在航海领域,我们经常用距离和角度来确定点的位置,规定如下:在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线Ox,叫作极轴,再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向),对于平面内任意一点M,用p表示线段OM的长(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,p称为点M的极径,θ称为点M的极角,有序数对(p,θ)就叫作点M的极坐标,这样建立的坐标系称为极坐标系.通常情况下,点M的极径坐标的单位为1(单位长度),极角坐标的单位为°(或rad).例如:如图①,点M到点O的距离为5个单位长度,OM与Ox的夹角为70°(Ox的逆时针方向),则点M的极坐标为(5,70°);同理,点N到点O的距离为3个单位长度,ON与Ox的夹角为50°(Ox的顺时针方向),则点N的极坐标为(3,-50°).
【学习研究】
(1) 如图②,如果点N的极坐标为(6,30°),点N在x轴上方,那么ON=,∠xON=;
【类比迁移】
(2) 已知点A的极坐标为(4,30°).
① 若点B的极坐标为(3,210°),则A,B两点间的距离为,
② 若点B的极坐标为(n,90°),且AB=4,则n的值为,
③ 若点B的极坐标为(3,α)(-180°＜α＜180°),且AB=5,则α的值为;
【拓展应用】
(3) 如图③,A,B两点都在射线Ox上,A,B两点的极坐标分别记为(a,0°),(2a,0°),A,E,C三点在同一条直线上,且OE=BC.用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系,并证明.

(1) 6 30°
(2) ① 7 解析:如图①,因为点A的极坐标为(4,30°),点B的极坐标为(3,210°),所以OA=4,∠AOx=30°,OB=3,∠BOx=360°-210°=150°,即∠AOx+∠BOx=180°.所以A,O,B三点共线.所以AB=OA+OB=7.
② 4 解析:如图②,因为点A的极坐标为(4,30°),点B的极坐标为(n,90°),所以OA=4,∠AOx=30°,OB=n,∠BOx=90°,即∠AOB=∠BOx-∠AOx=60°.因为AB=4,所以AB=OA,即△AOB是等边三角形.所以OB=AB=4,即n=4.
③ 120°或-60° 解析:如图③,因为点A的极坐标为(4,30°),点B的极坐标为(3,α),所以OA=4,∠AOx=30°,OB=3,∠BOx=α.因为AB=5,所以OB²+OA²=25=AB²,即△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°.所以分类讨论如下:① 当点B与点A在Ox同侧时,α=∠BOx=∠AOB+∠AOx=120°;② 当点B₁与点A在Ox异侧时,α=-∠B₁Ox=-(∠AOB₁-∠AOx)=-60°.综上,α的值为120°或-60°.
(3) ∠OEA=∠ACB.证明如下:如图④,过点O作BC的平行线,交CA的延长线于点F.所以∠ACB=∠F.因为A,B两点的极坐标分别记为(a,0°),(2a,0°),所以OB=2OA,即OA=AB.又∠OAF=∠BAC,所以△AOF≌△ABC(AAS).所以OF=BC.又OE=BC,所以OE=OF.所以∠F=∠OEA.所以∠OEA=∠ACB.