登录
1. 幂的乘方法则:幂的乘方,底数________,指数________.
用字母表示:$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$($m,n$都是正整数).
2. 积的乘方法则:积的乘方,等于把积的________分别________,再把所得的幂________.
用字母表示:$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
3. 拓展应用:
(1)$[(a^m)^n]^p = \_\_\_\_\_\_$($m,n,p$都是正整数).
(2)$a^{mn} = (a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$($m,n$都是正整数).
(3)$(abc)^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
(4)$a^n b^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
用字母表示:$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$($m,n$都是正整数).
2. 积的乘方法则:积的乘方,等于把积的________分别________,再把所得的幂________.
用字母表示:$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
3. 拓展应用:
(1)$[(a^m)^n]^p = \_\_\_\_\_\_$($m,n,p$都是正整数).
(2)$a^{mn} = (a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$($m,n$都是正整数).
(3)$(abc)^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
(4)$a^n b^n = \_\_\_\_\_\_$($n$是正整数).
答案
解：
1. 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
用字母表示:$(a^m)^n = \boldsymbol{a^{mn}}$($m,n$都是正整数).
2. 积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
用字母表示:$(ab)^n = \boldsymbol{a^n b^n}$($n$是正整数).
3. 拓展应用:
(1)$[(a^m)^n]^p = \boldsymbol{a^{mnp}}$($m,n,p$都是正整数).
(2)$a^{mn} = (a^m)^n = \boldsymbol{(a^n)^m}$($m,n$都是正整数).
(3)$(abc)^n = \boldsymbol{a^n b^n c^n}$($n$是正整数).
(4)$a^n b^n = \boldsymbol{(ab)^n}$($n$是正整数).
1. 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
用字母表示:$(a^m)^n = \boldsymbol{a^{mn}}$($m,n$都是正整数).
2. 积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
用字母表示:$(ab)^n = \boldsymbol{a^n b^n}$($n$是正整数).
3. 拓展应用:
(1)$[(a^m)^n]^p = \boldsymbol{a^{mnp}}$($m,n,p$都是正整数).
(2)$a^{mn} = (a^m)^n = \boldsymbol{(a^n)^m}$($m,n$都是正整数).
(3)$(abc)^n = \boldsymbol{a^n b^n c^n}$($n$是正整数).
(4)$a^n b^n = \boldsymbol{(ab)^n}$($n$是正整数).
解析
【分析】
本题主要考查幂的乘方、积的乘方的基本法则及相关拓展与逆用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方、积的乘方的文字表述和字母表达式核心内容，再根据基础法则推导拓展形式：对于多层幂的乘方，多次运用底数不变指数相乘的规则即可；对于多个因式的积的乘方，类比两个因式的规则，给每个因式分别乘方再相乘；对于法则的逆用，直接调换等式左右两边的形式即可。
【解析】
1. 幂的乘方法则：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算，因此用字母表示为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
2. 积的乘方法则：积的乘方运算中，需要把积的每一个因式分别进行乘方运算，再把得到的幂相乘，因此用字母表示为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
3. 拓展应用推导：
(1) 多层幂的乘方，多次应用幂的乘方法则，先算内层$(a^m)^n=a^{mn}$，再算$(a^{mn})^p=a^{mnp}$，因此结果为$a^{mnp}$。
(2) 幂的乘方法则的逆用，$a^{mn}$既可以写成$(a^m)^n$，也可以交换$m,n$的位置写成$(a^n)^m$。
(3) 三个因式的积的乘方，类比两个因式的积的乘方法则，给每个因式分别乘方再相乘，因此结果为$a^n b^n c^n$。
(4) 积的乘方法则的逆用，相同指数的两个幂相乘，可以把底数先相乘再乘方，因此结果为$(ab)^n$。
【答案】
1. 不变；相乘；$a^{mn}$
2. 每一个因式；乘方；相乘；$a^n b^n$
3. (1)$a^{mnp}$；(2)$(a^n)^m$；(3)$a^n b^n c^n$；(4)$(ab)^n$
【知识点】
幂的乘方法则、积的乘方法则、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的基础概念题，重点考查对核心运算法则的记忆、简单推导与逆用，熟练掌握该部分内容是后续学习整式乘法、因式分解等知识的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题主要考查幂的乘方、积的乘方的基本法则及相关拓展与逆用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方、积的乘方的文字表述和字母表达式核心内容，再根据基础法则推导拓展形式：对于多层幂的乘方，多次运用底数不变指数相乘的规则即可；对于多个因式的积的乘方，类比两个因式的规则，给每个因式分别乘方再相乘；对于法则的逆用，直接调换等式左右两边的形式即可。
