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【典例1】如图，线段AB//CD，连AD、BC，E是AD的中点，连BE，BE平分∠ABC，求证：AB－BC＝CD. 
答案
证明:延长 DC、BE 交于点F，
易证△DEF≌△AEB，
∴DF=AB，
又 BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠F，
∴CF=BC，
∴AB-BC=DF-CF=CD.
【典例2】如图，等腰直角$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$CB$延长线上一点，$AE=AD$，且$AE⊥ AD$，$BE$与$AC$的延长线交于点$P$.
(1)求证:$BP=PE$；
(2)若$AC=3PC$，求$\frac{DB}{BC}$的值.
(1)求证:$BP=PE$；
(2)若$AC=3PC$，求$\frac{DB}{BC}$的值.
答案
(1)证明:作 EM⊥AP 于M，
易证△AEM≌△DAC，
∴AC=EM=BC，
∴△BPC≌△EPM，
∴BP=PE；
(2)解:设 PC=PM=x，
AC=BC=3x，
AM=DC=5x，
∴DB=2x，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$.
变式.如图,在$△ ABC$中,点$M$在$BC$边上,过点$B$作直线分别交$AC$、$AM$于$E$、$F$两点,且$AE=EF$,$BF=AC$,求证:$M$为$BC$的中点.
答案
证明:过 C 作 CG//EB 交AM 的延长线于G，
易证△BFM≌△CGM，
∴BM=CM，
∴M 为 BC 的中点.
【典例3】如图，$△ ABC$为等边三角形，$EC=ED$，$∠ CED=120°$，$P$为$BD$的中点。求证：$AE=2PE$。
答案
证明:延长 EP 至 F,使 FP=EP，
连 BF,证△FBP≌△EDP,BF=DE=CE，
连 AF,AP，
设∠BCE=x,∠D=∠FBP=y，
∴∠CBD=240°-x-y，
∴∠CBF=240°-x，
∴∠ABF=360°-(240°-x)-60°=60°+x=∠ACE，
∴△ABF≌△ACE，
∴△AEF 为等边三角形，
∴EF=2PE=AE.
