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8. 当$x=1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为2520，则当$x=-1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为（
A.$-2518$
B.$-2519$
C.$-2520$
D.$-2521$
A
）A.$-2518$
B.$-2519$
C.$-2520$
D.$-2521$
答案
8.A 【解析】因为当$x=1$时,代数式$px^3+qx+1$的值为2 520,
所以$p+q+1=2\ 520$,所以$p+q=2\ 519$,
所以当$x=-1$时,代数式$px^3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-2\ 519+1=-2\ 518$.
所以$p+q+1=2\ 520$,所以$p+q=2\ 519$,
所以当$x=-1$时,代数式$px^3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-2\ 519+1=-2\ 518$.
解析
【分析】
解题时首先观察x的两个取值1和-1互为相反数，先将x=1代入已知代数式，可求出p与q的和，再将x=-1代入待求代数式，此时含p、q的项可变形为-(p+q)的形式，无需分别求解p、q的具体值，直接将p+q的结果整体代入计算即可，可大幅简化计算过程。
【解析】
当x=1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×1^3 + q×1 + 1 = 2520$
化简可得$p + q + 1 = 2520$，因此$p + q = 2520 - 1 = 2519$。
当x=-1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) + 1 = -p - q + 1$
利用添括号法则对含字母的项变形得：$-(p+q) + 1$
将$p+q=2519$整体代入上式，计算得：$-2519 + 1 = -2518$。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，整体代入法，添括号法则
【点评】
本题属于代数式求值的基础常考题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是发现两个自变量取值的关联，通过添括号变形构造出已知的整体值，避免了无意义的单个字母求解过程，能有效锻炼学生的观察能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察x的两个取值1和-1互为相反数，先将x=1代入已知代数式，可求出p与q的和，再将x=-1代入待求代数式，此时含p、q的项可变形为-(p+q)的形式，无需分别求解p、q的具体值，直接将p+q的结果整体代入计算即可，可大幅简化计算过程。
【解析】
当x=1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×1^3 + q×1 + 1 = 2520$
化简可得$p + q + 1 = 2520$，因此$p + q = 2520 - 1 = 2519$。
当x=-1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) + 1 = -p - q + 1$
利用添括号法则对含字母的项变形得：$-(p+q) + 1$
将$p+q=2519$整体代入上式，计算得：$-2519 + 1 = -2518$。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，整体代入法，添括号法则
【点评】
本题属于代数式求值的基础常考题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是发现两个自变量取值的关联，通过添括号变形构造出已知的整体值，避免了无意义的单个字母求解过程，能有效锻炼学生的观察能力和整体思维。
【难度系数】
0.7
9. 先化简,再求值:$(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2$,其中$a = \frac{1}{2}$, $b = -2$.
答案
9.【解】$(2a-b)^2+(a+1-b)(a+1+b)-(a+1)^2=4a^2-4ab+b^2+(a+1)^2-b^2-(a+1)^2=4a^2-4ab$.
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时,
原式$=4×(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5$.
当$a=\frac{1}{2},b=-2$时,
原式$=4×(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}×(-2)$
$=1+4$
$=5$.
解析
【分析】
解题时先观察整式结构，优先寻找可套用的乘法公式简化运算：① 对于$(2a - b)^2$可直接用完全平方公式展开；② 对于$(a + 1 - b)(a + 1 + b)$，可将$a+1$看作整体，刚好符合平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$的形式，套用公式展开能大幅简化计算；③ 展开后合并同类项时，可直接抵消相同的项，快速得到最简整式，最后将$a$、$b$的值代入最简式计算即可，避免逐项展开导致计算繁琐、出错。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运用整体思想套用公式简化运算，计算时要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时先观察整式结构，优先寻找可套用的乘法公式简化运算：① 对于$(2a - b)^2$可直接用完全平方公式展开；② 对于$(a + 1 - b)(a + 1 + b)$，可将$a+1$看作整体，刚好符合平方差公式$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$的形式，套用公式展开能大幅简化计算；③ 展开后合并同类项时，可直接抵消相同的项，快速得到最简整式，最后将$a$、$b$的值代入最简式计算即可，避免逐项展开导致计算繁琐、出错。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + (a + 1 - b)(a + 1 + b) - (a + 1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + [(a+1)^2 - b^2] - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab + b^2 + (a+1)^2 - b^2 - (a+1)^2\\=&4a^2 - 4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 - 4×\frac{1}{2}×(-2)\\&=4×\frac{1}{4} + 4\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，灵活运用整体思想套用公式简化运算，计算时要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
10. 乘法公式的探究及应用：
(1)如图
，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①$102 × 98$；②$(2m + n - 3)(2m - n - 3)$。
(1)如图
，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
。(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①$102 × 98$；②$(2m + n - 3)(2m - n - 3)$。
答案
10.【解】(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2)①$102×98=(100+2)×(100-2)=100^2-2^2=10\ 000-4=9\ 996$.
