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1. 当$x=-1$时，二次根式$\sqrt{3-x}$的值是。.
答案
1. 2
解析
【分析】
本题考查二次根式的求值，解题思路如下：首先明确核心任务是已知自变量x的取值，求对应二次根式的值。第一步需要将x=-1代入二次根式的被开方数中，计算时注意去括号的符号规则；第二步算出被开方数的结果后，根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）求出二次根式的最终值即可。
【解析】
将$x=-1$代入二次根式$\sqrt{3-x}$中计算：
$\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的方法和二次根式的基本运算规则，解题时只要注意去括号的符号变化，准确计算被开方数，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的求值，解题思路如下：首先明确核心任务是已知自变量x的取值，求对应二次根式的值。第一步需要将x=-1代入二次根式的被开方数中，计算时注意去括号的符号规则；第二步算出被开方数的结果后，根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）求出二次根式的最终值即可。
【解析】
将$x=-1$代入二次根式$\sqrt{3-x}$中计算：
$\sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的方法和二次根式的基本运算规则，解题时只要注意去括号的符号变化，准确计算被开方数，就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
2. 化简：$\sqrt{8a^2b}(a＜0)=$
$-2a\sqrt{2b}$
.答案
2. $-2a\sqrt{2b}$
解析
【分析】
要化简该二次根式，首先利用二次根式的乘法性质，把被开方数拆分为完全平方因数、因式和剩余部分的乘积；再根据$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉根号，结合题目给出的$a＜0$的条件化简绝对值，最终整理得到最简结果。
【解析】
解：先拆分被开方数，将能开得尽方的部分分离出来：
$\sqrt{8a^2b}=\sqrt{4a^2· 2b}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$拆分得：
$=\sqrt{4}·\sqrt{a^2}·\sqrt{2b}$
计算得$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{a^2}=|a|$，代入得：
$=2|a|\sqrt{2b}$
已知$a＜0$，因此$|a|=-a$，代入化简得：
$=2×(-a)×\sqrt{2b}=-2a\sqrt{2b}$
【答案】
$-2a\sqrt{2b}$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的常规题型，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略$a＜0$的限制条件，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致符号错误，解题时要注意二次根式开方结果的非负性，结合字母的取值范围正确化简。
【难度系数】
0.7
要化简该二次根式，首先利用二次根式的乘法性质，把被开方数拆分为完全平方因数、因式和剩余部分的乘积；再根据$\sqrt{a^2}=|a|$的性质去掉根号，结合题目给出的$a＜0$的条件化简绝对值，最终整理得到最简结果。
【解析】
解：先拆分被开方数，将能开得尽方的部分分离出来：
$\sqrt{8a^2b}=\sqrt{4a^2· 2b}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$拆分得：
$=\sqrt{4}·\sqrt{a^2}·\sqrt{2b}$
计算得$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{a^2}=|a|$，代入得：
$=2|a|\sqrt{2b}$
已知$a＜0$，因此$|a|=-a$，代入化简得：
$=2×(-a)×\sqrt{2b}=-2a\sqrt{2b}$
【答案】
$-2a\sqrt{2b}$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的常规题型，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略$a＜0$的限制条件，直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$导致符号错误，解题时要注意二次根式开方结果的非负性，结合字母的取值范围正确化简。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD，CD的中点，若$□ ABCD$的面积为1，则$S_{△ BEF}=$
$\frac{3}{8}$
。答案
3. $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要求△BEF的面积，已知平行四边形ABCD的总面积，可采用割补法求解：用平行四边形的总面积减去周围3个小三角形△ABE、△BCF、△DEF的面积和即可。首先根据E、F是边的中点，结合平行四边形和三角形的面积公式，分别求出3个小三角形的面积，再作差就能得到△BEF的面积。
【解析】
已知平行四边形ABCD的面积为1。
1. 计算$S_{△ ABE}$：E是AD中点，$△ ABE$以AE为底时，高和平行四边形AD边上的高相等，且$AE=\frac{1}{2}AD$，
所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × h_{AD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AD × h_{AD} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4}$。
2. 计算$S_{△ BCF}$：同理，F是CD中点，
