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11. 分解因式：$x^2 - xy =$
$x(x-y)$
。答案
11. $x(x-y)$
解析
【分析】
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题是二项式，先判断是否存在公因式：$x^2$可拆分为$x· x$，$-xy$可拆分为$x·(-y)$，可见两项的公因式为$x$。接下来按照提公因式法的规则，把公因式$x$提取出来，剩余部分组合成括号内的因式，最后检查剩余部分是否还能分解，此处$x-y$无公因式也不符合公式分解条件，已分解彻底，即可得到结果。
【解析】
解：观察多项式$x^2-xy$，两项的公因式为$x$，提取公因式$x$可得：
$x^2-xy=x· x - x· y = x(x-y)$
【答案】
$x(x-y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证是否分解彻底，属于因式分解板块的入门考查题型。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目首先观察多项式结构，本题是二项式，先判断是否存在公因式：$x^2$可拆分为$x· x$，$-xy$可拆分为$x·(-y)$，可见两项的公因式为$x$。接下来按照提公因式法的规则，把公因式$x$提取出来，剩余部分组合成括号内的因式，最后检查剩余部分是否还能分解，此处$x-y$无公因式也不符合公式分解条件，已分解彻底，即可得到结果。
【解析】
解：观察多项式$x^2-xy$，两项的公因式为$x$，提取公因式$x$可得：
$x^2-xy=x· x - x· y = x(x-y)$
【答案】
$x(x-y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证是否分解彻底，属于因式分解板块的入门考查题型。
【难度系数】
0.9
12. 分解因式：$xy^2 -16x =$
$x(y+4)(y-4)$
。答案
12. $x(y+4)(y-4)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路，首先观察多项式的两项都含有公因式$x$，第一步先提取公因式，再观察提取公因式后剩余的$y^2-16$，符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认每个因式都无法再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式$x$，可得：
$xy^2 -16x = x(y^2 - 16)$
第二步：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=y$，$b=4$，对$y^2-16$继续分解：
$y^2-16=y^2-4^2=(y+4)(y-4)$
第三步：整理得到最终分解结果。
【答案】
$x(y+4)(y-4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，牢记分解顺序、熟练掌握平方差公式的形式即可快速解答，注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
分解因式遵循“一提二套三查”的思路，首先观察多项式的两项都含有公因式$x$，第一步先提取公因式，再观察提取公因式后剩余的$y^2-16$，符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认每个因式都无法再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式$x$，可得：
$xy^2 -16x = x(y^2 - 16)$
第二步：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=y$，$b=4$，对$y^2-16$继续分解：
$y^2-16=y^2-4^2=(y+4)(y-4)$
第三步：整理得到最终分解结果。
【答案】
$x(y+4)(y-4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，牢记分解顺序、熟练掌握平方差公式的形式即可快速解答，注意要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
13. 若多项式$x^2 + kx + 9$可以用完全平方公式进行因式分解，则$k=$
$\pm6$
。答案
13. $\pm6$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方与差的平方两种，即$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。观察待分解的多项式$x^2+kx+9$，首项是$x$的平方，末项9是$3^2$，因此可将该多项式对应到完全平方公式的结构，中间项$kx$对应公式里的$\pm2ab$项，注意不要遗漏差的平方对应的负的中间项，最后通过系数对应求出$k$的值即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x\pm3)^2=x^2\pm2· x·3 +3^2=x^2\pm6x+9$
已知多项式$x^2+kx+9$能用完全平方公式因式分解，因此该多项式与$x^2\pm6x+9$为同一多项式，对应一次项系数相等，可得$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；多项式系数对应
【点评】
本题属于基础考查题，解题的易错点是忽略完全平方公式有两种形式，仅考虑和的平方的情况，漏掉中间项为负的可能，导致仅得出$k=6$的漏解结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方与差的平方两种，即$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$。观察待分解的多项式$x^2+kx+9$，首项是$x$的平方，末项9是$3^2$，因此可将该多项式对应到完全平方公式的结构，中间项$kx$对应公式里的$\pm2ab$项，注意不要遗漏差的平方对应的负的中间项，最后通过系数对应求出$k$的值即可。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(x\pm3)^2=x^2\pm2· x·3 +3^2=x^2\pm6x+9$
已知多项式$x^2+kx+9$能用完全平方公式因式分解，因此该多项式与$x^2\pm6x+9$为同一多项式，对应一次项系数相等，可得$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
完全平方公式；因式分解；多项式系数对应
【点评】
本题属于基础考查题，解题的易错点是忽略完全平方公式有两种形式，仅考虑和的平方的情况，漏掉中间项为负的可能，导致仅得出$k=6$的漏解结果。
【难度系数】
0.7
14. 通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图1所示，我们可以得到恒等式：$a^2 + 3ab + 2b^2 =$
$(a+2b)(a+b)$
。答案
14. $(a+2b)(a+b)$
解析
【分析】
解题时可从面积的两种计算方式入手：第一步先观察大长方形的长和宽，用长乘宽计算大长方形的总面积；第二步分别计算图中所有小图形的面积，求和得到总面积；由于两种方式计算的是同一个图形的面积，二者相等，即可得到对应的恒等式。
【解析】
1. 计算大长方形的长和宽：
