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1. 一个扇形的半径为 30 cm，圆心角为 $120°$，用它围成一个圆锥，如图所示，则圆锥的底面圆的半径为 （
A.10 cm
B.20 cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
A
）A.10 cm
B.20 cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
答案
1. A
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住扇形围成圆锥时的等量关系：扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长。解题分为两步：第一步先利用弧长公式计算出扇形的弧长，第二步将弧长代入圆的周长公式，反向求解圆锥底面圆的半径即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
将$n=120°$，$R=30\mathrm{cm}$代入公式得：
$l=\frac{120π × 30}{180}=20π \mathrm{cm}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为底面圆半径），因此：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10\mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.弧长公式计算
2.圆锥展开图性质
3.圆的周长计算
【点评】
本题是几何图形展开类的基础常考题，重点考查平面图形和立体图形的转化关系，只要掌握扇形围圆锥时弧长等于底面周长这一核心等量关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住扇形围成圆锥时的等量关系：扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长。解题分为两步：第一步先利用弧长公式计算出扇形的弧长，第二步将弧长代入圆的周长公式，反向求解圆锥底面圆的半径即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
将$n=120°$，$R=30\mathrm{cm}$代入公式得：
$l=\frac{120π × 30}{180}=20π \mathrm{cm}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为底面圆半径），因此：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10\mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.弧长公式计算
2.圆锥展开图性质
3.圆的周长计算
【点评】
本题是几何图形展开类的基础常考题，重点考查平面图形和立体图形的转化关系，只要掌握扇形围圆锥时弧长等于底面周长这一核心等量关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（
A.300π
B.150π
C.200π
D.600π
A
）A.300π
B.150π
C.200π
D.600π
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长这一核心关系。第一步先根据已知的底面圆面积求出底面圆的半径，第二步计算底面圆周长得到扇形的弧长，第三步利用弧长公式求出扇形的半径，最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求底面圆的半径：
设底面圆的半径为$r$，由圆的面积公式$S=π r^2$，已知底面圆面积为$100π$，可得：
$π r^2=100π$，解得$r=10$（半径为正数，舍去负解）。
2. 求底面圆周长（即扇形弧长）：
底面圆周长$C=2π r=2π×10=20π$，即扇形的弧长$l=20π$。
3. 求扇形的半径：
设扇形的半径为$R$，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数），已知圆心角$n=120°$，代入得：
$20π=\frac{120π R}{180}$，约去$π$后解得$R=30$。
4. 计算扇形面积：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，代入$l=20π$，$R=30$得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}×20π×30=300π$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是掌握圆锥侧面展开扇形与底面圆的对应关系，熟记弧长、扇形面积、圆的面积公式即可快速求解，是平面几何与立体几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长这一核心关系。第一步先根据已知的底面圆面积求出底面圆的半径，第二步计算底面圆周长得到扇形的弧长，第三步利用弧长公式求出扇形的半径，最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求底面圆的半径：
设底面圆的半径为$r$，由圆的面积公式$S=π r^2$，已知底面圆面积为$100π$，可得：
$π r^2=100π$，解得$r=10$（半径为正数，舍去负解）。
2. 求底面圆周长（即扇形弧长）：
底面圆周长$C=2π r=2π×10=20π$，即扇形的弧长$l=20π$。
3. 求扇形的半径：
设扇形的半径为$R$，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为扇形圆心角度数），已知圆心角$n=120°$，代入得：
$20π=\frac{120π R}{180}$，约去$π$后解得$R=30$。
4. 计算扇形面积：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，代入$l=20π$，$R=30$得：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}×20π×30=300π$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是掌握圆锥侧面展开扇形与底面圆的对应关系，熟记弧长、扇形面积、圆的面积公式即可快速求解，是平面几何与立体几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面圆的半径是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是抓住圆锥侧面展开图和圆锥本身的对应等量关系：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先计算出半圆的弧长，再利用圆的周长公式建立等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $。
1. 计算侧面展开半圆的弧长：
已知半圆的半径为1，整圆周长为$ 2π×1=2π $，因此半圆的弧长为整圆周长的一半，即$ l=\frac{1}{2}×2π×1=π $。
2. 根据圆锥性质列等式：
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，底面圆周长为$ 2π r $，因此可得：
$ 2π r = π $
3. 求解方程：
两边同时除以$ π $，得$ 2r=1 $，解得$ r=\frac{1}{2} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的对应关系，熟练掌握弧长和圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心是抓住圆锥侧面展开图和圆锥本身的对应等量关系：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先计算出半圆的弧长，再利用圆的周长公式建立等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r $。
1. 计算侧面展开半圆的弧长：
已知半圆的半径为1，整圆周长为$ 2π×1=2π $，因此半圆的弧长为整圆周长的一半，即$ l=\frac{1}{2}×2π×1=π $。
2. 根据圆锥性质列等式：