所以$S_{△ BCF}=\frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4}$。
3. 计算$S_{△ DEF}$：E是AD中点，F是CD中点，$DE=\frac{1}{2}AD$，$△ DEF$以DE为底时，高是平行四边形AD边上高的$\frac{1}{2}$，
所以$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × DE × \frac{1}{2}h_{AD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AD × \frac{1}{2}h_{AD} = \frac{1}{8} S_{□ ABCD} = \frac{1}{8}$。
4. 计算$S_{△ BEF}$：
$S_{△ BEF} = S_{□ ABCD} - S_{△ ABE} - S_{△ BCF} - S_{△ DEF} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
平行四边形面积计算，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题通过割补法将不易直接求解的三角形面积转化为面积和差问题，解题关键是理解平行四边形中线段中点与对应三角形面积的比例关系，能灵活运用面积公式进行推导计算。
【难度系数】
0.65
要求△BEF的面积，已知平行四边形ABCD的总面积，可采用割补法求解：用平行四边形的总面积减去周围3个小三角形△ABE、△BCF、△DEF的面积和即可。首先根据E、F是边的中点，结合平行四边形和三角形的面积公式，分别求出3个小三角形的面积，再作差就能得到△BEF的面积。
【解析】
已知平行四边形ABCD的面积为1。
1. 计算$S_{△ ABE}$：E是AD中点，$△ ABE$以AE为底时，高和平行四边形AD边上的高相等，且$AE=\frac{1}{2}AD$，
所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × h_{AD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AD × h_{AD} = \frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4}$。
2. 计算$S_{△ BCF}$：同理，F是CD中点，
所以$S_{△ BCF}=\frac{1}{4} S_{□ ABCD} = \frac{1}{4}$。
3. 计算$S_{△ DEF}$：E是AD中点，F是CD中点，$DE=\frac{1}{2}AD$，$△ DEF$以DE为底时，高是平行四边形AD边上高的$\frac{1}{2}$，
所以$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × DE × \frac{1}{2}h_{AD} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AD × \frac{1}{2}h_{AD} = \frac{1}{8} S_{□ ABCD} = \frac{1}{8}$。
4. 计算$S_{△ BEF}$：
$S_{△ BEF} = S_{□ ABCD} - S_{△ ABE} - S_{△ BCF} - S_{△ DEF} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
平行四边形面积计算，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题通过割补法将不易直接求解的三角形面积转化为面积和差问题，解题关键是理解平行四边形中线段中点与对应三角形面积的比例关系，能灵活运用面积公式进行推导计算。
【难度系数】
0.65
4. 当$a=2-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$时，代数式$a^2 + b^2 -4a +2010$的值为
2011
。答案
4. 2011
解析
【分析】
观察代数式中含有$a^2-4a$的结构，可先利用完全平方公式对含$a$的项进行配方，将代数式化简后再代入$a$、$b$的值计算，能避免直接代入带来的复杂运算，降低计算出错的概率。具体步骤为：先将$a^2-4a$凑成完全平方式，整理代数式得到最简形式，再代入$a$、$b$的取值利用二次根式的平方性质计算结果。
【解析】
解：先对代数式进行变形化简：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 -4a +2010&=(a^2-4a+4)+b^2+2010-4\\&=(a-2)^2 + b^2 + 2006\end{aligned}$
将$a=2-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$代入化简后的式子：
$a-2=(2-\sqrt{3})-2=-\sqrt{3}$，故$(a-2)^2=(-\sqrt{3})^2=3$；
$b^2=(\sqrt{2})^2=2$；
因此原式$=3+2+2006=2011$。
【答案】
2011
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值；二次根式的性质
【点评】
本题考查代数式求值的技巧，通过配方先化简再代值的方法，远比对$a$直接平方代入计算更简便，能有效减少计算量，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用，提升代数式化简的能力。
【难度系数】
0.7
观察代数式中含有$a^2-4a$的结构，可先利用完全平方公式对含$a$的项进行配方，将代数式化简后再代入$a$、$b$的值计算，能避免直接代入带来的复杂运算，降低计算出错的概率。具体步骤为：先将$a^2-4a$凑成完全平方式，整理代数式得到最简形式，再代入$a$、$b$的取值利用二次根式的平方性质计算结果。
【解析】
解：先对代数式进行变形化简：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 -4a +2010&=(a^2-4a+4)+b^2+2010-4\\&=(a-2)^2 + b^2 + 2006\end{aligned}$
将$a=2-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$代入化简后的式子：
