=18$.
因此,当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别为10 cm,18 cm.
(2)不能围成.理由如下:
设矩形区域的一边长为y cm,则此边的邻边长为$(28-y)$cm.
根据题意,得$y(28-y)=200$.
整理,得$y^2 -28y +200=0$.
$\because \Delta =b^2 -4ac=(-28)^2 -4×1×200=-16＜0$,
$\therefore$原方程没有实数根.
$\therefore$不能围成面积为200 cm²的矩形区域.
(1)当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别是多少?
(2)能围成面积为200 cm²的矩形区域吗?请说明理由.
【解】(1)设矩形区域的一边长为x cm,则此边的邻边长为$(28-x)$cm.
根据题意,得$x(28-x)=180$.
解得$x_1=10,x_2=18$.
因此,当矩形区域的面积为180 cm²时,该矩形区域的两邻边长分别为10 cm,18 cm.
(2)不能围成.理由如下:
设矩形区域的一边长为y cm,则此边的邻边长为$(28-y)$cm.
根据题意,得$y(28-y)=200$.
整理,得$y^2 -28y +200=0$.
$\because \Delta =b^2 -4ac=(-28)^2 -4×1×200=-16＜0$,
$\therefore$原方程没有实数根.
$\therefore$不能围成面积为200 cm²的矩形区域.
答案
解：
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$x(28-x)=180$，
整理得$x^2-28x+180=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，$28-x=18$；当$x=18$时，$28-x=10$，均符合实际意义。
答：该矩形区域的两邻边长分别是$10\ \mathrm{cm}$和$18\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$y(28-y)=200$，
整理得$y^2-28y+200=0$。
$\because \Delta =b^2-4ac=(-28)^2-4×1×200=-16＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的矩形边长。
$\therefore$不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$x(28-x)=180$，
整理得$x^2-28x+180=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，$28-x=18$；当$x=18$时，$28-x=10$，均符合实际意义。
答：该矩形区域的两邻边长分别是$10\ \mathrm{cm}$和$18\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$y(28-y)=200$，
整理得$y^2-28y+200=0$。
$\because \Delta =b^2-4ac=(-28)^2-4×1×200=-16＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的矩形边长。
$\therefore$不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程在矩形面积问题中的应用。解题思路：(1)首先根据矩形周长为56cm，可得矩形相邻两边之和为周长的一半即28cm，设其中一边长为x cm，即可用含x的代数式表示邻边长，再根据矩形面积=长×宽列出一元二次方程，求解后检验根是否符合实际意义即可得到边长；(2)同理先根据面积为200cm²列出一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的值判断方程是否有实数根，若Δ＜0则方程无实根，说明不能围成对应的矩形。
【解析】
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$x(28-x)=180$，
整理得$x^2-28x+180=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，$28-x=18$；当$x=18$时，$28-x=10$，均符合实际意义。
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$y(28-y)=200$，
整理得$y^2-28y+200=0$。
$\because \Delta =b^2-4ac=(-28)^2-4×1×200=-16＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的矩形边长。
$\therefore$不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
【答案】
(1) 该矩形区域的两邻边长分别是$10\ \mathrm{cm}$和$18\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的典型题型，解题核心是结合矩形的周长、面积公式建立方程模型，求解后要注意验证解是否符合实际意义，判断图形是否存在的问题可通过根的判别式快速判断，能有效考察学生的方程建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
本题考查一元二次方程在矩形面积问题中的应用。解题思路：(1)首先根据矩形周长为56cm，可得矩形相邻两边之和为周长的一半即28cm，设其中一边长为x cm，即可用含x的代数式表示邻边长，再根据矩形面积=长×宽列出一元二次方程，求解后检验根是否符合实际意义即可得到边长；(2)同理先根据面积为200cm²列出一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的值判断方程是否有实数根，若Δ＜0则方程无实根，说明不能围成对应的矩形。
【解析】
(1) 设矩形区域的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$x(28-x)=180$，
整理得$x^2-28x+180=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=18$。
当$x=10$时，$28-x=18$；当$x=18$时，$28-x=10$，均符合实际意义。
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域，理由如下：
设矩形区域的一边长为$y\ \mathrm{cm}$，则此边的邻边长为$(28-y)\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$y(28-y)=200$，
整理得$y^2-28y+200=0$。
$\because \Delta =b^2-4ac=(-28)^2-4×1×200=-16＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的矩形边长。
$\therefore$不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
【答案】
(1) 该矩形区域的两邻边长分别是$10\ \mathrm{cm}$和$18\ \mathrm{cm}$；
(2) 不能围成面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形区域。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的典型题型，解题核心是结合矩形的周长、面积公式建立方程模型，求解后要注意验证解是否符合实际意义，判断图形是否存在的问题可通过根的判别式快速判断，能有效考察学生的方程建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