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，底面圆周长为$ 2π r $，因此可得：
$ 2π r = π $
3. 求解方程：
两边同时除以$ π $，得$ 2r=1 $，解得$ r=\frac{1}{2} $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的对应关系，熟练掌握弧长和圆周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，圆锥的高$h=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，底面圆的半径$r=1\ \mathrm{cm}$，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
120°
。答案
4. 120°
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，可通过勾股定理计算出母线的长度；第二步，明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；第三步，结合弧长公式列方程，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
解：① 计算圆锥的母线长$l$，根据勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=3\ \mathrm{cm}$
② 计算圆锥底面圆的周长，该周长等于侧面展开扇形的弧长：
$C=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
③ 设侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式$\frac{nπ l}{180}=\mathrm{弧长}$，代入数据：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
两边约去$π$后化简得：$\frac{3n}{180}=2$，解得$n=120$
【答案】
$120°$
【知识点】
1.圆锥的侧面展开图 2.勾股定理 3.弧长公式
【点评】
本题是基础几何计算类题目，解题核心是掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，即扇形弧长等于圆锥底面周长、扇形半径等于圆锥母线长，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，可通过勾股定理计算出母线的长度；第二步，明确圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；第三步，结合弧长公式列方程，即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
解：① 计算圆锥的母线长$l$，根据勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=3\ \mathrm{cm}$
② 计算圆锥底面圆的周长，该周长等于侧面展开扇形的弧长：
$C=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
③ 设侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式$\frac{nπ l}{180}=\mathrm{弧长}$，代入数据：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
两边约去$π$后化简得：$\frac{3n}{180}=2$，解得$n=120$
【答案】
$120°$
【知识点】
1.圆锥的侧面展开图 2.勾股定理 3.弧长公式
【点评】
本题是基础几何计算类题目，解题核心是掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应关系，即扇形弧长等于圆锥底面周长、扇形半径等于圆锥母线长，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形. 若圆锥的底面圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，扇形的圆心角$θ=120°$，则该圆锥的侧面积为
12π
$\mathrm{cm}^2$. 答案
5. 12π
解析
【分析】
解题时先明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，圆锥的母线长等于展开后扇形的半径。首先计算圆锥底面周长得到扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径（即圆锥母线长），最后代入扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积。
【解析】
步骤1：计算圆锥底面圆的周长，即展开扇形的弧长
已知底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，即扇形弧长为$4π\ \mathrm{cm}$。
步骤2：利用弧长公式求扇形半径（圆锥母线长$R$）
扇形弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{θ}{360°}×2π R$，代入已知$θ=120°$，$l_{\mathrm{弧}}=4π$：
$4π=\frac{120°}{360°}×2π R$
化简得$4π=\frac{2π R}{3}$，两边约去$π$后解得$R=6\ \mathrm{cm}$。
步骤3：计算圆锥侧面积（即扇形面积）
扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}× l_{\mathrm{弧}}× R$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}×4π×6=12π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$12π$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用弧长、扇形面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，圆锥的母线长等于展开后扇形的半径。首先计算圆锥底面周长得到扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径（即圆锥母线长），最后代入扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积。
【解析】
步骤1：计算圆锥底面圆的周长，即展开扇形的弧长
已知底面半径$r=2\ \mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，即扇形弧长为$4π\ \mathrm{cm}$。
步骤2：利用弧长公式求扇形半径（圆锥母线长$R$）
扇形弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{θ}{360°}×2π R$，代入已知$θ=120°$，$l_{\mathrm{弧}}=4π$：
$4π=\frac{120°}{360°}×2π R$
化简得$4π=\frac{2π R}{3}$，两边约去$π$后解得$R=6\ \mathrm{cm}$。
步骤3：计算圆锥侧面积（即扇形面积）
扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}× l_{\mathrm{弧}}× R$，代入数值：
$S=\frac{1}{2}×4π×6=12π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$12π$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是掌握圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用弧长、扇形面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，一个几何体是从高4 cm、底面半径3 cm的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心处. 求这个几何体的表面积.
