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1.某公司销售一种成本为20元/盏的LED护眼台灯.销售过程中发现,若销售单价为$x$元,则月销售量为$(-10x+500)$盏.为使每月获得的利润最大,该台灯应定价为 (
A.30元/盏
B.35元/盏
C.40元/盏
D.45元/盏
B
)A.30元/盏
B.35元/盏
C.40元/盏
D.45元/盏
答案
1.B
解析
【分析】
要解决每月利润最大的定价问题，首先需明确销售利润的计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先根据该等量关系列出总利润关于销售单价x的函数表达式，观察可知该函数为二次函数，再结合二次函数的最值性质即可求出对应定价：因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，顶点的横坐标即为所求定价。
【解析】
设每月获得的利润为$y$元。
已知单件台灯的成本为20元，销售单价为$x$元，因此单件利润为$(x-20)$元，月销售量为$(-10x+500)$盏，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(-10x+500)\\&=-10x^2+500x+200x-10000\\&=-10x^2+700x-10000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值。
代入$a=-10$，$b=700$得：
$x=-\frac{700}{2×(-10)}=35$
即定价为35元/盏时，每月利润最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题核心是先结合利润计算公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.8
要解决每月利润最大的定价问题，首先需明确销售利润的计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先根据该等量关系列出总利润关于销售单价x的函数表达式，观察可知该函数为二次函数，再结合二次函数的最值性质即可求出对应定价：因为二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，顶点的横坐标即为所求定价。
【解析】
设每月获得的利润为$y$元。
已知单件台灯的成本为20元，销售单价为$x$元，因此单件利润为$(x-20)$元，月销售量为$(-10x+500)$盏，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(-10x+500)\\&=-10x^2+500x+200x-10000\\&=-10x^2+700x-10000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取最大值。
代入$a=-10$，$b=700$得：
$x=-\frac{700}{2×(-10)}=35$
即定价为35元/盏时，每月利润最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题核心是先结合利润计算公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.8
2.某旅行社推出某地两日游活动，10人起组团，每人需缴费400元.旅行社对超过10人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低20元.当该旅行社获得最大营业额时，增加的人数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
A
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道二次函数在实际经营问题中的应用题，解题思路如下：第一步，设增加的人数为自变量$x$，营业额为因变量$y$；第二步，根据题意分别表示出优惠后的总人数和每人的缴费金额；第三步，根据“营业额=总人数×每人缴费金额”列出$y$关于$x$的二次函数关系式；第四步，因为二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点横坐标对应函数取最大值时的自变量值，代入对称轴公式计算即可得到结果。
【解析】
设旅行团增加的人数为$x$人，旅行社获得的营业额为$y$元。
由题意可知，总人数为$(10+x)$人，优惠后每人需缴费$(400-20x)$元，因此营业额为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，其中$a=-20$，$b=200$，代入得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
即增加5人时，旅行社获得最大营业额。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值计算；列函数关系式
【点评】
本题是典型的利用二次函数求解实际最值的基础题，解题核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质计算最值，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数在实际经营问题中的应用题，解题思路如下：第一步，设增加的人数为自变量$x$，营业额为因变量$y$；第二步，根据题意分别表示出优惠后的总人数和每人的缴费金额；第三步，根据“营业额=总人数×每人缴费金额”列出$y$关于$x$的二次函数关系式；第四步，因为二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点横坐标对应函数取最大值时的自变量值，代入对称轴公式计算即可得到结果。
【解析】
设旅行团增加的人数为$x$人，旅行社获得的营业额为$y$元。
由题意可知，总人数为$(10+x)$人，优惠后每人需缴费$(400-20x)$元，因此营业额为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，其中$a=-20$，$b=200$，代入得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
即增加5人时，旅行社获得最大营业额。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值计算；列函数关系式
【点评】
本题是典型的利用二次函数求解实际最值的基础题，解题核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质计算最值，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
3. 当服装店某款衣服的售价为每件280元时，每件获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件. 为尽快清空库存，店主决定降价销售，每件衣服的售价每降低5元，每天的销量增加25件. 店主要想每天获得的利润最大，则需要将每件衣服的售价定为
260
元.答案
3.260
解析
【分析】
解题首先需要先求出衣服的进价，这是计算单件利润的基础。其次，围绕“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，设售价为未知数，分别用含未知数的代数式表示出单件利润和每日销售量，构建总利润关于售价的二次函数。最后根据二次函数的性质求出最大值对应的售价，同时结合“尽快清空库存”的要求验证解的合理性即可。
【解析】
第一步：求衣服的进价
设每件衣服的进价为$a$元，由售价为280元时利润是进价的40%，可得：
$a(1+40\%)=280$
解得$a=200$，即每件衣服进价为200元。
第二步：构建总利润的函数表达式
设每件衣服售价定为$x$元，每日总利润为$W$元。
单件利润：$(x-200)$元