$a-2=(2-\sqrt{3})-2=-\sqrt{3}$，故$(a-2)^2=(-\sqrt{3})^2=3$；
$b^2=(\sqrt{2})^2=2$；
因此原式$=3+2+2006=2011$。
【答案】
2011
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值；二次根式的性质
【点评】
本题考查代数式求值的技巧，通过配方先化简再代值的方法，远比对$a$直接平方代入计算更简便，能有效减少计算量，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用，提升代数式化简的能力。
【难度系数】
0.7
5. 在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是
$2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$
。答案
5. $2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题需要结合补形法、直角三角形斜边中点的性质和勾股定理求解，注意存在两种情况，避免漏解：1. 原直角三角形的直角顶点与直角梯形的左下角直角顶点重合，此时梯形右上角顶点为原直角三角形的斜边中点；2. 原直角三角形的直角顶点与直角梯形的右下角直角顶点重合，此时梯形左上角顶点为原直角三角形的斜边中点。先根据中点性质求出原直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长即可。
【解析】
给直角梯形各顶点赋值坐标：设左下角为$C_1(0,0)$，右下角为$C_2(3,0)$，右上角为$D(3,3)$，左上角为$E(0,2)$。
情况1：原直角三角形直角顶点与$C_1(0,0)$重合
原直角三角形两条直角边分别在x轴、y轴正方向，斜边中点为$D(3,3)$。
根据直角三角形斜边中点的坐标性质：若直角顶点在原点，斜边两端点坐标为$(a,0)$、$(0,b)$，则中点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，可得：
$\frac{a}{2}=3$，$\frac{b}{2}=3$，解得$a=6$，$b=6$，即两条直角边长均为6。
由勾股定理得斜边长：$\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
情况2：原直角三角形直角顶点与$C_2(3,0)$重合
原直角三角形两条直角边分别在x轴负方向、直线$x=3$的正方向，斜边中点为$E(0,2)$。
设斜边两端点为$(p,0)$（在x轴上）、$(3,q)$（在直线$x=3$上），则中点$E$的坐标为$(\frac{p+3}{2},\frac{q}{2})$，可得：
$\frac{p+3}{2}=0$，$\frac{q}{2}=2$，解得$p=-3$，$q=4$。
则两条直角边长分别为$3-(-3)=6$，$4-0=4$。
由勾股定理得斜边长：$\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
综上，原直角三角形纸片的斜边长为$2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中点性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略两种补形的情况造成漏解，解题关键是结合题意还原原直角三角形，利用中点性质准确求出直角边长度，再用勾股定理计算斜边。
【难度系数】
0.6
本题需要结合补形法、直角三角形斜边中点的性质和勾股定理求解，注意存在两种情况，避免漏解：1. 原直角三角形的直角顶点与直角梯形的左下角直角顶点重合，此时梯形右上角顶点为原直角三角形的斜边中点；2. 原直角三角形的直角顶点与直角梯形的右下角直角顶点重合，此时梯形左上角顶点为原直角三角形的斜边中点。先根据中点性质求出原直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理计算斜边长即可。
【解析】
给直角梯形各顶点赋值坐标：设左下角为$C_1(0,0)$，右下角为$C_2(3,0)$，右上角为$D(3,3)$，左上角为$E(0,2)$。
情况1：原直角三角形直角顶点与$C_1(0,0)$重合
原直角三角形两条直角边分别在x轴、y轴正方向，斜边中点为$D(3,3)$。
根据直角三角形斜边中点的坐标性质：若直角顶点在原点，斜边两端点坐标为$(a,0)$、$(0,b)$，则中点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$，可得：
$\frac{a}{2}=3$，$\frac{b}{2}=3$，解得$a=6$，$b=6$，即两条直角边长均为6。
由勾股定理得斜边长：$\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
情况2：原直角三角形直角顶点与$C_2(3,0)$重合
原直角三角形两条直角边分别在x轴负方向、直线$x=3$的正方向，斜边中点为$E(0,2)$。
设斜边两端点为$(p,0)$（在x轴上）、$(3,q)$（在直线$x=3$上），则中点$E$的坐标为$(\frac{p+3}{2},\frac{q}{2})$，可得：
$\frac{p+3}{2}=0$，$\frac{q}{2}=2$，解得$p=-3$，$q=4$。
则两条直角边长分别为$3-(-3)=6$，$4-0=4$。
由勾股定理得斜边长：$\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
综上，原直角三角形纸片的斜边长为$2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$或$6\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中点性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略两种补形的情况造成漏解，解题关键是结合题意还原原直角三角形，利用中点性质准确求出直角边长度，再用勾股定理计算斜边。
【难度系数】
0.6
6. 有一个数值转换器:当输入的x为64时,输出的y=
$2\sqrt{2}$
.答案
6. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要读懂数值转换器的运行规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若得到的结果是有理数，就将这个结果作为新的输入值再次计算算术平方根，直到得到的算术平方根是无理数时，就输出该结果，按照这个规则逐步计算即可。
【解析】
第一步：当输入x=64时，先计算64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，因此需要将8作为新的输入值重新计算。
第二步：输入x=8，计算8的算术平方根：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的$y=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查基础运算，解题的核心是准确理解流程图的循环运算规则，避免只计算一次算术平方根就直接输出结果的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂数值转换器的运行规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若得到的结果是有理数，就将这个结果作为新的输入值再次计算算术平方根，直到得到的算术平方根是无理数时，就输出该结果，按照这个规则逐步计算即可。
【解析】
第一步：当输入x=64时，先计算64的算术平方根：$\sqrt{64}=8$，8是有理数，因此需要将8作为新的输入值重新计算。
第二步：输入x=8，计算8的算术平方根：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件。
因此输出的$y=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查基础运算，解题的核心是准确理解流程图的循环运算规则，避免只计算一次算术平方根就直接输出结果的错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿EF折叠，使得点C与点A重合，则AF长为
$\frac{25}{4}$
cm.答案
7. $\frac{25}{4}$
解析
【分析】
遇到矩形折叠求线段长度的问题，首先利用折叠的性质得到折叠前后对应边相等、对应角相等。本题中折叠后点C与点A重合，可得AD'=CD，D'F=DF，∠D'为直角。要求AF的长，可设AF为未知数，用含未知数的式子表示出D'F的长度，再在Rt△AD'F中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=6\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，
∵沿EF折叠后点C与点A重合，
∴$AD'=CD=6\ \mathrm{cm}$，$D'F=DF$，$∠ D'=∠ D=90°$，
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，则$DF=AD-AF=(8-x)\ \mathrm{cm}$，即$D'F=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ AD'F$中，由勾股定理得：$AD'^2+D'F^2=AF^2$，
代入数值：$6^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$，
整理得：$16x=100$，
解得：$x=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题关键是通过折叠性质转化相等的线段，将未知线段和已知线段集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到矩形折叠求线段长度的问题，首先利用折叠的性质得到折叠前后对应边相等、对应角相等。本题中折叠后点C与点A重合，可得AD'=CD，D'F=DF，∠D'为直角。要求AF的长，可设AF为未知数，用含未知数的式子表示出D'F的长度，再在Rt△AD'F中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=CD=6\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，
∵沿EF折叠后点C与点A重合，
∴$AD'=CD=6\ \mathrm{cm}$，$D'F=DF$，$∠ D'=∠ D=90°$，
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，则$DF=AD-AF=(8-x)\ \mathrm{cm}$，即$D'F=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ AD'F$中，由勾股定理得：$AD'^2+D'F^2=AF^2$，
代入数值：$6^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$，
整理得：$16x=100$，
解得：$x=\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题关键是通过折叠性质转化相等的线段，将未知线段和已知线段集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为
12
.答案
8. 12
解析
【分析】
看到四边形各边中点，首先想到运用三角形中位线定理分析中点四边形的形状：首先利用中位线性质证明四边形EFGH是平行四边形，再结合已知AC⊥BD的条件，推导平行四边形有一个内角为直角，确定它是矩形，最后计算矩形的邻边长度，相乘即可得到面积。
【解析】
解：
∵点E、F分别为边AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD，EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×6=3$。
同理可得，HG是△BCD的中位线，HG//BD，HG=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵点E、H分别为边AD、CD的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH//AC，EH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵AC⊥BD，EF//BD，EH//AC，
