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2. 如图，分别利用直尺和圆规过点P作线段MN的垂线。
答案
2.【解】如图所示。
解析
【分析】
本题要求过点P作线段MN的垂线，核心解题思路是利用线段垂直平分线的判定原理作图：首先构造出线段MN（或其所在直线）上两个到点P距离相等的点，再作出这两点所连线段的垂直平分线，该垂直平分线必然过点P，也就是所求的垂线，作图时要注意选取合适的半径长度，同时保留作图痕迹。
【解析】
通用作图步骤如下：
1. 以点P为圆心，选取大于点P到线段MN所在直线距离的长度为半径画弧，交MN（或MN的延长线）于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交于点C；
3. 过P、C两点作直线，这条直线就是所求的过点P且垂直于MN的直线。
作图结果参考示例图。
【答案】
【知识点】
尺规基本作图，过点作已知直线的垂线，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础作图题，考查尺规作垂线方法的掌握情况，作图时要注意半径的选取符合要求，保留规范的作图痕迹，无论点P在哪个位置，此类过点作线段垂线的核心作图方法是一致的。
【难度系数】
0.8
本题要求过点P作线段MN的垂线，核心解题思路是利用线段垂直平分线的判定原理作图：首先构造出线段MN（或其所在直线）上两个到点P距离相等的点，再作出这两点所连线段的垂直平分线，该垂直平分线必然过点P，也就是所求的垂线，作图时要注意选取合适的半径长度，同时保留作图痕迹。
【解析】
通用作图步骤如下：
1. 以点P为圆心，选取大于点P到线段MN所在直线距离的长度为半径画弧，交MN（或MN的延长线）于A、B两点；
2. 分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧相交于点C；
3. 过P、C两点作直线，这条直线就是所求的过点P且垂直于MN的直线。
作图结果参考示例图。
【答案】
【知识点】
尺规基本作图，过点作已知直线的垂线，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础作图题，考查尺规作垂线方法的掌握情况，作图时要注意半径的选取符合要求，保留规范的作图痕迹，无论点P在哪个位置，此类过点作线段垂线的核心作图方法是一致的。
【难度系数】
0.8
1.(2024·四川眉山中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=6$,$BC=4$,分别以点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点$E$,$F$,过点$E$,$F$作直线交$AC$于点$D$,连接$BD$,则$△ BCD$的周长为 (
A.7
B.8
C.10
D.12
C
)A.7
B.8
C.10
D.12
答案
1.C 【解析】由题意得,EF 垂直平分AB,所以AD=BD,所以△BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4=10.
解析
【分析】
首先根据题目的作图步骤，判断出直线EF是线段AB的垂直平分线；再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD；最后求△BCD的周长时，将BD等量替换为AD，就可以把周长转化为AC与BC的和，代入已知的AC、BC长度即可求出结果。
【解析】
由作图过程可知，EF是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，点D在EF上，因此AD=BD。
△BCD的周长为$BD + CD + BC$，将BD替换为AD，可得：
周长$= AD + CD + BC = AC + BC$，
已知$AC=6$，$BC=4$，代入得周长$=6+4=10$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先识别尺规作图的类型，再利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，这类题是垂直平分线性质的典型应用考法。
【难度系数】
0.8
首先根据题目的作图步骤，判断出直线EF是线段AB的垂直平分线；再回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD；最后求△BCD的周长时，将BD等量替换为AD，就可以把周长转化为AC与BC的和，代入已知的AC、BC长度即可求出结果。
【解析】
由作图过程可知，EF是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，点D在EF上，因此AD=BD。
△BCD的周长为$BD + CD + BC$，将BD替换为AD，可得：
周长$= AD + CD + BC = AC + BC$，
已知$AC=6$，$BC=4$，代入得周长$=6+4=10$，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先识别尺规作图的类型，再利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，这类题是垂直平分线性质的典型应用考法。
【难度系数】
0.8
2. 用直尺和圆规作出下列各图形的对称轴.