每日销量：原销量200件，每降价5元多卖25件，共降价$(280-x)$元，所以增加的销量为$\frac{280-x}{5}×25=5(280-x)$件，总销量为$200+5(280-x)=1600-5x$件。
因此总利润：
$W=(x-200)(1600-5x)$
展开整理得：$W=-5x^2+2600x-320000$
第三步：求利润最大时的售价
该二次函数二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2600}{2×(-5)}=260$
此时销量为$1600-5×260=300$件，大于原销量200件，符合尽快清空库存的要求。
【答案】
260
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题属于典型的销售类最值应用题，核心是找准等量关系构建二次函数模型，解题时要注意结合题干中的实际限制条件验证结果的合理性，避免出现理论最值不符合实际要求的错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要先求出衣服的进价，这是计算单件利润的基础。其次，围绕“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，设售价为未知数，分别用含未知数的代数式表示出单件利润和每日销售量，构建总利润关于售价的二次函数。最后根据二次函数的性质求出最大值对应的售价，同时结合“尽快清空库存”的要求验证解的合理性即可。
【解析】
第一步：求衣服的进价
设每件衣服的进价为$a$元，由售价为280元时利润是进价的40%，可得：
$a(1+40\%)=280$
解得$a=200$，即每件衣服进价为200元。
第二步：构建总利润的函数表达式
设每件衣服售价定为$x$元，每日总利润为$W$元。
单件利润：$(x-200)$元
每日销量：原销量200件，每降价5元多卖25件，共降价$(280-x)$元，所以增加的销量为$\frac{280-x}{5}×25=5(280-x)$件，总销量为$200+5(280-x)=1600-5x$件。
因此总利润：
$W=(x-200)(1600-5x)$
展开整理得：$W=-5x^2+2600x-320000$
第三步：求利润最大时的售价
该二次函数二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2600}{2×(-5)}=260$
此时销量为$1600-5×260=300$件，大于原销量200件，符合尽快清空库存的要求。
【答案】
260
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题属于典型的销售类最值应用题，核心是找准等量关系构建二次函数模型，解题时要注意结合题干中的实际限制条件验证结果的合理性，避免出现理论最值不符合实际要求的错误。
【难度系数】
0.7
4.某品牌头盔4月份销售150顶，6月份销售216顶，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)已知每顶该品牌头盔的进价为30元，当每顶售价为40元时，月销售量为600顶.若每顶售价不低于40元，且售价每上涨1元，则月销售量将减少5顶，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的实际售价应定为每顶多少元？
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)已知每顶该品牌头盔的进价为30元，当每顶售价为40元时，月销售量为600顶.若每顶售价不低于40元，且售价每上涨1元，则月销售量将减少5顶，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的实际售价应定为每顶多少元？
答案
4.【解】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 $x$.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 $m$ 元,月销售利润为 $w$ 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
即 $w=-5(m-95)^2+21125$.
当 $m=95$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 $m$ 元,月销售利润为 $w$ 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
即 $w=-5(m-95)^2+21125$.
当 $m=95$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
解析
【分析】
（1）本题属于增长率类应用题，解题思路如下：首先设月增长率为x，牢记增长率问题的通用公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，本题中4月销量150是初始量，从4月到6月共增长2次，最终销量为216，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）本题属于销售利润最值类应用题，解题思路如下：先设实际售价为m元，月销售利润为w元，根据“总利润=单顶利润×月销售量”的关系分别推导两项因式：单顶利润为售价减进价，即(m-30)元；售价每涨1元月销量减少5顶，售价比40元上涨了(m-40)元，因此月销售量为[600-5(m-40)]顶，代入后得到w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 $x$.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 $m$ 元,月销售利润为 $w$ 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
整理得 $w=-5m^2+950m-24000=-5(m-95)^2+21125$.
$\because -5＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当 $m=95$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
【答案】
(1)20%；(2)95元
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查两类高频应用题模型，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程或函数表达式，同时要注意结合实际意义对结果进行取舍，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决利润最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于增长率类应用题，解题思路如下：首先设月增长率为x，牢记增长率问题的通用公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，本题中4月销量150是初始量，从4月到6月共增长2次，最终销量为216，据此列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）本题属于销售利润最值类应用题，解题思路如下：先设实际售价为m元，月销售利润为w元，根据“总利润=单顶利润×月销售量”的关系分别推导两项因式：单顶利润为售价减进价，即(m-30)元；售价每涨1元月销量减少5顶，售价比40元上涨了(m-40)元，因此月销售量为[600-5(m-40)]顶，代入后得到w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 $x$.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 $m$ 元,月销售利润为 $w$ 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
整理得 $w=-5m^2+950m-24000=-5(m-95)^2+21125$.
