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1. 用公式法求函数 $y=3x^2 - 3x - \frac{5}{4}$ 的最小值.
答案
1. $\because a=3,b=-3,c=-\frac{5}{4},$
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×3×(-\frac{5}{4})-(-3)^2}{4×3}=-2,$
$\therefore$ 函数 $y=3x^2-3x-\frac{5}{4}$ 的最小值为$-2.$
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×3×(-\frac{5}{4})-(-3)^2}{4×3}=-2,$
$\therefore$ 函数 $y=3x^2-3x-\frac{5}{4}$ 的最小值为$-2.$
解析
【分析】
本题是求二次函数的最小值，首先回忆二次函数的性质：当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值。顶点纵坐标可直接用公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，因此解题步骤为：先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值（特别注意符号不要出错），再代入顶点纵坐标公式计算，所得结果就是函数的最小值。
【解析】
已知二次函数$y=3x^2 - 3x - \frac{5}{4}$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$可得：
$a=3$，$b=-3$，$c=-\frac{5}{4}$，
因为$a=3＞0$，函数图象开口向上，存在最小值，最小值为顶点纵坐标，代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×3×(-\frac{5}{4})-(-3)^2}{4×3}=\frac{-15-9}{12}=-2$
【答案】
函数的最小值为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二次函数的最值，顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查对二次函数开口方向与最值关系的理解，以及顶点纵坐标公式的运用，解题时需注意准确识别$a、b、c$的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是求二次函数的最小值，首先回忆二次函数的性质：当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点为图象最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值。顶点纵坐标可直接用公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，因此解题步骤为：先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值（特别注意符号不要出错），再代入顶点纵坐标公式计算，所得结果就是函数的最小值。
【解析】
已知二次函数$y=3x^2 - 3x - \frac{5}{4}$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$可得：
$a=3$，$b=-3$，$c=-\frac{5}{4}$，
因为$a=3＞0$，函数图象开口向上，存在最小值，最小值为顶点纵坐标，代入公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×3×(-\frac{5}{4})-(-3)^2}{4×3}=\frac{-15-9}{12}=-2$
【答案】
函数的最小值为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二次函数的最值，顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，重点考查对二次函数开口方向与最值关系的理解，以及顶点纵坐标公式的运用，解题时需注意准确识别$a、b、c$的符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知函数$y=x(2-3x)$，当$x$为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值.
答案
2. $\because y=x(2-3x)=-3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3},$
$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标是$(\frac{1}{3},\frac{1}{3}).$
$\because a=-3＜0,\therefore$ 该抛物线的开口方向向下，
$\therefore$ 该函数有最大值，最大值是$\frac{1}{3}.$
$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标是$(\frac{1}{3},\frac{1}{3}).$
$\because a=-3＜0,\therefore$ 该抛物线的开口方向向下，
$\therefore$ 该函数有最大值，最大值是$\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
这是二次函数求最值的基础问题，解题思路清晰可遵循三步：第一步，先将给定的函数解析式整理为二次函数形式，再通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式；第二步，根据二次项系数$a$的正负判断抛物线开口方向：若$a＞0$则开口向上，函数有最小值；若$a＜0$则开口向下，函数有最大值；第三步，顶点坐标$(h,k)$中，$h$是函数取最值时对应的$x$值，$k$就是对应的最值。
【解析】
先对函数解析式展开并配方：
$y=x(2-3x)=-3x^2+2x$
$=-3(x^2-\frac{2}{3}x)$
$=-3[x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{3})^2]$
$=-3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}$
因此该抛物线的顶点坐标是$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。
又因为二次项系数$a=-3＜0$，抛物线开口方向向下，所以函数有最大值，当$x=\frac{1}{3}$时，取到最大值。
【答案】