∴EF⊥EH，即∠HEF=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形。
∴四边形EFGH的面积=EF×EH=3×4=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定；矩形的面积计算
【点评】
本题属于中点四边形的典型考题，解题的核心是熟练运用三角形中位线定理判断中点四边形的形状，再结合已知的垂直条件确定其为矩形后计算面积，解题思路清晰，是对四边形相关性质的基础综合考查。
【难度系数】
0.7
看到四边形各边中点，首先想到运用三角形中位线定理分析中点四边形的形状：首先利用中位线性质证明四边形EFGH是平行四边形，再结合已知AC⊥BD的条件，推导平行四边形有一个内角为直角，确定它是矩形，最后计算矩形的邻边长度，相乘即可得到面积。
【解析】
解：
∵点E、F分别为边AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF//BD，EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×6=3$。
同理可得，HG是△BCD的中位线，HG//BD，HG=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵点E、H分别为边AD、CD的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
∴EH//AC，EH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵AC⊥BD，EF//BD，EH//AC，
∴EF⊥EH，即∠HEF=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形。
∴四边形EFGH的面积=EF×EH=3×4=12。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理；矩形的判定；矩形的面积计算
【点评】
本题属于中点四边形的典型考题，解题的核心是熟练运用三角形中位线定理判断中点四边形的形状，再结合已知的垂直条件确定其为矩形后计算面积，解题思路清晰，是对四边形相关性质的基础综合考查。
【难度系数】
0.7
9.一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程$x^2 -8x +15=0$的一个根，则这个三角形的形状为
等腰三角形或直角三角形
，面积为$2\sqrt{5}$或6
。答案
9. 等腰三角形或直角三角形，面积为$2\sqrt{5}$或6
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），判断求出的根是否能构成三角形，本题两个根均符合要求，因此需要分情况讨论；③针对每种情况，先判断三角形的形状，再选择对应的方法计算面积。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，两个值均为正数，接下来分别讨论：
情况1：第三边长为3时，三角形三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，可构成三角形。
因有两边长度相等，该三角形为等腰三角形。
过顶点作底边（长度为4）上的高，根据等腰三角形三线合一，底边被高分为长度为2的两段，由勾股定理得高$h=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
情况2：第三边长为5时，三角形三边长为3、4、5，满足$3+4＞5$，可构成三角形。
验证三边平方关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，两条直角边为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
等腰三角形或直角三角形，面积为$2\sqrt{5}$或6
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题时需要注意解出方程的根后，要先验证是否满足三角形三边关系，再分情况计算，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：①先求解一元二次方程，得到第三边的可能取值；②根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），判断求出的根是否能构成三角形，本题两个根均符合要求，因此需要分情况讨论；③针对每种情况，先判断三角形的形状，再选择对应的方法计算面积。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，两个值均为正数，接下来分别讨论：
情况1：第三边长为3时，三角形三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，可构成三角形。
因有两边长度相等，该三角形为等腰三角形。
过顶点作底边（长度为4）上的高，根据等腰三角形三线合一，底边被高分为长度为2的两段，由勾股定理得高$h=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2} × 4 × \sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
情况2：第三边长为5时，三角形三边长为3、4、5，满足$3+4＞5$，可构成三角形。
验证三边平方关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，两条直角边为3和4，
面积$S=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$。
【答案】
等腰三角形或直角三角形，面积为$2\sqrt{5}$或6
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题时需要注意解出方程的根后，要先验证是否满足三角形三边关系，再分情况计算，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
10.某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动。
10名选手投中篮筐的个数分别为6,9,9,10,9,8,7,7,6,10,则这组数据的众数是
