登录
5. 有一种重心在支点处的杠杆,它与转轴的摩擦较小,因此机械效率较高.若用这种杠杆将质量 72 kg 的物体匀速提升 60 cm 用了 20 s,此时杠杆的机械效率为90%(g 取 10 N/kg),求:
(1)提升该物体所做的有用功;
(2)动力 F 做的总功;
(3)动力 F 做功的功率.
(1)提升该物体所做的有用功;
(2)动力 F 做的总功;
(3)动力 F 做功的功率.
答案
(1)$432\ \mathrm{J}$ (2)$480\ \mathrm{J}$ (3)$24\ \mathrm{W}$
[解析](1)有用功为克服物体重力所做的功,物体被提升高度$h=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$,则提升该物体所做的有用功为$W_{\mathrm{有用}}=Gh=mgh=72\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=432\ \mathrm{J}$.(2)已知此时杠杆的机械效率为90%,根据$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$可得动力$F$做的总功为$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{432\ \mathrm{J}}{90\%}=480\ \mathrm{J}$.(3)根据$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}$可得动力$F$做功的功率为$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\dfrac{480\ \mathrm{J}}{20\ \mathrm{s}}=24\ \mathrm{W}$.
[解析](1)有用功为克服物体重力所做的功,物体被提升高度$h=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$,则提升该物体所做的有用功为$W_{\mathrm{有用}}=Gh=mgh=72\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×0.6\ \mathrm{m}=432\ \mathrm{J}$.(2)已知此时杠杆的机械效率为90%,根据$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$可得动力$F$做的总功为$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{432\ \mathrm{J}}{90\%}=480\ \mathrm{J}$.(3)根据$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}$可得动力$F$做功的功率为$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\dfrac{480\ \mathrm{J}}{20\ \mathrm{s}}=24\ \mathrm{W}$.
6. 传统文化 《天工开物》中碓的工作原理 （2025·南京玄武区期中）如图甲所示是《天工开物》中记载用于捣谷的碓，其工作原理图如图乙所示，$AOB$ 为碓杆，$O$ 为支点，$A$ 处连接着碓头，脚踏碓杆的 $B$处可使碓头升高，抬起脚，碓头会落下去击打稻谷，若碓头的重力为$100\ \mathrm{N}$，每踩一次碓头上升的高度为$60\ \mathrm{cm}$，$AO$ 长 $1.5\ \mathrm{m}$，$OB$ 长$0.3\ \mathrm{m}$。
(1)若不计碓杆的重力和摩擦，脚至少用多大的力才可以将碓头抬起？
(2)每踩一次对碓头做的功是多少？
(3)若将$B$踩下20次，碓的机械效率为$60\%$，则人做功是多大？
(1)若不计碓杆的重力和摩擦，脚至少用多大的力才可以将碓头抬起？
(2)每踩一次对碓头做的功是多少？
(3)若将$B$踩下20次，碓的机械效率为$60\%$，则人做功是多大？
答案
(1)$500\ \mathrm{N}$ (2)$60\ \mathrm{J}$ (3)$2\ 000\ \mathrm{J}$
[解析](1)碓头的重力为$G=100\ \mathrm{N}$,根据杠杆平衡条件,有$G×l_{AO}=F×l_{OB}$,$F=\dfrac{G×l_{AO}}{l_{OB}}=\dfrac{100\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}}=500\ \mathrm{N}$.(2)每踩一次碓头上升的高度为$h=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$,每踩一次对碓头做的功为$W=Gh=100\ \mathrm{N}×0.6\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{J}$.(3)踩20次的有用功为$W_{\mathrm{有用}}=20W=1\ 200\ \mathrm{J}$,机械效率为$\eta=60\%$,人做功为$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{1\ 200\ \mathrm{J}}{60\%}=2\ 000\ \mathrm{J}$.
[解析](1)碓头的重力为$G=100\ \mathrm{N}$,根据杠杆平衡条件,有$G×l_{AO}=F×l_{OB}$,$F=\dfrac{G×l_{AO}}{l_{OB}}=\dfrac{100\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}}=500\ \mathrm{N}$.(2)每踩一次碓头上升的高度为$h=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$,每踩一次对碓头做的功为$W=Gh=100\ \mathrm{N}×0.6\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{J}$.(3)踩20次的有用功为$W_{\mathrm{有用}}=20W=1\ 200\ \mathrm{J}$,机械效率为$\eta=60\%$,人做功为$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{1\ 200\ \mathrm{J}}{60\%}=2\ 000\ \mathrm{J}$.
7. 工人用斜面把重物搬运到汽车上，车厢底板高度为1.5 m，斜面长度为3 m，现用力F沿着斜面把$G = 1\ 800\ \mathrm{N}$的物体匀速拉到车上，共用时1 min. 若实际拉力为$F = 1\ 200\ \mathrm{N}$，求：
(1)工人师傅做的有用功；
(2)在此过程中拉力F的功率；
(3)此斜面的机械效率；
(4)重物在斜面上受到摩擦力.
(1)工人师傅做的有用功；
(2)在此过程中拉力F的功率；
(3)此斜面的机械效率；
(4)重物在斜面上受到摩擦力.