当$x=\frac{1}{3}$时，函数有最大值，最大值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数性质，配方法，二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用和二次函数最值与开口方向的关系，熟练掌握配方法化顶点式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是二次函数求最值的基础问题，解题思路清晰可遵循三步：第一步，先将给定的函数解析式整理为二次函数形式，再通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式；第二步，根据二次项系数$a$的正负判断抛物线开口方向：若$a＞0$则开口向上，函数有最小值；若$a＜0$则开口向下，函数有最大值；第三步，顶点坐标$(h,k)$中，$h$是函数取最值时对应的$x$值，$k$就是对应的最值。
【解析】
先对函数解析式展开并配方：
$y=x(2-3x)=-3x^2+2x$
$=-3(x^2-\frac{2}{3}x)$
$=-3[x^2-\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{3})^2]$
$=-3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}$
因此该抛物线的顶点坐标是$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。
又因为二次项系数$a=-3＜0$，抛物线开口方向向下，所以函数有最大值，当$x=\frac{1}{3}$时，取到最大值。
【答案】
当$x=\frac{1}{3}$时，函数有最大值，最大值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数性质，配方法，二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用和二次函数最值与开口方向的关系，熟练掌握配方法化顶点式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最大值是0，化简：$|a|+4ac-b^2$。
答案
3. $\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 有最大值，
$\therefore$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 的图象的开口方向向下，即 $a＜0.$
又二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 的最大值是0，
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=0,\therefore 4ac-b^2=0,$
$\therefore |a|+4ac-b^2=-a+0=-a.$
$\therefore$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 的图象的开口方向向下，即 $a＜0.$
又二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 的最大值是0，
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=0,\therefore 4ac-b^2=0,$
$\therefore |a|+4ac-b^2=-a+0=-a.$
解析
【分析】
要解决这个化简问题，我们可按三步思考：第一步，根据二次函数有最大值判断其开口方向，确定a的正负，为后续化简绝对值做准备；第二步，回忆二次函数最大值的计算公式：二次函数的最值就是顶点的纵坐标，等于$\frac{4ac-b^2}{4a}$，结合题目给出的最大值为0，可求出$4ac-b^2$的值；第三步，化简绝对值后与$4ac-b^2$相加，得到最终结果。
【解析】
$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 有最大值，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，即 $a＜0$。
又$\because$ 二次函数的最大值是0，二次函数的最值（顶点纵坐标）公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=0$，
$\because a≠0$，
$\therefore 4ac-b^2=0$，
$\therefore |a|+4ac-b^2=-a+0=-a$。
【答案】
$\boldsymbol{-a}$
【知识点】
二次函数最值性质、绝对值化简、二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题结合二次函数性质考查代数式化简，解题关键是明确二次函数开口方向与最值的对应关系，牢记最值的表达式，化简绝对值时注意a的符号，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
要解决这个化简问题，我们可按三步思考：第一步，根据二次函数有最大值判断其开口方向，确定a的正负，为后续化简绝对值做准备；第二步，回忆二次函数最大值的计算公式：二次函数的最值就是顶点的纵坐标，等于$\frac{4ac-b^2}{4a}$，结合题目给出的最大值为0，可求出$4ac-b^2$的值；第三步，化简绝对值后与$4ac-b^2$相加，得到最终结果。
【解析】
$\because$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$ 有最大值，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，即 $a＜0$。
又$\because$ 二次函数的最大值是0，二次函数的最值（顶点纵坐标）公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，
$\therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=0$，
$\because a≠0$，
$\therefore 4ac-b^2=0$，
$\therefore |a|+4ac-b^2=-a+0=-a$。
【答案】
$\boldsymbol{-a}$
【知识点】
二次函数最值性质、绝对值化简、二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题结合二次函数性质考查代数式化简，解题关键是明确二次函数开口方向与最值的对应关系，牢记最值的表达式，化简绝对值时注意a的符号，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
4. 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园(墙的长度足够长)，已知篱笆的长度为60 m，应该怎样设计能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
答案
4. 设该矩形菜园平行于墙的一边长为 $x\ \mathrm{m}$，则与墙垂直的边长为$\frac{60-x}{2}\ \mathrm{m}$，面积为 $y\ \mathrm{m}^2.$