10名选手投中篮筐的个数分别为6,9,9,10,9,8,7,7,6,10,则这组数据的众数是
9
。答案
10. 9
解析
【分析】
要确定这组数据的众数，首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时先统计每个数据在这组数据中出现的次数，再找出出现次数最多的数据即可得到众数。
【解析】
首先统计每个数据出现的次数：
数据6出现2次，数据7出现2次，数据8出现1次，数据9出现3次，数据10出现2次。
对比可知，数据9出现的次数最多，因此这组数据的众数是9。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对众数概念的掌握，解题时只需准确统计各数据的出现次数即可快速得出答案，注意区分众数与中位数、平均数的概念，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
要确定这组数据的众数，首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据。解题时先统计每个数据在这组数据中出现的次数，再找出出现次数最多的数据即可得到众数。
【解析】
首先统计每个数据出现的次数：
数据6出现2次，数据7出现2次，数据8出现1次，数据9出现3次，数据10出现2次。
对比可知，数据9出现的次数最多，因此这组数据的众数是9。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对众数概念的掌握，解题时只需准确统计各数据的出现次数即可快速得出答案，注意区分众数与中位数、平均数的概念，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
11. 当$x=-3$时，二次根式$\sqrt{x+19}$的值为（
A.4
B.-4
C.±4
D.±16
A
）A.4
B.-4
C.±4
D.±16
答案
11. A
解析
【分析】
解题思路清晰可分为两步：第一步将已知的x取值代入二次根式的被开方部分，计算出被开方数的结果；第二步结合二次根式的定义，明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是a的算术平方根，结果为非负数，最后对应选项选出正确答案，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免错选带正负的选项。
【解析】
将$x=-3$代入二次根式$\sqrt{x+19}$中：
1. 计算被开方数：$x+19=-3+19=16$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，二次根式的结果为非负数，因此不存在负的结果。
综上，该二次根式的值为4。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；二次根式的非负性；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的求值，解题核心是明确根号代表算术平方根，结果仅为非负数，只要掌握算术平方根的性质就能快速得分。
【难度系数】
0.9
解题思路清晰可分为两步：第一步将已知的x取值代入二次根式的被开方部分，计算出被开方数的结果；第二步结合二次根式的定义，明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是a的算术平方根，结果为非负数，最后对应选项选出正确答案，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免错选带正负的选项。
【解析】
将$x=-3$代入二次根式$\sqrt{x+19}$中：
1. 计算被开方数：$x+19=-3+19=16$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，二次根式的结果为非负数，因此不存在负的结果。
综上，该二次根式的值为4。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；二次根式的非负性；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的求值，解题核心是明确根号代表算术平方根，结果仅为非负数，只要掌握算术平方根的性质就能快速得分。
【难度系数】
0.9
12. 如果$\sqrt{a} · \sqrt{a-4} = \sqrt{a(a-4)}$，则（
A.$a ≥ 4$
B.$a ≥ 0$
C.$0 ≤ a ≤ 4$
D.$a$为一切实数
A
）A.$a ≥ 4$
B.$a ≥ 0$
C.$0 ≤ a ≤ 4$
D.$a$为一切实数
答案
12. A
解析
【分析】
本题考查二次根式乘法公式的成立条件，解题思路如下：首先明确等式$\sqrt{x}·\sqrt{y}=\sqrt{xy}$成立的前提是两个二次根式都有意义，即被开方数$x≥0$且$y≥0$，只需据此列出关于$a$的不等式组，求解不等式组的公共解集即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。
要使$\sqrt{a} · \sqrt{a-4} = \sqrt{a(a-4)}$成立，需满足等式左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}a≥0 \\a-4≥0\end{cases}$
解不等式$a-4≥0$得$a≥4$，
两个不等式的公共解集为$a≥4$，因此$a$的取值范围是$a≥4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础考点，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式的被开方数都需要单独满足非负要求，牢记二次根式乘法法则的适用前提即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式乘法公式的成立条件，解题思路如下：首先明确等式$\sqrt{x}·\sqrt{y}=\sqrt{xy}$成立的前提是两个二次根式都有意义，即被开方数$x≥0$且$y≥0$，只需据此列出关于$a$的不等式组，求解不等式组的公共解集即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。
