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1. (上海中考)一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点在$y$轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
1. $y=-x^2+1$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时需结合二次函数的性质，逐步推导系数的取值要求：①首先，顶点在y轴上，说明二次函数对称轴为y轴（即直线x=0），根据对称轴公式可推出一次项系数b的取值；②其次，顶点在y轴正半轴，可推出常数项c的取值范围；③最后，对称轴左侧部分上升，说明抛物线开口向下，可推出二次项系数a的取值范围。满足三个取值要求的表达式均符合题意，任写一个即可。
【解析】
第一步：由二次函数顶点在y轴上，可知其对称轴为直线$x=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，可得$b=0$；
第二步：顶点在y轴正半轴，此时顶点坐标为$(0,c)$，因此$c＞0$；
第三步：对称轴左侧的部分是上升的，说明二次函数开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
综上，只要满足$a＜0$、$b=0$、$c＞0$的二次函数表达式都符合要求，例如取$a=-1$，$c=1$，可得表达式$y=-x^2+1$。
【答案】
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点特征
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数系数与图象特征的对应关系，需要结合题干给出的位置、增减性特征推导系数的取值范围，只要熟练掌握二次函数的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数的性质，逐步推导系数的取值要求：①首先，顶点在y轴上，说明二次函数对称轴为y轴（即直线x=0），根据对称轴公式可推出一次项系数b的取值；②其次，顶点在y轴正半轴，可推出常数项c的取值范围；③最后，对称轴左侧部分上升，说明抛物线开口向下，可推出二次项系数a的取值范围。满足三个取值要求的表达式均符合题意，任写一个即可。
【解析】
第一步：由二次函数顶点在y轴上，可知其对称轴为直线$x=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=0$，可得$b=0$；
第二步：顶点在y轴正半轴，此时顶点坐标为$(0,c)$，因此$c＞0$；
第三步：对称轴左侧的部分是上升的，说明二次函数开口向下，因此二次项系数$a＜0$；
综上，只要满足$a＜0$、$b=0$、$c＞0$的二次函数表达式都符合要求，例如取$a=-1$，$c=1$，可得表达式$y=-x^2+1$。
【答案】
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点特征
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数系数与图象特征的对应关系，需要结合题干给出的位置、增减性特征推导系数的取值范围，只要熟练掌握二次函数的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2. 如图,已知二次函数$y=-x^2+mx+n$,当$x=3$时,$y$有最大值4.
(1)求二次函数的表达式;
(2)设这个二次函数的图象与$x$轴的交点是$A,B$,求点$A,B$的坐标;
(3)当$y＜0$时,求$x$的取值范围;
(4)有一圆经过$A,B$,且与$y$轴的正半轴相切于点$C$,求点$C$的坐标.
(1)求二次函数的表达式;
(2)设这个二次函数的图象与$x$轴的交点是$A,B$,求点$A,B$的坐标;
(3)当$y＜0$时,求$x$的取值范围;
(4)有一圆经过$A,B$,且与$y$轴的正半轴相切于点$C$,求点$C$的坐标.
答案
2. (1)由题意,得$\begin{cases} -\dfrac{m}{2×(-1)}=3,\\ -3^2+3m+n=4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=6,\\ n=-5. \end{cases}$
故二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$.
(2)令$y=0$,得$-x^2+6x-5=0$,
解得$x=5$或$x=1$.
故$A,B$两点的坐标分别为$(5,0),(1,0)$.
(3)由图象知,当$y＜0$时,图象在$x$轴下方,
所以$x＜1$或$x＞5$.
(4)设圆心为点$D$,过点$D$作$DE⊥ AB$,垂足为$E$,连接$DC,DB$.易证四边形$OEDC$为矩形,$E$为$AB$的中点,$AB=4,BE=2$,
所以$OE=3=CD$.
又$CD=BD$,则$BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中,$DE=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,
所以点$C$的坐标为$(0,\sqrt{5})$.
解得$\begin{cases} m=6,\\ n=-5. \end{cases}$
故二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$.
(2)令$y=0$,得$-x^2+6x-5=0$,
解得$x=5$或$x=1$.
故$A,B$两点的坐标分别为$(5,0),(1,0)$.
(3)由图象知,当$y＜0$时,图象在$x$轴下方,
所以$x＜1$或$x＞5$.