由题意，得 $y=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x.$
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$ 时，$y$ 取得最大值，
$y_{\mathrm{最大值}}=\frac{4×(-\frac{1}{2})×0-30^2}{4×(-\frac{1}{2})}=450.$
故当矩形菜园平行于墙的一边长为 30 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 $450\ \mathrm{m}^2.$
一题多解
设该矩形菜园与墙垂直的边长为 $x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为 $(60-2x)\ \mathrm{m}$，面积为 $y\ \mathrm{m}^2.$
由题意，得 $y=x·(60-2x)=-2x^2+60x.$
$\because -2＜0,\therefore$ 当 $x=-\frac{60}{2×(-2)}=15$ 时，$y$ 取得最大值，
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×15^2+60×15=450.$
故当矩形菜园与墙垂直的边长为 15 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 $450\ \mathrm{m}^2.$
由题意，得 $y=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x.$
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$ 时，$y$ 取得最大值，
$y_{\mathrm{最大值}}=\frac{4×(-\frac{1}{2})×0-30^2}{4×(-\frac{1}{2})}=450.$
故当矩形菜园平行于墙的一边长为 30 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 $450\ \mathrm{m}^2.$
一题多解
设该矩形菜园与墙垂直的边长为 $x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为 $(60-2x)\ \mathrm{m}$，面积为 $y\ \mathrm{m}^2.$
由题意，得 $y=x·(60-2x)=-2x^2+60x.$
$\because -2＜0,\therefore$ 当 $x=-\frac{60}{2×(-2)}=15$ 时，$y$ 取得最大值，
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×15^2+60×15=450.$
故当矩形菜园与墙垂直的边长为 15 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 $450\ \mathrm{m}^2.$
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先明确菜园仅三边用篱笆，靠墙一侧无需篱笆，我们可以合理设置未知数，用含未知数的式子表示出矩形的两条边长；再根据矩形面积公式列出面积关于未知数的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处为最大值点，用顶点坐标公式即可求出最值，注意要验证所求自变量的取值符合实际意义。
【解析】
设该矩形菜园平行于墙的一边长为 $x\ \mathrm{m}$，则与墙垂直的边长为$\frac{60-x}{2}\ \mathrm{m}$，设菜园的面积为 $y\ \mathrm{m}^2$。
由矩形面积公式得：
$y=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x$，其中$0＜x＜60$。
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2},b=30$得：
$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$，符合实际取值要求。
将$x=30$代入函数得最大面积：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{1}{2}×30^2+30×30=450$。
【答案】
当矩形菜园平行于墙的一边长为30 m（或与墙垂直的边长为15 m）时，菜园的面积最大，最大面积为 $\boxed{450\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
二次函数的最值、矩形面积计算、实际问题建模
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是将实际场景转化为二次函数数学模型，合理设元、正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解即可，求解过程中要注意自变量的取值必须符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先明确菜园仅三边用篱笆，靠墙一侧无需篱笆，我们可以合理设置未知数，用含未知数的式子表示出矩形的两条边长；再根据矩形面积公式列出面积关于未知数的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处为最大值点，用顶点坐标公式即可求出最值，注意要验证所求自变量的取值符合实际意义。
【解析】
设该矩形菜园平行于墙的一边长为 $x\ \mathrm{m}$，则与墙垂直的边长为$\frac{60-x}{2}\ \mathrm{m}$，设菜园的面积为 $y\ \mathrm{m}^2$。
由矩形面积公式得：
$y=x·\frac{60-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+30x$，其中$0＜x＜60$。
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2},b=30$得：
$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$，符合实际取值要求。
将$x=30$代入函数得最大面积：
$y_{\mathrm{最大值}}=-\frac{1}{2}×30^2+30×30=450$。
【答案】
当矩形菜园平行于墙的一边长为30 m（或与墙垂直的边长为15 m）时，菜园的面积最大，最大面积为 $\boxed{450\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
二次函数的最值、矩形面积计算、实际问题建模
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是将实际场景转化为二次函数数学模型，合理设元、正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解即可，求解过程中要注意自变量的取值必须符合实际场景的限制。
【难度系数】
0.7
