5. 如图,在平面直角坐标系中有$A(-8,0),B(4,0)$两点,$C$为$y$轴正半轴上一点,且$∠ ABC=60°$.点$P$从点$A$出发,沿射线$AB$方向运动,同时点$Q$从点$B$出发,沿射线$BC$方向运动,点$P$的速度为每秒3个单位长度,点$Q$的速度为每秒1个单位长度,则当$△ PQB$是等腰三角形时,点$P$的坐标为 ()

A.$(3,0)$
B.$(1,0)$或$(9,0)$
C.$(1,0)$或$(10,0)$
D.$(3,0)$或$(6,0)$

(第5题) (第6题)

5. C 解析: 因为 A(-8,0),B(4,0),所以 OA=8,OB=4.所以 AB=OA+OB=12.设运动时间为 t s,则 AP=3t,BQ=t.当 3t=12 时,t=4.分类讨论如下:① 如图①,当点 P 在线段 AB 上时,0≤t≤4,则 PB=12-3t.因为△PQB 是等腰三角形,∠ABC=60°,所以△PQB 是等边三角形.所以 PB=BQ.所以 12-3t=t,解得 t=3.则 AP=9.所以 OP=AP-OA=1,即点 P 的坐标为(1,0);② 如图②,当点 P 在线段 AB 的延长线上时,t＞4,则 PB=3t-12.因为∠ABC=60°,所以∠PBQ=180°-∠ABC=120°.因为△PQB 是等腰三角形,所以 PB=QB.所以 3t-12=t,解得 t=6.则 AP=18.所以 OP=AP-OA=10,即点 P 的坐标为(10,0).综上,点 P 的坐标为(1,0)或(10,0).

6. 如图,在平面直角坐标系中有$A(0,2),B(-2,0),C(2,0)$三点,连接$AB$.若在$y$轴上存在一动点$D$,使$△ AOB ≌ △ DOC$,则点$D$的坐标为.

6. (0,2)或(0,-2) 解析: 因为 A(0,2),B(-2,0),C(2,0),所以 OA=OB=OC=2. 因为△AOB≌△DOC,所以 OD=OA=2. 因为点 D 在 y 轴上,所以点 D 的坐标为(0,2)或(0,-2).

7. 新趋势 推导探究 如图,在平面直角坐标系中，O是原点，点P的坐标为(5,3)，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，M为线段BP上一动点（不与B，P两点重合），N为x轴上异于点A的一点，且AM=MN。设点M的横坐标为m。
(1) 求点N的坐标（用含m的代数式表示）；
(2) 若点M到y轴的距离与点N到y轴的距离相等，求m的值；
(3) E为线段AM上一动点（不与A，M两点重合），直线MN与直线OE交于点Q，设点Q的横坐标为n。
① 若随着点E运动，存在点Q在线段MN的延长线上，直接写出m的取值范围；
② 若点Q与点E关于点O对称，求满足条件的整数n的值。

7. (1) 过点 M 作 MC⊥x 轴于点 C. 因为 AM=MN,所以 NC=AC=5-m. 所以 NA=2NC=10-2m.所以点 N 的横坐标为 5-(10-2m)=2m-5.所以点 N 的坐标为(2m-5,0).
(2) 因为点 M 到 y 轴的距离与点 N 到 y 轴的距离相等,所以|2m-5|=m.分类讨论如下:若 2m-5＞0,则 2m-5=m,解得 m=5,不符合题意,舍去;若 2m-5≤0,则 5-2m=m,解得 m=5/3,符合题意.综上,m 的值为 5/3.
(3) ① m 的取值范围为 0＜m＜5/2.
② 因为点 Q 与点 E 关于点 O 对称,点 Q 的横坐标为 n,所以点 Q 在 MN 的延长线上,且点 E 的横坐标为 -n.所以 0＜m＜5/2.由题意,得 MN 与 MA 关于直线 x=m 对称,所以点 Q 关于直线 x=m 的对称点 Q'与点 E 关于点 A 对称,且点 Q'的横坐标为 2m-n.因为 A(5,0),所以 (-n+(2m-n))/2=5.所以 m=n+5.所以 0＜n+5＜5/2,解得 -5＜n＜-5/2.所以满足条件的整数 n 的值为 -4 或 -3.

8. 如图,在平面直角坐标系中,A,B两点在x轴上,AB=2,C(0,2),D(6,-1),则$CA+AB+BD$的最小值为（）

A.5
B.7
C.8
D.10

8. B 解析:将 BD 向左平移 2 个单位长度,使点 B 和点 A 重合,并得到线段 AE,连接 CE,所以 AE=BD,E(4,-1).所以 CA+AB+BD=CA+AB+AE≥AB+CE.所以当 C,A,E 三点共线时,CA+AB+BD 有最小值,且最小值为 AB+CE 的值.因为 C(0,2),所以 CE=√(4²+(2+1)²)=5.又 AB=2,所以 AB+CE=7.所以 CA+AB+BD 的最小值为 7.

9. (2026·江苏连云港期末)如图,在平面直角坐标系中有一点$A(0,4)$,$B$为$x$轴上一动点,以$AB$为边在直线$AB$的右侧作等边三角形$ABC$.若$P$为$OA$的中点,连接$PC$,则$PC$的长的最小值为.

9. 3 解析:如图,以 AP 为边向左作等边三角形 APE,连接 BE,过点 E 作 EF⊥AP 于点 F,则 AF=PF=1/2 AP,AE=AP,∠EAP=∠APE=60°.因为 A(0,4),所以 OA=4.因为 P 是 OA 的中点,所以 AP=1/2 OA=2,即 AF=PF=1.所以 E 为定点,且 OF=3.因为△ABC 是等边三角形,所以 AB=AC,∠BAC=60°.所以∠EAP-∠BAO=∠BAC-∠BAO,即∠BAE=∠CAP.所以△ABE≌△ACP(SAS).所以 BE=CP.所以当 BE 的长取最小值时,PC 的长最小.显然当 BE⊥x 轴时,BE 的长最小.易得此时 BE=OF=3.则 PC 的长的最小值为 3.

10. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ ACB=90°$,点$B$在$x$轴负半轴上,点$C$在$y$轴负半轴上.若点$A$的纵坐标始终为4,求点$O$到直线$AB$的距离的最大值.

10. 如图,设纵坐标始终为 4 的点所在的直线为 l,直线 l 交 y 轴于点 E,则 E(0,4).取点 F(-4,0),则 OE=OF=4.连接 EF 交 AB 于点 G,连接 OG. 因为∠ACB=90°,所以∠ACE+∠BCO=90°.又∠BCO+∠CBO=90°,所以∠ACE=∠CBO.又∠AEC=∠COB=90°,AC=CB,所以△ACE≌△CBO(AAS).所以 AE=CO,CE=BO.所以 CE-OE=BO-OF,即 OC=BF.所以 AE=BF.因为 l//x 轴,所以∠EAG=∠FBG,∠AEG=∠BFG.所以△AEG≌△BFG(ASA).所以 EG=FG,即 G 为 EF 的中点.所以 G(-2,2),为定点,即无论点 A 在直线 l 上任意位置,AB 始终经过点 G.所以 OG=√((-2)²+2²)=√8.过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则 OD≤OG.当 AB⊥OG 时取等号,此时点 O 到直线 AB 的距离取最大值,且最大值为√8.