【解析】
1. 幂的乘方法则：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算，因此用字母表示为$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）。
2. 积的乘方法则：积的乘方运算中，需要把积的每一个因式分别进行乘方运算，再把得到的幂相乘，因此用字母表示为$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）。
3. 拓展应用推导：
(1) 多层幂的乘方，多次应用幂的乘方法则，先算内层$(a^m)^n=a^{mn}$，再算$(a^{mn})^p=a^{mnp}$，因此结果为$a^{mnp}$。
(2) 幂的乘方法则的逆用，$a^{mn}$既可以写成$(a^m)^n$，也可以交换$m,n$的位置写成$(a^n)^m$。
(3) 三个因式的积的乘方，类比两个因式的积的乘方法则，给每个因式分别乘方再相乘，因此结果为$a^n b^n c^n$。
(4) 积的乘方法则的逆用，相同指数的两个幂相乘，可以把底数先相乘再乘方，因此结果为$(ab)^n$。
【答案】
1. 不变；相乘；$a^{mn}$
2. 每一个因式；乘方；相乘；$a^n b^n$
3. (1)$a^{mnp}$；(2)$(a^n)^m$；(3)$a^n b^n c^n$；(4)$(ab)^n$
【知识点】
幂的乘方法则、积的乘方法则、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的基础概念题，重点考查对核心运算法则的记忆、简单推导与逆用，熟练掌握该部分内容是后续学习整式乘法、因式分解等知识的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】计算$(-x^3)^2(-x^2)^3 + x^3 · x^9$
答案
解：
原式$=x^6 · (-x^6) + x^{3+9}$
$=-x^{6+6} + x^{12}$
$=-x^{12} + x^{12}$
$=0$
原式$=x^6 · (-x^6) + x^{3+9}$
$=-x^{6+6} + x^{12}$
$=-x^{12} + x^{12}$
$=0$
解析
【分析】
这道题属于整式幂的混合运算，按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序求解即可：①先处理乘方项：计算$(-x^3)^2$和$(-x^2)^3$时，先根据负数乘方的符号规则（偶次幂为正、奇次幂为负）判断符号，再用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算x的指数；②再计算乘法项：同底数幂相乘遵循底数不变、指数相加的法则；③最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
原式先计算乘方运算：
$=x^6 · (-x^6) + x^{3+9}$
再计算同底数幂的乘法运算：
$=-x^{6+6} + x^{12}$
化简后合并同类项：
$=-x^{12} + x^{12}$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题易错点为负数乘方的符号判断，计算时需严格遵循运算顺序，牢记各运算法则，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题属于整式幂的混合运算，按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序求解即可：①先处理乘方项：计算$(-x^3)^2$和$(-x^2)^3$时，先根据负数乘方的符号规则（偶次幂为正、奇次幂为负）判断符号，再用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算x的指数；②再计算乘法项：同底数幂相乘遵循底数不变、指数相加的法则；③最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
原式先计算乘方运算：
$=x^6 · (-x^6) + x^{3+9}$
再计算同底数幂的乘法运算：
$=-x^{6+6} + x^{12}$
化简后合并同类项：
$=-x^{12} + x^{12}$
$=0$
【答案】
$0$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】
本题主要考查幂的相关运算法则的应用，解题易错点为负数乘方的符号判断，计算时需严格遵循运算顺序，牢记各运算法则，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.7
【变式1】计算：
(1)$-(a^2)^5$；(2)$[(-3)^3]^2$；
(3)$(a^n)^{n+1}$；(4)$-[-(a-3)^3]^4$
(1)$-(a^2)^5$；(2)$[(-3)^3]^2$；
(3)$(a^n)^{n+1}$；(4)$-[-(a-3)^3]^4$
答案
解：
(1) 原式$ = -a^(2×5) = -a^10$
(2) 原式$ = (-3)^(3×2) = (-3)^6 = 729$
(3) 原式 = a^(n·(n+1)) = a^(n²+n)
(4) 原式$ = - (a-3)^(3×4) = - (a-3)^12$
(1) 原式$ = -a^(2×5) = -a^10$
(2) 原式$ = (-3)^(3×2) = (-3)^6 = 729$
(3) 原式 = a^(n·(n+1)) = a^(n²+n)
(4) 原式$ = - (a-3)^(3×4) = - (a-3)^12$
解析
【分析】
这4道小题均考查幂的乘方的运算，解题核心是熟练运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先明确每道题的底数，再套用法则计算，最后正确处理符号即可：
(1)底数是a，前面的负号不属于底数部分，先算幂的乘方再保留负号；
(2)底数是-3，先按幂的乘方法则计算指数，再根据负数的偶次幂为正计算最终数值；
(3)底数是a，指数为n和(n+1)，按法则相乘后化简指数即可；