(4)设圆心为点$D$,过点$D$作$DE⊥ AB$,垂足为$E$,连接$DC,DB$.易证四边形$OEDC$为矩形,$E$为$AB$的中点,$AB=4,BE=2$,
所以$OE=3=CD$.
又$CD=BD$,则$BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中,$DE=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$,
所以点$C$的坐标为$(0,\sqrt{5})$.
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=-x^2+mx+n$开口向下，已知$x=3$时$y$取最大值4，说明顶点坐标为$(3,4)$，可利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，再将顶点坐标代入函数表达式，列方程组求解$m$和$n$，即可得到函数解析式。
(2) 二次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，因此令$y=0$，解所得的一元二次方程，得到的两个根就是$A$、$B$两点的横坐标，进而写出两点坐标。
(3) $y＜0$对应二次函数图象在$x$轴下方的部分，结合抛物线开口方向和$A$、$B$的坐标，直接读出对应的$x$取值范围即可。
(4) 圆过$A$、$B$两点，说明圆心在$AB$的垂直平分线上（即抛物线对称轴$x=3$上）；圆与$y$轴正半轴相切，说明圆的半径等于圆心到$y$轴的距离（即圆心横坐标的绝对值3）。过圆心作$AB$的垂线，结合垂径定理得到$BE$的长度，再利用勾股定理求出圆心的纵坐标，也就是切点$C$的纵坐标，即可得到$C$的坐标。
【解析】
(1) 由题意可知二次函数的顶点坐标为$(3,4)$，列方程组得：
$\begin{cases} -\dfrac{m}{2×(-1)}=3\\ -3^2+3m+n=4 \end{cases}$
解第一个方程得$m=6$，将$m=6$代入第二个方程，解得$n=-5$。
故二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$。
(2) 令$y=0$，得$-x^2+6x-5=0$，整理因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=5$或$x=1$。
结合图象位置可知$A$点在右侧，$B$点在左侧，故$A,B$两点的坐标分别为$(5,0),(1,0)$。
(3) 由图象知，二次函数开口向下，当$y＜0$时，图象在$x$轴下方，对应自变量的取值范围为$x＜1$或$x＞5$。
(4) 设圆心为点$D$，过点$D$作$DE⊥ AB$，垂足为$E$，连接$DC,DB$。
因为圆与$y$轴正半轴相切于$C$，所以$DC⊥y$轴，$DC=BD$（均为圆的半径），因此四边形$OEDC$为矩形，$DC=OE$。
因为$D$在$AB$的垂直平分线上，所以$E$为$AB$的中点，$AB=5-1=4$，故$BE=2$，$OE=1+2=3$，因此$CD=BD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
由矩形$OEDC$的性质得$OC=DE=\sqrt{5}$，$C$在$y$轴正半轴，故点$C$的坐标为$(0,\sqrt{5})$。
【答案】
(1) $y=-x^2+6x-5$
(2) $A(5,0)$，$B(1,0)$
(3) $x＜1$或$x＞5$
(4) $(0,\sqrt{5})$
【知识点】
二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，圆的基本性质
【点评】
本题是二次函数与圆的综合基础题，前三问侧重考察二次函数的基础应用，要求熟练掌握二次函数解析式求法、与一元二次方程的关联，以及用数形结合思想判断函数值符号对应的自变量范围；第四问结合圆的切线性质、垂径定理考察几何计算，需要学会利用圆的对称性确定圆心位置，再通过勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.65
(1) 二次函数$y=-x^2+mx+n$开口向下，已知$x=3$时$y$取最大值4，说明顶点坐标为$(3,4)$，可利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，再将顶点坐标代入函数表达式，列方程组求解$m$和$n$，即可得到函数解析式。
(2) 二次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，因此令$y=0$，解所得的一元二次方程，得到的两个根就是$A$、$B$两点的横坐标，进而写出两点坐标。
(3) $y＜0$对应二次函数图象在$x$轴下方的部分，结合抛物线开口方向和$A$、$B$的坐标，直接读出对应的$x$取值范围即可。
(4) 圆过$A$、$B$两点，说明圆心在$AB$的垂直平分线上（即抛物线对称轴$x=3$上）；圆与$y$轴正半轴相切，说明圆的半径等于圆心到$y$轴的距离（即圆心横坐标的绝对值3）。过圆心作$AB$的垂线，结合垂径定理得到$BE$的长度，再利用勾股定理求出圆心的纵坐标，也就是切点$C$的纵坐标，即可得到$C$的坐标。
