1 如图,甲自西向东以 4 m/s 的速度行进,乙由南向北以 3 m/s 的速度行进,当乙到达点 O 时,甲已到达点 O 以东 16 m 处,如果两人继续前进,求两人相距 39 m 时各自的位置.

解：设乙到达点​$O$​后经过​$t s $​两人相距​$39\ \mathrm {m}$​ 根据题意，得​$(3\ \mathrm {t})^2+(16 + 4\ \mathrm {t})^2=39^2$​ 整理，得​$25\ \mathrm {t}^2+128\ \mathrm {t} - 1265 = 0$​​$ $​解得​$t_{1}=5，$​​$t_{2}=-10.12($​不符合题意，舍去)​$ $​当​$t = 5$​时，​$3\ \mathrm {t} = 15，$​​$16 + 4t = 16 + 20 = 36$​ 答：当两人相距​$39\ \mathrm {m} $​时，甲在点​$O$​以东​$36\ \mathrm {m} $​处，乙在点​$O$​以北​$15\ \mathrm {m} $​处。

2 (2024 宿迁泗洪期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=12 cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 以 1 cm/s 的速度向点 B 匀速移动,同时点 Q 从点 B 出发,沿 BC 以 2 cm/s 的速度向点 C 匀速移动,设运动的时间为 t s.
(1) $PB=\_\_\_\_\_\_$ cm,$QC=\_\_\_\_\_\_$ cm;
(2) 当 t 为何值时,$△ DPQ$ 的面积等于 $28\ \mathrm{cm^2}$?

$6 - t$ ; $12 - 2t$ ; 解：​$(2)AP = t\mathrm {cm}，$​​$QB = 2t\mathrm {cm}，$​​$PB=(6 - t)\mathrm {cm}，$​​$QC=(12 - 2t)\mathrm {cm}$​根据题意，得​$S_{\triangle DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle APD}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle DCQ}=28$​∴​$AB·BC-\frac {1}{2}AP·AD-\frac {1}{2}PB·BQ-\frac {1}{2}QC·CD = 28$​即​$12×6-\frac {1}{2}×12t-\frac {1}{2}×2t×(6 - t)-\frac {1}{2}×6×(12 - 2t)=28$​整理得​$t^2-6t + 8 = 0$​​$(t - 2)(t - 4)=0$​解得​$t_{1}=2，$​​$t_{2}=4$​答：当​$t $​为​$2$​或​$4$​时，​$\triangle DPQ $​的面积等于​$28\ \mathrm {cm}^2。$​

3 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发沿边$AC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$C$出发沿边$CB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.
(1) 若$P,Q$两点同时出发,则几秒后可使$△ PQC$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$?
(2) 若$P,Q$两点同时出发,则几秒后$PQ$的长度为$\dfrac{12\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$?
(3) $△ PCQ$的面积能否等于$△ ABC$面积的一半? 若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.

解：∵点​$P $​的移动速度为​$1\ \mathrm {cm}/s，$​点​$Q $​的移动速度为​$2\ \mathrm {cm}/s$​∴设​$CP = 6 - x，$​则​$CQ = 2x$​​$ (1)\triangle PQC$​的面积为​$8\ \mathrm {cm}^2，$​即​$\frac 12(6 - x)·2x = 8$​​$ $​整理得​$x^2-6x + 8 = 0$​​$ $​解得​$x_{1}=2，$​​$x_{2}=4$​​$ $​故若​$P，$​​$Q $​两点同时出发，则​$2\ \mathrm {s} $​或​$4\ \mathrm {s} $​后​$\triangle PQ C$​的面积为​$8\ \mathrm {cm}^2$​​$ (2)PQ $​的长度为​$\frac {12\sqrt 5}5\ \mathrm {cm}，$​即​$(2x)^2+(6 - x)^2=\frac {144}5$​解得​$x_{1}=x_{2}=1.2$​​$ $​故若​$P，$​​$Q $​两点同时出发，则​$1.2\ \mathrm {s} $​后​$PQ $​的长度为​$\frac {12\sqrt 5}5\ \mathrm {cm}$​​$ (3)$​根据题意，得​$S_{\triangle ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}C·BC=\frac 12×6×8 = 24$​​$ $​则​$\frac 12×2x×(6 - x)=\frac 12×24，$​即​$x^2-6x + 12 = 0$​∵​$∆=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×12=36 - 48=-12<0$​∴该方程无实数解∴不存在使得​$\triangle P CQ $​的面积等于​$\triangle ABC$​面积的一半的时刻