横向总长度：$a + b + b = a + 2b$
纵向总宽度：$a + b$
因此大长方形的面积为：$(a + 2b)(a + b)$
2. 计算各小图形的面积和：
图中包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；3个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$3ab$；2个边长为$b$的正方形，总面积为$2b^2$。
因此所有小图形的面积和为：$a^2 + 3ab + 2b^2$
3. 由于两种方式计算的是同一大长方形的面积，因此二者相等，可得对应恒等式。
【答案】
$(a+2b)(a+b)$
【知识点】
面积法推导恒等式，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形面积的不同表达形式建立代数恒等式，能帮助我们直观理解整式乘法和因式分解的对应关系，属于代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可从面积的两种计算方式入手：第一步先观察大长方形的长和宽，用长乘宽计算大长方形的总面积；第二步分别计算图中所有小图形的面积，求和得到总面积；由于两种方式计算的是同一个图形的面积，二者相等，即可得到对应的恒等式。
【解析】
1. 计算大长方形的长和宽：
横向总长度：$a + b + b = a + 2b$
纵向总宽度：$a + b$
因此大长方形的面积为：$(a + 2b)(a + b)$
2. 计算各小图形的面积和：
图中包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；3个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$3ab$；2个边长为$b$的正方形，总面积为$2b^2$。
因此所有小图形的面积和为：$a^2 + 3ab + 2b^2$
3. 由于两种方式计算的是同一大长方形的面积，因此二者相等，可得对应恒等式。
【答案】
$(a+2b)(a+b)$
【知识点】
面积法推导恒等式，整式乘法，因式分解
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形面积的不同表达形式建立代数恒等式，能帮助我们直观理解整式乘法和因式分解的对应关系，属于代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题
15. 如图2，相邻两边的长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，求$a^3b+ab^3$的值.
15. 如图2，相邻两边的长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，求$a^3b+ab^3$的值.
答案
15.
∵相邻两边的长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，
∴$2(a+b)=10$，$ab=6$，整理得$a+b=5$，$ab=6$. 当$a+b=5$，$ab=6$时，原式=$ab(a^2+b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab] = 6×(5^2-2×6) = 6×(25-12) = 6×13=78$
∵相邻两边的长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，
∴$2(a+b)=10$，$ab=6$，整理得$a+b=5$，$ab=6$. 当$a+b=5$，$ab=6$时，原式=$ab(a^2+b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab] = 6×(5^2-2×6) = 6×(25-12) = 6×13=78$
解析
【分析】
解题时首先从已知的长方形周长和面积条件入手，先求出$a+b$与$ab$的值；再观察待求代数式$a^3b+ab^3$的结构，先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将剩下的$a^2+b^2$变形为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，最后将已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵相邻两边长为a、b的长方形周长为10，面积为6，
∴$2(a+b)=10$，$ab=6$，
整理得：$a+b=5$，$ab=6$。
对$a^3b+ab^3$因式分解：
$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)$
再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
原式=$ab[(a+b)^2-2ab]$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$=6×(5^2 - 2×6)$
$=6×(25 - 12)$
$=6×13$
$=78$
【答案】
$\boxed{78}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的变形，运用整体代入的思想进行计算，可大大简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的长方形周长和面积条件入手，先求出$a+b$与$ab$的值；再观察待求代数式$a^3b+ab^3$的结构，先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将剩下的$a^2+b^2$变形为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，最后将已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵相邻两边长为a、b的长方形周长为10，面积为6，
∴$2(a+b)=10$，$ab=6$，
整理得：$a+b=5$，$ab=6$。
对$a^3b+ab^3$因式分解：
$a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)$
再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
原式=$ab[(a+b)^2-2ab]$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$=6×(5^2 - 2×6)$
$=6×(25 - 12)$
$=6×13$
$=78$
【答案】
$\boxed{78}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的变形，运用整体代入的思想进行计算，可大大简化运算步骤。
【难度系数】
0.7
16. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 三边的长，且 $ c $ 为偶数并满足 $ a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = 0 $，求 $ △ ABC $ 的周长。
答案
∵$a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 = (a-2)^2 + (b-3)^2 = 0$，
∴$a-2=0$，$b-3=0$，解得$a=2$，$b=3$.
