13. 如图，已知线段$AB=12$，点$C$为线段$AB$上一动点，点$D$在线段$CB$上，且满足$DB=2CD$。
（1）当$C$为$AB$的中点时，求$CD$的长。
（2）若$E$为$AD$的中点，当$DE=2CE$时，求$AC$的长。

13. （1）由已知,$BC=\frac{1}{2}AB=6$。因为$DB=2CD$,不妨设$CD=x$,则$DB=2x$。因为$CD+DB=CB$,则$x+2x=6$,解得$x=2$,即$CD=2$。
（2）
如图②,同理可得$AC=1.2$。综上所述,$AC$的长为1.2或6。

【分析】
（1）首先根据C是AB中点求出BC的长度，再结合DB=2CD的倍分关系，设CD为未知数，利用CD与DB的和等于BC列方程，即可求解CD的长度。
（2）已知E是AD中点可得AE=DE，结合DE=2CE的条件，需分两种情况讨论点E的位置：①点E在A、C之间；②点E在C、D之间。分别设AC为未知数，根据线段和差关系表示出相关线段长度，列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
（1）
∵$AB=12$，C为AB的中点，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
设$CD=x$，
∵$DB=2CD$，
∴$DB=2x$。
∵$CD+DB=BC$，
∴$x+2x=6$，
解得$x=2$，即$CD=2$。
（2）设$AC=y$，
∵$DB=2CD$，$CD+DB=CB=AB-AC=12-y$，
∴$CD=\frac{1}{3}(12-y)$，
∴$AD=AC+CD=y+\frac{12-y}{3}=\frac{2y+12}{3}$。
∵E为AD的中点，
∴$AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{y+6}{3}$。
分两种情况讨论：
① 如图①，当点E在点C左侧时，$CE=AC-AE=y-\frac{y+6}{3}=\frac{2y-6}{3}$，
∵$DE=2CE$，
∴$\frac{y+6}{3}=2×\frac{2y-6}{3}$，
两边同乘3得：$y+6=4y-12$，
解得$y=6$，即$AC=6$。
② 如图②，当点E在点C右侧时，$CE=AE-AC=\frac{y+6}{3}-y=\frac{6-2y}{3}$，
∵$DE=2CE$，
∴$\frac{y+6}{3}=2×\frac{6-2y}{3}$，
两边同乘3得：$y+6=12-4y$，
解得$y=1.2$，即$AC=1.2$。
综上，AC的长为1.2或6。
【答案】
（1）CD的长为2；
（2）综上所述，AC的长为1.2或6。
【知识点】
线段和差计算，线段中点性质，分类讨论思想
【点评】
本题第一问较为基础，利用线段中点和倍分关系列方程即可求解；第二问需要根据点E的不同位置分类讨论，避免漏解，通过设未知数将线段关系转化为方程求解，是解决线段计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.6

14.（1）如图，点C在线段AB上，AC＝8，BC＝6，M，N分别是AC，BC的中点。求线段MN的长度。
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC＋BC＝a，M，N分别是AC，BC的中点。猜想MN的长度，并说明理由。
（3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b，M，N分别是AC，BC的中点。猜想MN的长度，写出结论，并说明理由。

14. （1）因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$,$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$,所以$MN=MC+NC=4+3=7$。
（2）$MN=\frac{1}{2}a$。理由如下:因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$。
（3）
因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,
所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$。

【分析】
本题围绕线段中点的性质展开解题，思路如下：
1. 第(1)问是具体数值计算：已知AC、BC的长度，先根据中点定义分别求出MC、NC的长度，MN为MC与NC的和，相加即可得到结果；
2. 第(2)问是一般关系推导：已知AC与BC的和为a，同样利用中点性质将MC、NC分别表示为AC、BC的一半，再把MN转化为MC+NC，提取公因式后结合AC+BC=a即可推出MN的长度；
3. 第(3)问是点C位置变化的情况：点C在线段AB延长线上时，MN为MC与NC的差，仍用中点性质表示MC、NC，将MN转化为MC-NC，提取公因式后结合AC-BC=b即可得出结论。
【解析】
（1）因为M、N分别是AC、BC的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
所以$MN=MC+NC=4+3=7$。
（2）猜想$MN=\frac{1}{2}a$，理由如下：
因为M、N分别是AC、BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}a$。
（3）
猜想$MN=\frac{1}{2}b$，理由如下：
因为M、N分别是AC、BC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$。
【答案】
14. （1）因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$,$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$,所以$MN=MC+NC=4+3=7$。
（2）$MN=\frac{1}{2}a$。理由如下:因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$。
（3）
因为$M,N$分别是$AC,BC$的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,
所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算
【点评】
本题是线段计算的经典题型，从特殊数值到一般关系，再结合点的位置变化考查线段中点性质的应用，解题时结合图形准确判断线段的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7