典例 问题:已知矩形的长和宽分别为12和2,是否存在一个新矩形,使其周长和面积都为原矩形的一半?
在学习函数的知识后,小丽发现可利用函数知识,借助图象,成功解决这一问题.过程如下:
第一步:建立函数模型
设新矩形的长和宽分别为x和y,
(1)假如只考虑新矩形的周长为原矩形周长的一半,不考虑面积,那么y关于x的函数解析式是①,它的自变量x的取值范围是.
(2)假如只考虑新矩形的面积为原矩形面积的一半,不考虑周长,那么y关于x的函数解析式是②,它的自变量x的取值范围是.
第二步:画出函数图象
(3)在所给的平面直角坐标系中画出符合题意的函数①和函数②的大致图象.

第三步:同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半,观察图象,解决问题.
(4)这两个函数的图象在第一象限内有几个公共点?请解释公共点的意义.
(5)如果存在这样的新矩形,直接写出新矩形的长和宽;如果不存在,请说明理由.

解 (1)$y=7-x$ $0＜x＜7$
(2)$y=\frac{12}{x}$ $x＞0$
(3)列表：

描点、连线，如图所示：

(4)这两个函数的图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横、纵坐标表示当新矩形的周长和面积都为原矩形的一半时，新矩形的长和宽。
(5)存在. 新矩形的长为4，宽为3.