11.如图①,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD。设花圃的宽AB为x m(宽AB不大于长BC),面积为S m²。
(1)求S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)请求出花圃ABCD能围成的最大面积,并写出此时x的值。
(3)如图②,为了方便出入,在建造矩形花圃时,在BC上用其他材料做了宽均为1 m的两扇小门,能否使围成的矩形花圃面积为51 m²?如果能,请求出花圃宽AB和长BC的值;如果不能,请说明理由。

解:(1)
∵AB=x m,
∴BC=(24−3x)m,
∴S=x(24−3x)=−3x²+24x。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤24−3x≤10。
∴$\dfrac{14}{3}$≤x≤6。
∴S 与 x 之间的关系式为 S=−3x²+24x$(\dfrac{14}{3}≤ x≤6)$。
(2)
∵S=−3x²+24x=−3(x²−8x)=−3(x−4)²+48,且−3＜0,
∴当 x＞4 时,y 随 x 的增大而减小。
又
∵$\dfrac{14}{3}$≤x≤6,
∴S 有最大值,最大值为$\dfrac{140}{3}$。
∴花圃 ABCD 能围成的最大面积为$\dfrac{140}{3}$ m²,此时 x 的值为$\dfrac{14}{3}$。
(3)能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。
理由:
∵AB=x m,
∴BC=24−3x+2=(26−3x) m,
∴S=x·(26−3x)=−3x²+26x。
令 S=51,则−3x²+26x=51,
解得 $x_1=\dfrac{17}{3},x_2=3$。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤26−3x≤10。
∴$\dfrac{16}{3}$≤x≤$\dfrac{13}{2}$。
∴x=$\dfrac{17}{3}$,此时 26−3x=26−17=9,
∴当 AB=$\dfrac{17}{3}$m,BC=9 m 时,能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。

12.一段长为25 m的墙MN前有一块矩形空地ABCD，用90 m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为5 m的正方形，设CD=x m。
(1)若矩形CDHG的面积为125 m²，求CD的长。
(2)当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？

(1) 易得 AB=HG=CD=x cm，EF=BG=5 m，
∴GC=90−3x−10=(80−3x) m。
∴x(80−3x)=125，
解得 x₁=25，x₂=5/3。
∵BC=80−3x+5≤25，
∴x≥20。
∴x=25。
∴CD 的长为 25 m。
(2) 设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S=BC·CD=x·(80−3x+5)=−3(x−85/6)² + 7225/12。
∵−3＜0，x≥20，
∴当 x=20 时，S 取得最大值，最大值为−3×(20−85/6)² + 7225/12=500，
即当 CD 的长为 20 m 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积是 500 m²。