$\because -5＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当 $m=95$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
【答案】
(1)20%；(2)95元
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查两类高频应用题模型，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程或函数表达式，同时要注意结合实际意义对结果进行取舍，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决利润最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
5.某酒店有A,B两种客房,其中A种客房有24间,B种客房有20间.若A,B两种客房全部住满,则一天的营业额为7200元;若A,B两种客房各有10间住满,则一天的营业额为3200元.
(1)求A,B两种客房每间的定价.
(2)酒店对A种客房调研发现:若客房不调价,则房间可全部住满;每间定价每增加10元,就会有一间客房空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额w最高?最高营业额为多少元?
(1)求A,B两种客房每间的定价.
(2)酒店对A种客房调研发现:若客房不调价,则房间可全部住满;每间定价每增加10元,就会有一间客房空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额w最高?最高营业额为多少元?
答案
5.【解】(1)设 A 种客房每间的定价为 $x$ 元,B 种客房每间的定价为 $y$ 元.
根据题意,得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=200,\\y=120.\end{cases}$
故 A 种客房每间的定价为 200 元,B 种客房每间的定价为 120 元.
(2)设 A 种客房每间的定价为 $a$ 元.
根据题意,得 $w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$,
即 $w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$.
当 $a=220$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 4840.
故当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额 $w$ 最高,最高营业额为 4840 元.
根据题意,得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=200,\\y=120.\end{cases}$
故 A 种客房每间的定价为 200 元,B 种客房每间的定价为 120 元.
(2)设 A 种客房每间的定价为 $a$ 元.
根据题意,得 $w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$,
即 $w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$.
当 $a=220$ 时,$w$ 取最大值,最大值为 4840.
故当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额 $w$ 最高,最高营业额为 4840 元.
解析
【分析】
（1）本小问可通过列二元一次方程组求解，首先明确两个核心等量关系：①24间A客房总营业额+20间B客房总营业额=7200元；②10间A客房总营业额+10间B客房总营业额=3200元。设A、B两种客房每间定价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组求解即可。
（2）本小问属于二次函数的最值应用，核心公式为“营业额=每间定价×入住房间数”。设A种客房每间定价为a元，先推导入住房间数：原定价200元时可住满24间，每涨价10元少1间入住，因此空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$，实际入住数量为$24-\frac{a-200}{10}$，据此列出营业额w关于a的函数表达式，再将函数化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出最大值及对应定价。
【解析】
(1) 设A种客房每间的定价为$x$元，B种客房每间的定价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}24x+20y=7200\\10x+10y=3200\end{cases}$
将第二个方程化简为$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程得：
$24x+20(320-x)=7200$
$4x=800$
解得$x=200$，代入$y=320-x$得$y=120$。
(2) 设A种客房每间的定价为$a$元，一天的营业额为$w$元。
根据题意，实际入住的A客房数量为$24-\frac{a-200}{10}$，因此：
$w=a(24-\frac{a-200}{10})$
整理得：
$w=-\frac{1}{10}a^2+44a$
通过配方法化为顶点式：
$w=-\frac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{10}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$a=220$时，$w$取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
(1) A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元；
(2) 当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额最高，最高营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合酒店经营的生活场景命题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，正确列出方程和函数表达式，求解二次函数最值时要注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.65
（1）本小问可通过列二元一次方程组求解，首先明确两个核心等量关系：①24间A客房总营业额+20间B客房总营业额=7200元；②10间A客房总营业额+10间B客房总营业额=3200元。设A、B两种客房每间定价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组求解即可。
（2）本小问属于二次函数的最值应用，核心公式为“营业额=每间定价×入住房间数”。设A种客房每间定价为a元，先推导入住房间数：原定价200元时可住满24间，每涨价10元少1间入住，因此空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$，实际入住数量为$24-\frac{a-200}{10}$，据此列出营业额w关于a的函数表达式，再将函数化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出最大值及对应定价。
【解析】
(1) 设A种客房每间的定价为$x$元，B种客房每间的定价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}24x+20y=7200\\10x+10y=3200\end{cases}$
将第二个方程化简为$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程得：
$24x+20(320-x)=7200$
$4x=800$
解得$x=200$，代入$y=320-x$得$y=120$。
(2) 设A种客房每间的定价为$a$元，一天的营业额为$w$元。
根据题意，实际入住的A客房数量为$24-\frac{a-200}{10}$，因此：
$w=a(24-\frac{a-200}{10})$
整理得：
$w=-\frac{1}{10}a^2+44a$
通过配方法化为顶点式：
$w=-\frac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{10}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$a=220$时，$w$取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
(1) A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元；
(2) 当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额最高，最高营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合酒店经营的生活场景命题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，正确列出方程和函数表达式，求解二次函数最值时要注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.65