答案
解 由题意知，圆锥的母线长为$\sqrt{3^2+4^2}=$
5（cm），底面圆的周长为$2×3π=6π$（cm），
侧面积为$\frac{1}{2}×6π×5=15π$（$\mathrm{cm}^2$），底面圆的
面积为$π×3^2=9π$（$\mathrm{cm}^2$），圆柱的侧面积为
$6π×4=24π$（$\mathrm{cm}^2$），则这个几何体的表面积
为$15π+9π+24π=48π$（$\mathrm{cm}^2$）。
5（cm），底面圆的周长为$2×3π=6π$（cm），
侧面积为$\frac{1}{2}×6π×5=15π$（$\mathrm{cm}^2$），底面圆的
面积为$π×3^2=9π$（$\mathrm{cm}^2$），圆柱的侧面积为
$6π×4=24π$（$\mathrm{cm}^2$），则这个几何体的表面积
为$15π+9π+24π=48π$（$\mathrm{cm}^2$）。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确挖去圆锥后几何体的表面积组成：①圆柱的侧面积；②圆柱的下底面圆的面积；③挖去圆锥后露出的圆锥侧面积（注意圆柱的上底面被挖去，不计入表面积）。接下来我们先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再分别计算三个部分的面积，最后求和即可得到总表面积。
【解析】
解：首先求圆锥的母线长：圆锥的高等于圆柱的高为4cm，底面半径等于圆柱底面半径为3cm，由勾股定理得母线长$l=\sqrt{3^2+4^2}=5$（cm）。
1. 计算圆锥侧面积：底面圆周长$C=2πr=2×3π=6π$（cm），圆锥侧面积$S_{锥侧}=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×6π×5=15π$（$\mathrm{cm}^2$）。
2. 计算圆柱下底面积：$S_{柱底}=πr^2=π×3^2=9π$（$\mathrm{cm}^2$）。
3. 计算圆柱侧面积：$S_{柱侧}=C× h=6π×4=24π$（$\mathrm{cm}^2$）。
将三部分面积相加得总表面积：$S_{总}=15π+9π+24π=48π$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱圆锥侧面积计算
2. 勾股定理
3. 组合体表面积计算
【点评】
本题的易错点是错将圆柱的上底面计入表面积，或漏算圆锥的侧面积，解题时要先结合几何体的结构准确判断表面积包含的面，再逐一计算求和。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确挖去圆锥后几何体的表面积组成：①圆柱的侧面积；②圆柱的下底面圆的面积；③挖去圆锥后露出的圆锥侧面积（注意圆柱的上底面被挖去，不计入表面积）。接下来我们先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再分别计算三个部分的面积，最后求和即可得到总表面积。
【解析】
解：首先求圆锥的母线长：圆锥的高等于圆柱的高为4cm，底面半径等于圆柱底面半径为3cm，由勾股定理得母线长$l=\sqrt{3^2+4^2}=5$（cm）。
1. 计算圆锥侧面积：底面圆周长$C=2πr=2×3π=6π$（cm），圆锥侧面积$S_{锥侧}=\frac{1}{2}× C× l=\frac{1}{2}×6π×5=15π$（$\mathrm{cm}^2$）。
2. 计算圆柱下底面积：$S_{柱底}=πr^2=π×3^2=9π$（$\mathrm{cm}^2$）。
3. 计算圆柱侧面积：$S_{柱侧}=C× h=6π×4=24π$（$\mathrm{cm}^2$）。
将三部分面积相加得总表面积：$S_{总}=15π+9π+24π=48π$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱圆锥侧面积计算
2. 勾股定理
3. 组合体表面积计算
【点评】
本题的易错点是错将圆柱的上底面计入表面积，或漏算圆锥的侧面积，解题时要先结合几何体的结构准确判断表面积包含的面，再逐一计算求和。
【难度系数】
0.6