要使$\sqrt{a} · \sqrt{a-4} = \sqrt{a(a-4)}$成立，需满足等式左侧两个二次根式均有意义，因此列不等式组：
$\begin{cases}a≥0 \\a-4≥0\end{cases}$
解不等式$a-4≥0$得$a≥4$，
两个不等式的公共解集为$a≥4$，因此$a$的取值范围是$a≥4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础考点，易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，忽略左侧每个二次根式的被开方数都需要单独满足非负要求，牢记二次根式乘法法则的适用前提即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13. 下列判断正确的是（
A.$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$
B.$2＜\sqrt{2}+\sqrt{3}＜3$
C.$1＜\sqrt{5}-\sqrt{3}＜2$
D.$4＜\sqrt{3}·\sqrt{5}＜5$
A
）A.$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$
B.$2＜\sqrt{2}+\sqrt{3}＜3$
C.$1＜\sqrt{5}-\sqrt{3}＜2$
D.$4＜\sqrt{3}·\sqrt{5}＜5$
答案
13. A
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，解题思路为：可先记住$\sqrt{2}≈1.414$、$\sqrt{3}≈1.732$、$\sqrt{5}≈2.236$这几个常见无理数的近似值，或者利用“正数比较大小时，平方越大原数越大”的性质，把无理数比较转化为有理数比较，再对四个选项逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们可以通过估算常见无理数近似值的方法逐一判断：
已知$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{3}≈1.732$，$\sqrt{5}≈2.236$。
选项A：$\frac{3}{2}=1.5$，可得$1.5＜1.732＜2$，即$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$，该选项判断正确；
选项B：$\sqrt{2}+\sqrt{3}≈1.414+1.732≈3.146＞3$，不满足小于3的条件，该选项错误；
选项C：$\sqrt{5}-\sqrt{3}≈2.236-1.732≈0.504＜1$，不满足大于1的条件，该选项错误；
选项D：$\sqrt{3}·\sqrt{5}=\sqrt{15}≈3.872＜4$，不满足大于4的条件，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
（也可通过平方比较法验证：正数比较大小，平方越大原数越大，A选项各数平方得$\frac{9}{4}=2.25$、$3$、$4$，$2.25＜3＜4$，故$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$，结论一致。）
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较，无理数估算，二次根式运算
【点评】
本题属于实数相关的基础题型，解题的核心是掌握无理数的估算方法，或者将无理数大小比较转化为有理数比较的技巧，做题时逐一排查选项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的大小比较，解题思路为：可先记住$\sqrt{2}≈1.414$、$\sqrt{3}≈1.732$、$\sqrt{5}≈2.236$这几个常见无理数的近似值，或者利用“正数比较大小时，平方越大原数越大”的性质，把无理数比较转化为有理数比较，再对四个选项逐一验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们可以通过估算常见无理数近似值的方法逐一判断：
已知$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{3}≈1.732$，$\sqrt{5}≈2.236$。
选项A：$\frac{3}{2}=1.5$，可得$1.5＜1.732＜2$，即$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$，该选项判断正确；
选项B：$\sqrt{2}+\sqrt{3}≈1.414+1.732≈3.146＞3$，不满足小于3的条件，该选项错误；
选项C：$\sqrt{5}-\sqrt{3}≈2.236-1.732≈0.504＜1$，不满足大于1的条件，该选项错误；
选项D：$\sqrt{3}·\sqrt{5}=\sqrt{15}≈3.872＜4$，不满足大于4的条件，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
（也可通过平方比较法验证：正数比较大小，平方越大原数越大，A选项各数平方得$\frac{9}{4}=2.25$、$3$、$4$，$2.25＜3＜4$，故$\frac{3}{2}＜\sqrt{3}＜2$，结论一致。）
【答案】
A
【知识点】
实数大小比较，无理数估算，二次根式运算
【点评】
本题属于实数相关的基础题型，解题的核心是掌握无理数的估算方法，或者将无理数大小比较转化为有理数比较的技巧，做题时逐一排查选项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
14. 若$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≥\frac{1}{2}$
B.$x≥-\frac{1}{2}$
C.$x＞\frac{1}{2}$
D.$x≠\frac{1}{2}$
C
）A.$x≥\frac{1}{2}$
B.$x≥-\frac{1}{2}$
C.$x＞\frac{1}{2}$
D.$x≠\frac{1}{2}$
答案
14. C
解析
【分析】