【解析】
(1) 由题意可知二次函数的顶点坐标为$(3,4)$，列方程组得：
$\begin{cases} -\dfrac{m}{2×(-1)}=3\\ -3^2+3m+n=4 \end{cases}$
解第一个方程得$m=6$，将$m=6$代入第二个方程，解得$n=-5$。
故二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$。
(2) 令$y=0$，得$-x^2+6x-5=0$，整理因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x=5$或$x=1$。
结合图象位置可知$A$点在右侧，$B$点在左侧，故$A,B$两点的坐标分别为$(5,0),(1,0)$。
(3) 由图象知，二次函数开口向下，当$y＜0$时，图象在$x$轴下方，对应自变量的取值范围为$x＜1$或$x＞5$。
(4) 设圆心为点$D$，过点$D$作$DE⊥ AB$，垂足为$E$，连接$DC,DB$。
因为圆与$y$轴正半轴相切于$C$，所以$DC⊥y$轴，$DC=BD$（均为圆的半径），因此四边形$OEDC$为矩形，$DC=OE$。
因为$D$在$AB$的垂直平分线上，所以$E$为$AB$的中点，$AB=5-1=4$，故$BE=2$，$OE=1+2=3$，因此$CD=BD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
由矩形$OEDC$的性质得$OC=DE=\sqrt{5}$，$C$在$y$轴正半轴，故点$C$的坐标为$(0,\sqrt{5})$。
【答案】
(1) $y=-x^2+6x-5$
(2) $A(5,0)$，$B(1,0)$
(3) $x＜1$或$x＞5$
(4) $(0,\sqrt{5})$
【知识点】
二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，圆的基本性质
【点评】
本题是二次函数与圆的综合基础题，前三问侧重考察二次函数的基础应用，要求熟练掌握二次函数解析式求法、与一元二次方程的关联，以及用数形结合思想判断函数值符号对应的自变量范围；第四问结合圆的切线性质、垂径定理考察几何计算，需要学会利用圆的对称性确定圆心位置，再通过勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.65
3. 如图,已知半径为1的$\odot O_1$与$x$轴交于$A,B$两点,$OM$为$\odot O_1$的切线,切点为$M$,圆心$O_1$的坐标为$(2,0)$,二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$A,B$两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求切线$OM$的函数表达式.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求切线$OM$的函数表达式.
答案
3. (1)$\because$圆心$O_1$的坐标为$(2,0)$,$\odot O_1$的半径为1,
$\therefore A(1,0),B(3,0)$.
$\because$二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A,B$,
$\therefore \begin{cases} -1+b+c=0,\\ -9+3b+c=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=4,\\ c=-3, \end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$.
(2)如图,过点$M$作$MF⊥ x$轴,垂足为$F$.
$\because OM$是$\odot O_1$的切线,$\therefore O_1M⊥ OM$.
在$\mathrm{Rt}△ OMO_1$中,$O_1M=1,OO_1=2$,
则$OM=\sqrt{3}$.
又$\dfrac{1}{2}OO_1· MF=\dfrac{1}{2}O_1M· OM$,
$\therefore MF=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\therefore OF=\sqrt{OM^2-MF^2}=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$.
设切线$OM$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$.
则$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}k$,解得$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
故切线$OM$的函数表达式为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$.
一题多解 (1)$\because$圆心$O_1$的坐标为$(2,0)$,$\odot O_1$的半径为1,$\therefore A(1,0),B(3,0)$.