∵$3-2=1$，$3+2=5$，
∴$1 ＜ c ＜ 5$. 又
∵$c$ 为偶数，
∴$c = 2$ 或 $4$，
∴$△ABC$的周长为 $2+3+4=9$ 或 $2+2+3=7$
解析
【分析】
首先观察已知等式，其中含有a、b的二次项、一次项，常数项13可拆分为4和9，刚好能分别与a、b的对应项凑成完全平方公式。利用平方数的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出c的取值范围，结合c为偶数的条件确定c的可能值，最后分别计算周长即可。
【解析】
对已知等式配方变形：
$a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = 0$
整理得：$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 = 0$
即：$(a-2)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵平方数是非负数，即$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
∴$a-2=0$，$b-3=0$，解得$a=2$，$b=3$
根据三角形三边关系，第三边$c$满足：$|a-b|＜c＜a+b$
代入a、b的值可得：$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，即$1＜c＜5$
又
∵c为偶数，
∴c的取值为2或4
当$c=2$时，$△ ABC$的周长为$2+3+2=7$
当$c=4$时，$△ ABC$的周长为$2+3+4=9$
【答案】
7或9
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是综合型基础题，解题的关键是先通过配方法将已知等式转化为完全平方和为0的形式求出a、b的值，再结合三边关系和c的限制条件确定c的取值，解题时注意不要遗漏c的可能取值导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式，其中含有a、b的二次项、一次项，常数项13可拆分为4和9，刚好能分别与a、b的对应项凑成完全平方公式。利用平方数的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出c的取值范围，结合c为偶数的条件确定c的可能值，最后分别计算周长即可。
【解析】
对已知等式配方变形：
$a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = 0$
整理得：$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 = 0$
即：$(a-2)^2 + (b-3)^2 = 0$
∵平方数是非负数，即$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
∴$a-2=0$，$b-3=0$，解得$a=2$，$b=3$
根据三角形三边关系，第三边$c$满足：$|a-b|＜c＜a+b$
代入a、b的值可得：$3-2 ＜ c ＜ 3+2$，即$1＜c＜5$
又
∵c为偶数，
∴c的取值为2或4
当$c=2$时，$△ ABC$的周长为$2+3+2=7$
当$c=4$时，$△ ABC$的周长为$2+3+4=9$
【答案】
7或9
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是综合型基础题，解题的关键是先通过配方法将已知等式转化为完全平方和为0的形式求出a、b的值，再结合三边关系和c的限制条件确定c的取值，解题时注意不要遗漏c的可能取值导致漏解。
【难度系数】
0.6
17. 甲、乙两名同学分解因式$x^2+ax+b$时，甲看错了$b$，分解结果为$(x+2)(x+4)$；乙看错了$a$，分解结果为$(x+1)(x+9)$。请你分析一下$a$，$b$的值，并写出正确的因式分解过程.
答案
因为甲看错了$b$，所以$a$正确.
∵$(x+2)(x+4)=x^2+6x+8$，
∴$a=6$. 因为乙看错了$a$，所以$b$正确.
∵$(x+1)(x+9)=x^2+10x+9$，
∴$b=9$，
∴$x^2+6x+9=(x+3)^2$
∵$(x+2)(x+4)=x^2+6x+8$，
∴$a=6$. 因为乙看错了$a$，所以$b$正确.
∵$(x+1)(x+9)=x^2+10x+9$，
∴$b=9$，
∴$x^2+6x+9=(x+3)^2$
解析
【分析】
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲看错了b，说明其分解结果中对应的一次项系数a是正确的，常数项不可用；乙看错了a，说明其分解结果中对应的常数项b是正确的，一次项系数不可用。我们先分别展开两人的分解结果，提取正确的a、b值，再代入原式完成正确的因式分解即可。
【解析】
解：
∵甲看错了b，因此a的值是正确的，
将甲的分解结果展开：$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$，
对比原式$x^2+ax+b$，可得正确的$a=6$；
∵乙看错了a，因此b的值是正确的，
将乙的分解结果展开：$(x+1)(x+9)=x^2+9x+x+9=x^2+10x+9$，
对比原式$x^2+ax+b$，可得正确的$b=9$；
则原多项式为$x^2+6x+9$，利用完全平方公式因式分解得：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$。
【答案】
$a=6$，$b=9$，正确因式分解结果为$\boldsymbol{(x+3)^2}$
【知识点】
1. 整式乘法与因式分解的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是明确“看错某一个系数时，另一个系数不受影响”的逻辑，结合整式乘法的运算规则即可快速求出正确的系数，再运用因式分解的方法求解即可，考验学生对概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系：甲看错了b，说明其分解结果中对应的一次项系数a是正确的，常数项不可用；乙看错了a，说明其分解结果中对应的常数项b是正确的，一次项系数不可用。我们先分别展开两人的分解结果，提取正确的a、b值，再代入原式完成正确的因式分解即可。
【解析】
解：
∵甲看错了b，因此a的值是正确的，
将甲的分解结果展开：$(x+2)(x+4)=x^2+4x+2x+8=x^2+6x+8$，
对比原式$x^2+ax+b$，可得正确的$a=6$；
∵乙看错了a，因此b的值是正确的，
将乙的分解结果展开：$(x+1)(x+9)=x^2+9x+x+9=x^2+10x+9$，
对比原式$x^2+ax+b$，可得正确的$b=9$；
则原多项式为$x^2+6x+9$，利用完全平方公式因式分解得：
$x^2+6x+9=(x+3)^2$。
【答案】
$a=6$，$b=9$，正确因式分解结果为$\boldsymbol{(x+3)^2}$
【知识点】
1. 整式乘法与因式分解的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
3. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是明确“看错某一个系数时，另一个系数不受影响”的逻辑，结合整式乘法的运算规则即可快速求出正确的系数，再运用因式分解的方法求解即可，考验学生对概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
