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基础知识·预习
问题1 举例说明同底数幂的除法是如何计算的.
问题2 举例说明如何进行单项式除以单项式的计算.
问题3 举例说明怎样将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
问题1 举例说明同底数幂的除法是如何计算的.
问题2 举例说明如何进行单项式除以单项式的计算.
问题3 举例说明怎样将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
答案
解：
问题1
同底数幂相除，底数不变，指数相减，运算法则为$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^7 ÷ 2^4$，代入法则可得$2^7 ÷ 2^4 = 2^{7-4}=2^3=8$，也可通过乘方定义验证：$\frac{\overbrace{2×2×2×2×2×2×2}^{7个2}}{\underbrace{2×2×2×2}_{4个2}}=2^3=8$。
问题2
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$15x^4y^3 ÷ 3x^2y$，计算步骤：
1. 系数相除：$15÷3=5$
2. 同底数幂分别相除：$x^4÷ x^2=x^{4-2}=x^2$，$y^3÷ y=y^{3-1}=y^2$
3. 合并得到最终结果：$5x^2y^2$
问题3
多项式除以单项式时，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(9a^3b^2 + 6a^2b) ÷ 3ab$，拆分转化为：
原式$= 9a^3b^2 ÷ 3ab + 6a^2b ÷ 3ab$
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到最终结果$3a^2b + 2a$。
问题1
同底数幂相除，底数不变，指数相减，运算法则为$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$都是正整数，且$m＞n$）。
举例：计算$2^7 ÷ 2^4$，代入法则可得$2^7 ÷ 2^4 = 2^{7-4}=2^3=8$，也可通过乘方定义验证：$\frac{\overbrace{2×2×2×2×2×2×2}^{7个2}}{\underbrace{2×2×2×2}_{4个2}}=2^3=8$。
问题2
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
举例：计算$15x^4y^3 ÷ 3x^2y$，计算步骤：
1. 系数相除：$15÷3=5$
2. 同底数幂分别相除：$x^4÷ x^2=x^{4-2}=x^2$，$y^3÷ y=y^{3-1}=y^2$
3. 合并得到最终结果：$5x^2y^2$
问题3
多项式除以单项式时，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即可将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式的运算。
举例：计算$(9a^3b^2 + 6a^2b) ÷ 3ab$，拆分转化为：
原式$= 9a^3b^2 ÷ 3ab + 6a^2b ÷ 3ab$
分别计算两个单项式除以单项式的运算，得到最终结果$3a^2b + 2a$。
【典型例题 1】计算：
(1)$a^7 ÷ a^4$；(2)$( \dfrac{3}{5} )^{10} ÷ ( \dfrac{3}{5} )^8$；
(3)$(xy)^4 ÷ (xy)$；(4)$-1^0 + (-2)^0$.
思路导引 按照同底数幂的除法与零指数幂的运算性质直接计算即可.
【解】(1)$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$.
(2)$( \dfrac{3}{5} )^{10} ÷ ( \dfrac{3}{5} )^8 = ( \dfrac{3}{5} )^{10-8} = ( \dfrac{3}{5} )^2 = \dfrac{9}{25}$.
(3)$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$.
(4)$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$.
规律方法 1. 在同底数幂的除法运算公式中，底数$a$可为单个数字或字母，也可以是单项式或多项式，但不能等于0，否则除数无意义.
2. 几个同底数幂相除，也有类似的计算，即$a^m ÷ a^n ÷ a^p = a^{m-n-p}$（$m,n,p$是正整数且$m ＞ n+p$，$a ≠ 0$）.
3. 指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂后，幂的运算法则仍然适用.
(1)$a^7 ÷ a^4$；(2)$( \dfrac{3}{5} )^{10} ÷ ( \dfrac{3}{5} )^8$；
(3)$(xy)^4 ÷ (xy)$；(4)$-1^0 + (-2)^0$.
思路导引 按照同底数幂的除法与零指数幂的运算性质直接计算即可.
【解】(1)$a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$.
(2)$( \dfrac{3}{5} )^{10} ÷ ( \dfrac{3}{5} )^8 = ( \dfrac{3}{5} )^{10-8} = ( \dfrac{3}{5} )^2 = \dfrac{9}{25}$.
(3)$(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$.
(4)$-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$.
规律方法 1. 在同底数幂的除法运算公式中，底数$a$可为单个数字或字母，也可以是单项式或多项式，但不能等于0，否则除数无意义.
2. 几个同底数幂相除，也有类似的计算，即$a^m ÷ a^n ÷ a^p = a^{m-n-p}$（$m,n,p$是正整数且$m ＞ n+p$，$a ≠ 0$）.
3. 指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂后，幂的运算法则仍然适用.
答案
解：
(1) $a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) $(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) $(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$
(4) $-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
(1) $a^7 ÷ a^4 = a^{7-4} = a^3$
(2) $(\dfrac{3}{5})^{10} ÷ (\dfrac{3}{5})^8 = (\dfrac{3}{5})^{10-8} = (\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{9}{25}$
(3) $(xy)^4 ÷ (xy) = (xy)^{4-1} = (xy)^3 = x^3y^3$
(4) $-1^0 + (-2)^0 = -1 + 1 = 0$
1. 下列计算正确的是 （
A.$ x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^5 $
B.$ (xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^2 $
C.$ x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = 1 $
D.$ x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^2 $
A
）A.$ x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^5 $
B.$ (xy)^8 ÷ (xy)^4 = (xy)^2 $
C.$ x^{4n} ÷ x^{2n} · x^{2n} = 1 $
D.$ x^{2(m+1)} ÷ x^{m+1} = x^2 $
答案
A 【解析】$x^{10} ÷ (x^7 ÷ x^2) = x^{10} ÷ x^5 = x^5$. 故选项A正确.