答案
2.【解】所求作对称轴如图所示。
解析
【分析】
要作轴对称图形的对称轴，首先明确对称轴的性质：轴对称图形的对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，因此作图的核心是找到图形的一组对应点，再用尺规作这组对应点连线的垂直平分线即可。观察两个图形，左图的小熊造型左右对称，可在左右两侧选取一组对应点；右图是两个共顶点的对称三角形，可选取两个三角形的一组非公共对应顶点，再按尺规作线段垂直平分线的步骤操作即可得到对称轴。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作左图（小熊图形）的对称轴：
① 在图形左右两侧选取一组对应点A、B，连接线段AB；
② 分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于线段AB的上下方两点，过这两点作直线，即为左图的对称轴。
2. 作右图（双三角形图形）的对称轴：
① 选取两个三角形的一组非公共对应顶点C、D，连接线段CD；
② 分别以点C、D为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧分别交于线段CD的两侧两点，过这两点作直线，即为右图的对称轴。
【答案】
所求作对称轴如图所示。
【知识点】
轴对称的性质；尺规作线段的垂直平分线
【点评】
本题是基础作图类题目，重点考查对轴对称图形对称轴特征的理解，以及尺规作线段垂直平分线的基本操作能力，掌握“对称轴是对应点连线的垂直平分线”这一核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要作轴对称图形的对称轴，首先明确对称轴的性质：轴对称图形的对称轴是任意一组对应点所连线段的垂直平分线，因此作图的核心是找到图形的一组对应点，再用尺规作这组对应点连线的垂直平分线即可。观察两个图形，左图的小熊造型左右对称，可在左右两侧选取一组对应点；右图是两个共顶点的对称三角形，可选取两个三角形的一组非公共对应顶点，再按尺规作线段垂直平分线的步骤操作即可得到对称轴。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作左图（小熊图形）的对称轴：
① 在图形左右两侧选取一组对应点A、B，连接线段AB；
② 分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于线段AB的上下方两点，过这两点作直线，即为左图的对称轴。
2. 作右图（双三角形图形）的对称轴：
① 选取两个三角形的一组非公共对应顶点C、D，连接线段CD；
② 分别以点C、D为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧分别交于线段CD的两侧两点，过这两点作直线，即为右图的对称轴。
【答案】
所求作对称轴如图所示。
【知识点】
轴对称的性质；尺规作线段的垂直平分线
【点评】
本题是基础作图类题目，重点考查对轴对称图形对称轴特征的理解，以及尺规作线段垂直平分线的基本操作能力，掌握“对称轴是对应点连线的垂直平分线”这一核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹。
已知：线段c，直线l及l外一点A。
求作：Rt△ABC，使直角边为AC，其中AC⊥l，垂足为C，斜边AB＝c。
已知：线段c，直线l及l外一点A。
求作：Rt△ABC，使直角边为AC，其中AC⊥l，垂足为C，斜边AB＝c。
答案
3.【解】如图,△ABC 即为所求作三角形。
解析
【分析】
要构造符合要求的直角三角形，首先明确已知条件：直角边AC垂直于直线l，垂足为C，斜边AB长度等于已知线段c。首先确定点C的位置：需过点A作直线l的垂线，垂足即为点C；再确定点B的位置：点B在直线l上，且到点A的距离为c，因此以A为圆心、线段c的长为半径画弧，与直线l的交点就是点B；最后连接AB即可得到所求三角形。
【解析】
1. 过点A作直线l的垂线，垂足标记为C，此时AC⊥l，满足直角边AC的要求；
2. 用圆规截取已知线段c的长度，以点A为圆心、c的长度为半径画弧，弧与直线l的交点记为B，此时AB=c，满足斜边长度要求；
3. 连接AB，得到的△ABC即为所求的Rt△。
【答案】
如图,△ABC 即为所求作三角形。
【知识点】