答案
(1)$2\ 700\ \mathrm{J}$ (2)$60\ \mathrm{W}$ (3)$75\%$ (4)$300\ \mathrm{N}$
[解析](1)工人师傅做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=1\ 800\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}=2\ 700\ \mathrm{J}$.(2)拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=Fs=1\ 200\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=3\ 600\ \mathrm{J}$,所用时间$t=1\ \mathrm{min}=60\ \mathrm{s}$,则拉力做功的功率$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\dfrac{3\ 600\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=60\ \mathrm{W}$.(3)斜面的机械效率$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{2\ 700\ \mathrm{J}}{3\ 600\ \mathrm{J}}×100\%=75\%$.(4)克服摩擦力做的额外功$W_{\mathrm{额外}}=W_{\mathrm{总}}-W_{\mathrm{有用}}=3\ 600\ \mathrm{J}-2\ 700\ \mathrm{J}=900\ \mathrm{J}$,由$W_{\mathrm{额外}}=fs$可得,重物在斜面上受到的摩擦力$f=\dfrac{W_{\mathrm{额外}}}{s}=\dfrac{900\ \mathrm{J}}{3\ \mathrm{m}}=300\ \mathrm{N}$.
[解析](1)工人师傅做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=1\ 800\ \mathrm{N}×1.5\ \mathrm{m}=2\ 700\ \mathrm{J}$.(2)拉力做的总功$W_{\mathrm{总}}=Fs=1\ 200\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=3\ 600\ \mathrm{J}$,所用时间$t=1\ \mathrm{min}=60\ \mathrm{s}$,则拉力做功的功率$P=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{t}=\dfrac{3\ 600\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=60\ \mathrm{W}$.(3)斜面的机械效率$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{2\ 700\ \mathrm{J}}{3\ 600\ \mathrm{J}}×100\%=75\%$.(4)克服摩擦力做的额外功$W_{\mathrm{额外}}=W_{\mathrm{总}}-W_{\mathrm{有用}}=3\ 600\ \mathrm{J}-2\ 700\ \mathrm{J}=900\ \mathrm{J}$,由$W_{\mathrm{额外}}=fs$可得,重物在斜面上受到的摩擦力$f=\dfrac{W_{\mathrm{额外}}}{s}=\dfrac{900\ \mathrm{J}}{3\ \mathrm{m}}=300\ \mathrm{N}$.
8. 传统文化 《墨经·经下》中斜面引重车的工作原理 （2025·宿迁宿豫区期中）斜面是一种简单机械，在我国战国时期，墨子所作的《墨经·经下》里记载了一种斜面引重车，如图所示，该车前轮矮小，后轮高大，前后轮之间装上木板，在后轮轮轴上系紧绳索，通过斜板高端的滑轮将绳索的另一端系在斜面上的重物上，只要轻推车子前进，就可以将重物拉到一定高度. 工人师傅想用该引重车将质量为200 kg的木箱从斜面的底端匀速拉到顶端，已知木箱沿斜面运动了6 m，升高了3 m，该装置的效率为80%(不计绳重、滑轮与轴之间的摩擦). ($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1)整个过程克服木箱重力做的功是多少？
(2)该斜面引重车对木箱的拉力是多少？
(3)若该装置使用的绳索最大可以提供2000 N的拉力，当达到最大拉力时效率为90%，则该装置最大可以牵引的物体质量是多少？
(1)整个过程克服木箱重力做的功是多少？
(2)该斜面引重车对木箱的拉力是多少？
(3)若该装置使用的绳索最大可以提供2000 N的拉力，当达到最大拉力时效率为90%，则该装置最大可以牵引的物体质量是多少？
答案
(1)$6\ 000\ \mathrm{J}$ (2)$1\ 250\ \mathrm{N}$ (3)$360\ \mathrm{kg}$
[解析](1)木箱重力$G=mg=200\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=2\ 000\ \mathrm{N}$,整个过程克服木箱重力做的功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=2\ 000\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=6\ 000\ \mathrm{J}$.(2)根据$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$得工人做的总功$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{6\ 000\ \mathrm{J}}{80\%}=7\ 500\ \mathrm{J}$,该斜面引重车对木箱的拉力是$F=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\dfrac{7\ 500\ \mathrm{J}}{6\ \mathrm{m}}=1\ 250\ \mathrm{N}$.(3)根据$\eta'=\dfrac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{m_{\mathrm{最大}}gh}{F_{\mathrm{最大}}s}×100\%=\dfrac{m_{\mathrm{最大}}×10\ \mathrm{N/kg}×3\ \mathrm{m}}{2\ 000\ \mathrm{N}×6\ \mathrm{m}}×100\%=90\%$,解得该装置最大可以牵引的物体质量为$m_{\mathrm{最大}}=360\ \mathrm{kg}$.
[解析](1)木箱重力$G=mg=200\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=2\ 000\ \mathrm{N}$,整个过程克服木箱重力做的功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=2\ 000\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=6\ 000\ \mathrm{J}$.(2)根据$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%$得工人做的总功$W_{\mathrm{总}}=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\dfrac{6\ 000\ \mathrm{J}}{80\%}=7\ 500\ \mathrm{J}$,该斜面引重车对木箱的拉力是$F=\dfrac{W_{\mathrm{总}}}{s}=\dfrac{7\ 500\ \mathrm{J}}{6\ \mathrm{m}}=1\ 250\ \mathrm{N}$.(3)根据$\eta'=\dfrac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{m_{\mathrm{最大}}gh}{F_{\mathrm{最大}}s}×100\%=\dfrac{m_{\mathrm{最大}}×10\ \mathrm{N/kg}×3\ \mathrm{m}}{2\ 000\ \mathrm{N}×6\ \mathrm{m}}×100\%=90\%$,解得该装置最大可以牵引的物体质量为$m_{\mathrm{最大}}=360\ \mathrm{kg}$.