(4)底数是(a-3)，先计算外层的4次方，根据负数的偶次幂为正去掉内层的负号，最后保留最外层的负号即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，原式$=-a^{2×5}=-a^{10}$
(2) 根据幂的乘方法则，原式$=(-3)^{3×2}=(-3)^6=729$
(3) 根据幂的乘方法则，原式$=a^{n·(n+1)}=a^{n^2+n}$
(4) 先处理外层乘方：$[-(a-3)^3]^4=(-1)^4·(a-3)^{3×4}=(a-3)^{12}$，故原式$=-(a-3)^{12}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a^{10}}$；(2) $\boldsymbol{729}$；(3) $\boldsymbol{a^{n^2+n}}$；(4) $\boldsymbol{-(a-3)^{12}}$
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 乘方符号性质
【点评】
本组题目是幂的乘方的基础运算题，解题的关键是准确区分底数和符号，当底数为多项式时要将其看作整体参与运算，避免符号错误和指数运算错误。
【难度系数】
0.85
这4道小题均考查幂的乘方的运算，解题核心是熟练运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时先明确每道题的底数，再套用法则计算，最后正确处理符号即可：
(1)底数是a，前面的负号不属于底数部分，先算幂的乘方再保留负号；
(2)底数是-3，先按幂的乘方法则计算指数，再根据负数的偶次幂为正计算最终数值；
(3)底数是a，指数为n和(n+1)，按法则相乘后化简指数即可；
(4)底数是(a-3)，先计算外层的4次方，根据负数的偶次幂为正去掉内层的负号，最后保留最外层的负号即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，原式$=-a^{2×5}=-a^{10}$
(2) 根据幂的乘方法则，原式$=(-3)^{3×2}=(-3)^6=729$
(3) 根据幂的乘方法则，原式$=a^{n·(n+1)}=a^{n^2+n}$
(4) 先处理外层乘方：$[-(a-3)^3]^4=(-1)^4·(a-3)^{3×4}=(a-3)^{12}$，故原式$=-(a-3)^{12}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a^{10}}$；(2) $\boldsymbol{729}$；(3) $\boldsymbol{a^{n^2+n}}$；(4) $\boldsymbol{-(a-3)^{12}}$
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 乘方符号性质
【点评】
本组题目是幂的乘方的基础运算题，解题的关键是准确区分底数和符号，当底数为多项式时要将其看作整体参与运算，避免符号错误和指数运算错误。
【难度系数】
0.85
【例2】已知$a^m=2$，$a^n=b$，求$a^{3m+2n}$的值。
答案
解：
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的运算法则，可得
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=b$代入上式：
原式$=2^3 · b^2 = 8b^2$
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的运算法则，可得
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=b$代入上式：
原式$=2^3 · b^2 = 8b^2$
解析
【分析】
解题时先观察待求式的指数特征：指数为3m+2n，是两个单项式的和，首先联想到同底数幂乘法的逆运算，可将$a^{3m+2n}$拆分为$a^{3m}·a^{2n}$；再观察拆分后两个幂的指数是乘积形式，联想到幂的乘方的逆运算，将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$；最后将已知的$a^m=2$、$a^n=b$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的运算法则，可得：
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=b$代入上式：
原式$=2^3 · b^2 = 8b^2$
【答案】
$8b^2$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，代数式代入求值
【点评】
本题属于幂的运算的常规基础题型，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能灵活对运算性质进行逆用，将待求式转化为含有已知条件的形式再代入计算，注意运算时不要混淆指数的变化规则。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求式的指数特征：指数为3m+2n，是两个单项式的和，首先联想到同底数幂乘法的逆运算，可将$a^{3m+2n}$拆分为$a^{3m}·a^{2n}$；再观察拆分后两个幂的指数是乘积形式，联想到幂的乘方的逆运算，将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$；最后将已知的$a^m=2$、$a^n=b$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的运算法则，可得：
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
$=(a^m)^3 · (a^n)^2$
将$a^m=2$，$a^n=b$代入上式：
原式$=2^3 · b^2 = 8b^2$
【答案】
$8b^2$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，代数式代入求值
【点评】
本题属于幂的运算的常规基础题型，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能灵活对运算性质进行逆用，将待求式转化为含有已知条件的形式再代入计算，注意运算时不要混淆指数的变化规则。
【难度系数】
0.8
【变式2】已知$10^a = 2, 10^b = 3$, 求$10^{2a} + 10^{3b}$的值.