过点作直线的垂线；尺规作相等线段；直角三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查基本作图技能的应用，解题时需先梳理所求图形的所有约束条件，按顺序确定各个顶点的位置即可，作图时要注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要构造符合要求的直角三角形，首先明确已知条件：直角边AC垂直于直线l，垂足为C，斜边AB长度等于已知线段c。首先确定点C的位置：需过点A作直线l的垂线，垂足即为点C；再确定点B的位置：点B在直线l上，且到点A的距离为c，因此以A为圆心、线段c的长为半径画弧，与直线l的交点就是点B；最后连接AB即可得到所求三角形。
【解析】
1. 过点A作直线l的垂线，垂足标记为C，此时AC⊥l，满足直角边AC的要求；
2. 用圆规截取已知线段c的长度，以点A为圆心、c的长度为半径画弧，弧与直线l的交点记为B，此时AB=c，满足斜边长度要求；
3. 连接AB，得到的△ABC即为所求的Rt△。
【答案】
如图,△ABC 即为所求作三角形。
【知识点】
过点作直线的垂线；尺规作相等线段；直角三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查基本作图技能的应用，解题时需先梳理所求图形的所有约束条件，按顺序确定各个顶点的位置即可，作图时要注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
4.有两个城镇A，B在公路$l_1$同侧、$l_2$异侧，其示意图如图所示.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路$l_1$，$l_2$的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
答案
4.【解】如图,点$C_1,C_2$为所求的位置。
解析
【分析】
要确定发射塔的位置，我们可以将题目的两个要求转化为对应的几何轨迹来分析：首先，到A、B两个城镇距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质，全部在线段AB的垂直平分线上；其次，到两条相交公路$l_1$、$l_2$距离相等的点，根据角平分线的性质，全部在$l_1$与$l_2$所成角的角平分线上，两条相交直线的角平分线共有2条（内角平分线和外角平分线）。同时满足两个条件的点就是这两类线的交点，找到交点即可确定发射塔的位置。
【解析】
1. 依据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 依据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，用尺规作出$l_1$和$l_2$相交所形成的内角、外角的角平分线，共2条；
3. 线段AB的垂直平分线与两条角平分线的交点就是同时满足两个要求的点，共2个，即图中的$C_1$、$C_2$。
【答案】
如图,点$C_1,C_2$为所求的位置。
【知识点】
线段垂直平分线性质，角平分线性质，尺规作图
【点评】
本题是实际应用类的作图题，核心是将实际距离要求对应到几何图形的性质，转化为轨迹交点问题求解，解题时注意不要遗漏两条相交直线的外角平分线，避免少算符合条件的点。
【难度系数】
0.6
要确定发射塔的位置，我们可以将题目的两个要求转化为对应的几何轨迹来分析：首先，到A、B两个城镇距离相等的点，根据线段垂直平分线的性质，全部在线段AB的垂直平分线上；其次，到两条相交公路$l_1$、$l_2$距离相等的点，根据角平分线的性质，全部在$l_1$与$l_2$所成角的角平分线上，两条相交直线的角平分线共有2条（内角平分线和外角平分线）。同时满足两个条件的点就是这两类线的交点，找到交点即可确定发射塔的位置。
【解析】
1. 依据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 依据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，用尺规作出$l_1$和$l_2$相交所形成的内角、外角的角平分线，共2条；
3. 线段AB的垂直平分线与两条角平分线的交点就是同时满足两个要求的点，共2个，即图中的$C_1$、$C_2$。
【答案】
如图,点$C_1,C_2$为所求的位置。
【知识点】
线段垂直平分线性质，角平分线性质，尺规作图
【点评】
本题是实际应用类的作图题，核心是将实际距离要求对应到几何图形的性质，转化为轨迹交点问题求解，解题时注意不要遗漏两条相交直线的外角平分线，避免少算符合条件的点。
【难度系数】
0.6