$\because$二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A,B$,
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式首先要确定图象上A、B两点的坐标：已知圆心$O_1$坐标为$(2,0)$，圆半径为1，因此A为$O_1$左侧1个单位的点，坐标为$(1,0)$，B为$O_1$右侧1个单位的点，坐标为$(3,0)$。再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，也可直接用交点式简化计算。
(2) 求切线$OM$的解析式，首先根据切线性质：切线垂直于过切点的半径，可得$O_1M⊥OM$，即$△ OMO_1$为直角三角形。先用勾股定理求出$OM$的长度，再通过直角三角形面积法求出M点的纵坐标，用勾股定理求出M点的横坐标，得到M点坐标后，由于$OM$过原点，设其为正比例函数$y=kx$，代入M点坐标求$k$即可。
【解析】
(1) $\because$圆心$O_1$的坐标为$(2,0)$，$\odot O_1$的半径为1，
$\therefore A(2-1,0)=(1,0)$，$B(2+1,0)=(3,0)$。
$\because$二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$A,B$两点，代入坐标得：
$\begin{cases} -1+b+c=0,\\ -9+3b+c=0, \end{cases}$
两式相减得$2b-8=0$，解得$b=4$，将$b=4$代入第一个方程得$c=-3$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
(也可利用交点式求解：二次函数过$(1,0)、(3,0)$，因此$y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$，结果一致。)
(2) 如图，过点$M$作$MF⊥ x$轴，垂足为$F$。
$\because OM$是$\odot O_1$的切线，$\therefore O_1M⊥ OM$，$△ OMO_1$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMO_1$中，$O_1M=1,OO_1=2$，
由勾股定理得$OM=\sqrt{OO_1^2-O_1M^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
又直角三角形面积可表示为$\dfrac{1}{2}OO_1· MF=\dfrac{1}{2}O_1M· OM$，
代入数值得$\dfrac{1}{2}×2× MF=\dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3}$，解得$MF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即M点纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMF$中，$OF=\sqrt{OM^2-MF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\dfrac{3}{2}$，即M点横坐标为$\dfrac{3}{2}$。
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
设切线$OM$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，代入M点坐标得：
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}k$，解得$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
故切线$OM$的函数表达式为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；
(2) 切线$OM$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 切线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是代数几何综合题，同时考查了函数解析式求解、圆的性质和直角三角形相关计算，解题时需要灵活转换几何性质和代数条件，也可以选择合适的简便方法降低计算量。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数表达式首先要确定图象上A、B两点的坐标：已知圆心$O_1$坐标为$(2,0)$，圆半径为1，因此A为$O_1$左侧1个单位的点，坐标为$(1,0)$，B为$O_1$右侧1个单位的点，坐标为$(3,0)$。再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，得到关于$b、c$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，也可直接用交点式简化计算。
(2) 求切线$OM$的解析式，首先根据切线性质：切线垂直于过切点的半径，可得$O_1M⊥OM$，即$△ OMO_1$为直角三角形。先用勾股定理求出$OM$的长度，再通过直角三角形面积法求出M点的纵坐标，用勾股定理求出M点的横坐标，得到M点坐标后，由于$OM$过原点，设其为正比例函数$y=kx$，代入M点坐标求$k$即可。
【解析】
(1) $\because$圆心$O_1$的坐标为$(2,0)$，$\odot O_1$的半径为1，
$\therefore A(2-1,0)=(1,0)$，$B(2+1,0)=(3,0)$。
$\because$二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$A,B$两点，代入坐标得：
$\begin{cases} -1+b+c=0,\\ -9+3b+c=0, \end{cases}$
两式相减得$2b-8=0$，解得$b=4$，将$b=4$代入第一个方程得$c=-3$。
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
(也可利用交点式求解：二次函数过$(1,0)、(3,0)$，因此$y=-(x-1)(x-3)=-x^2+4x-3$，结果一致。)
(2) 如图，过点$M$作$MF⊥ x$轴，垂足为$F$。
$\because OM$是$\odot O_1$的切线，$\therefore O_1M⊥ OM$，$△ OMO_1$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OMO_1$中，$O_1M=1,OO_1=2$，
由勾股定理得$OM=\sqrt{OO_1^2-O_1M^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
又直角三角形面积可表示为$\dfrac{1}{2}OO_1· MF=\dfrac{1}{2}O_1M· OM$，
代入数值得$\dfrac{1}{2}×2× MF=\dfrac{1}{2}×1×\sqrt{3}$，解得$MF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即M点纵坐标为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMF$中，$OF=\sqrt{OM^2-MF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\dfrac{3}{2}$，即M点横坐标为$\dfrac{3}{2}$。
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。
设切线$OM$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，代入M点坐标得：
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}k$，解得$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
故切线$OM$的函数表达式为$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$；
(2) 切线$OM$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 切线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题是代数几何综合题，同时考查了函数解析式求解、圆的性质和直角三角形相关计算，解题时需要灵活转换几何性质和代数条件，也可以选择合适的简便方法降低计算量。
【难度系数】
0.7
