4.如图,点O是$△ ABC$的内心,以点O为圆心,3为半径作圆,分别交$△ ABC$的边于点$D,E,F,G,H,I$,连接$EG$和$DG$.若$∠ DGE=30°$,则$FG=$.

4. 3

5. 如图，AB是$\odot E$的直径，D是$\odot E$上不同于A，B的一点，F是$△ ABD$的内心，AF的延长线交$\odot E$于点C，连接EF，BF，BC.
(1)求证：$BF=\sqrt{2}BC$.
(2)若$BF=3\sqrt{2}$，$BF⊥ EF$，求AF的长.

5.(1) 证明:如图,由题意,得$∠1=∠2,∠3=∠4$,所以$∠1=∠2=∠5$,
所以$∠2+∠4=∠3+∠5$.
因为$∠CFB=∠2+∠4$,
所以$∠CFB=∠CBF$,
所以$CF=CB$.
因为 AB 是$\odot E$的直径,
所以$∠FCB=90°$,
所以$△FCB$是等腰直角三角形,
所以$BF=\sqrt{2}BC$.

(2) 解:$AF=6$.

6.如图，某工厂剩余一块$△ ABC$板材，其中$AB=100\ \mathrm{cm}$，$BC=160\ \mathrm{cm}$，$AC=140\ \mathrm{cm}$.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置，并求出$\odot O$的半径；若不可以，请说明理由.

6. 解:可以.因为三角形内最大的圆是三角形的内切圆,所以所求圆的圆心是$△ABC$的内心.作$∠ABC$和$∠ACB$的平分线 BE,CF 交于点 O,则点 O 就是裁出的最大圆形部件的圆心.过点 O 作$OH⊥BC$于点 H,$OP⊥AC$于点 P,$OQ⊥AB$于点 Q.连接 OA,过点 A 作$AM⊥BC$于点 M,如图所示.

设$BM=x\ \mathrm{cm}$,$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$.
因为$AB=100\ \mathrm{cm}$,$BC=160\ \mathrm{cm}$,$AC=140\ \mathrm{cm}$,
所以$CM=(160-x)\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ABM$中,由勾股定理,得$AM^2=AB^2-BM^2=100^2-x^2$.
在$\mathrm{Rt}△ACM$中,由勾股定理,得$AM^2=AC^2-CM^2=140^2-(160-x)^2$,
所以$100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$,
解得$x=50$.
所以$AM=\sqrt{100^2-50^2}=50\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AM=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$.
因为点 O 为$△ABC$的内心,
所以$OH=OP=OQ=r\ \mathrm{cm}$.
因为$S_{△OBC}+S_{△OCA}+S_{△OAB}=S_{△ABC}$,
所以$\frac{1}{2}BC·OH+\frac{1}{2}AC·OP+\frac{1}{2}AB·OQ=4000\sqrt{3}$,
即$(100+160+140)r=8000\sqrt{3}$,
所以$r=20\sqrt{3}$.
即$\odot O$的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.