②$(2m+n-3)(2m-n-3)=[(2m-3)+n][(2m-3)-n]=(2m-3)^2-n^2=4m^2-n^2-12m+9$.
(2)①$102×98=(100+2)×(100-2)=100^2-2^2=10\ 000-4=9\ 996$.
②$(2m+n-3)(2m-n-3)=[(2m-3)+n][(2m-3)-n]=(2m-3)^2-n^2=4m^2-n^2-12m+9$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据裁剪前后阴影面积相等推导乘法公式，第一步先计算图1阴影面积：为边长为a的大正方形面积减去边长为b的空白正方形面积；第二步计算图2拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；第三步令两个面积相等即可得到对应乘法公式。
(2) ①解题思路：观察102和98的特征，可分别改写为100+2和100-2，刚好符合平方差公式的结构，直接套用公式计算即可简化运算。
②解题思路：观察两个因式的特征，相同部分为2m-3，相反部分为+n和-n，将2m-3看作整体，利用添括号法则将原式变形为平方差公式的形式，先套用平方差公式，再展开完全平方公式即可完成化简。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
由于裁剪前后阴影面积不变，因此可得公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(2) ①计算$102×98$：
将102改写为$100+2$，98改写为$100-2$，得：
$\begin{aligned}102×98&=(100+2)(100-2)\\&=100^2 - 2^2\\&=10000 - 4\\&=9996\end{aligned}$
②化简$(2m + n - 3)(2m - n - 3)$：
将$2m-3$看作整体，变形得：
$\begin{aligned}原式&=[(2m - 3)+n][(2m - 3)-n]\\&=(2m - 3)^2 - n^2\\&=4m^2 - 12m + 9 - n^2\\&=4m^2 - n^2 - 12m + 9\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2)①$9996$；②$4m^2 - n^2 - 12m + 9$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，添括号法则
【点评】
本题结合几何图形考查乘法公式的推导与应用，核心是掌握平方差公式的结构特征，运算时通过变形凑出公式形式可大幅简化计算，解题时要注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据裁剪前后阴影面积相等推导乘法公式，第一步先计算图1阴影面积：为边长为a的大正方形面积减去边长为b的空白正方形面积；第二步计算图2拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；第三步令两个面积相等即可得到对应乘法公式。
(2) ①解题思路：观察102和98的特征，可分别改写为100+2和100-2，刚好符合平方差公式的结构，直接套用公式计算即可简化运算。
②解题思路：观察两个因式的特征，相同部分为2m-3，相反部分为+n和-n，将2m-3看作整体，利用添括号法则将原式变形为平方差公式的形式，先套用平方差公式，再展开完全平方公式即可完成化简。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$
图2拼接后长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
由于裁剪前后阴影面积不变，因此可得公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(2) ①计算$102×98$：
将102改写为$100+2$，98改写为$100-2$，得：
$\begin{aligned}102×98&=(100+2)(100-2)\\&=100^2 - 2^2\\&=10000 - 4\\&=9996\end{aligned}$
②化简$(2m + n - 3)(2m - n - 3)$：
将$2m-3$看作整体，变形得：
$\begin{aligned}原式&=[(2m - 3)+n][(2m - 3)-n]\\&=(2m - 3)^2 - n^2\\&=4m^2 - 12m + 9 - n^2\\&=4m^2 - n^2 - 12m + 9\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(2)①$9996$；②$4m^2 - n^2 - 12m + 9$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，添括号法则
【点评】
本题结合几何图形考查乘法公式的推导与应用，核心是掌握平方差公式的结构特征，运算时通过变形凑出公式形式可大幅简化计算，解题时要注意整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