要确定该代数式在实数范围内有意义时x的取值范围，需先明确代数式的限制条件：式子既包含二次根式，又处于分母的位置，因此要同时满足两个要求：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分母不能为0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再合并求解就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x-1≥0$；
2. 分母不为0：$\sqrt{2x-1}≠0$，即$2x-1≠0$。
将两个条件合并可得：$2x-1＞0$，
解不等式：移项得$2x＞1$，系数化为1得$x＞\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查代数式有意义的取值范围求解，易错点是容易忽略分母不能为0的限制，误将条件判断为$2x-1≥0$而错选A，解题时需注意梳理全所有限制条件后再求解。
【难度系数】
0.7
要确定该代数式在实数范围内有意义时x的取值范围，需先明确代数式的限制条件：式子既包含二次根式，又处于分母的位置，因此要同时满足两个要求：①二次根式的被开方数必须是非负数；②分母不能为0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再合并求解就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x-1≥0$；
2. 分母不为0：$\sqrt{2x-1}≠0$，即$2x-1≠0$。
将两个条件合并可得：$2x-1＞0$，
解不等式：移项得$2x＞1$，系数化为1得$x＞\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查代数式有意义的取值范围求解，易错点是容易忽略分母不能为0的限制，误将条件判断为$2x-1≥0$而错选A，解题时需注意梳理全所有限制条件后再求解。
【难度系数】
0.7
15. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如表：
关于以上数据，下列说法错误的是 （
A.甲命中环数的中位数是8环
B.乙命中环数的众数是9环
C.甲的平均数和乙的平均数相等
D.甲的方差小于乙的方差
关于以上数据，下列说法错误的是 （B
）A.甲命中环数的中位数是8环
B.乙命中环数的众数是9环
C.甲的平均数和乙的平均数相等
D.甲的方差小于乙的方差
答案
15. B
解析
【分析】
本题是对统计中中位数、众数、平均数、方差四个统计量的判断类题目，解题思路是先分别整理出甲、乙两人的射击成绩，再逐一按照各统计量的定义计算对应数值，和选项描述对比，找出错误的选项即可。
【解析】
首先整理两人的射击成绩：
甲5次成绩（从小到大排序）：7，8，8，8，9
乙5次成绩（从小到大排序）：6，6，9，9，10
逐项分析：
A选项：中位数是排序后中间位置的数，甲成绩共5个，第3个为8，即甲的中位数是8环，A说法正确，不符合题意；
B选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，乙的成绩中6和9都出现2次，次数最多，即乙的众数是6环和9环，不是只有9环，B说法错误，符合题意；
C选项：计算平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{7×1 + 8×3 + 9×1}{5}=\frac{40}{5}=8$（环）
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{6×2 + 9×2 + 10×1}{5}=\frac{40}{5}=8$（环）
两者平均数相等，C说法正确，不符合题意；
D选项：计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{(7-8)^2 + 3×(8-8)^2 + (9-8)^2}{5}=\frac{1+0+1}{5}=0.4$
乙的方差$s^2_乙=\frac{2×(6-8)^2 + 2×(9-8)^2 + (10-8)^2}{5}=\frac{8+2+4}{5}=2.8$
$0.4＜2.8$，即甲的方差小于乙的方差，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
中位数；众数；平均数与方差
【点评】
本题考查常见统计量的计算与判断，解题关键是牢记各统计量的定义，计算过程仔细即可避免出错，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
本题是对统计中中位数、众数、平均数、方差四个统计量的判断类题目，解题思路是先分别整理出甲、乙两人的射击成绩，再逐一按照各统计量的定义计算对应数值，和选项描述对比，找出错误的选项即可。
【解析】
首先整理两人的射击成绩：
甲5次成绩（从小到大排序）：7，8，8，8，9
乙5次成绩（从小到大排序）：6，6，9，9，10
逐项分析：
A选项：中位数是排序后中间位置的数，甲成绩共5个，第3个为8，即甲的中位数是8环，A说法正确，不符合题意；
B选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，乙的成绩中6和9都出现2次，次数最多，即乙的众数是6环和9环，不是只有9环，B说法错误，符合题意；
C选项：计算平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{7×1 + 8×3 + 9×1}{5}=\frac{40}{5}=8$（环）
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{6×2 + 9×2 + 10×1}{5}=\frac{40}{5}=8$（环）
两者平均数相等，C说法正确，不符合题意；
D选项：计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{(7-8)^2 + 3×(8-8)^2 + (9-8)^2}{5}=\frac{1+0+1}{5}=0.4$
乙的方差$s^2_乙=\frac{2×(6-8)^2 + 2×(9-8)^2 + (10-8)^2}{5}=\frac{8+2+4}{5}=2.8$
$0.4＜2.8$，即甲的方差小于乙的方差，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
中位数；众数；平均数与方差
【点评】
本题考查常见统计量的计算与判断，解题关键是牢记各统计量的定义，计算过程仔细即可避免出错，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