答案
解：
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
将$10^a=2$，$10^b=3$代入：
$10^{2a} + 10^{3b}$
$=(10^a)^2 + (10^b)^3$
$=2^2 + 3^3$
$=4 + 27$
$=31$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
将$10^a=2$，$10^b=3$代入：
$10^{2a} + 10^{3b}$
$=(10^a)^2 + (10^b)^3$
$=2^2 + 3^3$
$=4 + 27$
$=31$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的关联，待求式中两个项的指数分别是已知条件对应指数的2倍和3倍，因此可逆向运用幂的乘方运算法则，将$10^{2a}$转化为$(10^a)^2$，$10^{3b}$转化为$(10^b)^3$，再把已知的$10^a=2$、$10^b=3$代入变形后的式子，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可逆用得$a^{mn}=(a^m)^n$，因此：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
将$10^a=2$，$10^b=3$代入待求式：
$\begin{aligned}10^{2a} + 10^{3b}&=(10^a)^2 + (10^b)^3\\&=2^2 + 3^3\\&=4 + 27\\&=31\end{aligned}$
【答案】
$31$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.代数式代入求值
【点评】
本题核心考查幂的乘方的逆运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方的运算规则，将待求式转化为含已知条件的形式再代入计算，属于基础运算类题型，掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求式的关联，待求式中两个项的指数分别是已知条件对应指数的2倍和3倍，因此可逆向运用幂的乘方运算法则，将$10^{2a}$转化为$(10^a)^2$，$10^{3b}$转化为$(10^b)^3$，再把已知的$10^a=2$、$10^b=3$代入变形后的式子，按有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可逆用得$a^{mn}=(a^m)^n$，因此：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
将$10^a=2$，$10^b=3$代入待求式：
$\begin{aligned}10^{2a} + 10^{3b}&=(10^a)^2 + (10^b)^3\\&=2^2 + 3^3\\&=4 + 27\\&=31\end{aligned}$
【答案】
$31$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.代数式代入求值
【点评】
本题核心考查幂的乘方的逆运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方的运算规则，将待求式转化为含已知条件的形式再代入计算，属于基础运算类题型，掌握运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
【例3】计算：
(1)$(-3x^3)^2 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$；
(2)$a^3 · a · a^4 + (-2a^4)^2 + (a^2)^4$。
(1)$(-3x^3)^2 - x^2 · x^4 - (x^2)^3$；
(2)$a^3 · a · a^4 + (-2a^4)^2 + (a^2)^4$。
答案
解：
(1) 原式$= (-3)^2 · (x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=7x^6$
(2) 原式$=a^{3+1+4} + (-2)^2 · (a^4)^2 + a^{2×4}$
$=a^8 +4a^8 +a^8$
$=6a^8$
(1) 原式$= (-3)^2 · (x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=7x^6$
(2) 原式$=a^{3+1+4} + (-2)^2 · (a^4)^2 + a^{2×4}$
$=a^8 +4a^8 +a^8$
$=6a^8$
解析
【分析】
这两道题为整式的混合运算题，解题时遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。第一步先处理乘方类运算：其中积的乘方运算（如$(-3x^3)^2$、$(-2a^4)^2$）需遵循“将积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘”的规则；幂的乘方运算（如$(x^2)^3$、$(a^2)^4$）需遵循“底数不变，指数相乘”的规则；同底数幂的乘法运算（如$x^2·x^4$、$a^3·a·a^4$）需遵循“底数不变，指数相加”的规则。第二步将所有运算得到的同类项合并，系数相加减、字母和指数保持不变，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$= (-3)^2 · (x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=7x^6$
(2) 原式$=a^{3+1+4} + (-2)^2 · (a^4)^2 + a^{2×4}$
$=a^8 +4a^8 +a^8$
$=6a^8$
【答案】
(1)$7x^6$；(2)$6a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题，主要考查对幂的三类运算规则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算的指数变化规律，同时注意系数的符号计算，避免因混淆规则出现失误。
【难度系数】
0.8
这两道题为整式的混合运算题，解题时遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。第一步先处理乘方类运算：其中积的乘方运算（如$(-3x^3)^2$、$(-2a^4)^2$）需遵循“将积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘”的规则；幂的乘方运算（如$(x^2)^3$、$(a^2)^4$）需遵循“底数不变，指数相乘”的规则；同底数幂的乘法运算（如$x^2·x^4$、$a^3·a·a^4$）需遵循“底数不变，指数相加”的规则。第二步将所有运算得到的同类项合并，系数相加减、字母和指数保持不变，就能得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$= (-3)^2 · (x^3)^2 - x^{2+4} - x^{2×3}$
$=9x^6 - x^6 - x^6$
$=7x^6$
(2) 原式$=a^{3+1+4} + (-2)^2 · (a^4)^2 + a^{2×4}$
$=a^8 +4a^8 +a^8$
$=6a^8$
【答案】
(1)$7x^6$；(2)$6a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题，主要考查对幂的三类运算规则的掌握程度，解题时要注意区分不同运算的指数变化规律，同时注意系数的符号计算，避免因混淆规则出现失误。
【难度系数】
0.8
