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1. 已知$a=b$,则下列变形中,正确的个数为（
①$a-1=b-1$;②$am=bm$;③$\frac{a}{b}=1$;④$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）①$a-1=b-1$;②$am=bm$;③$\frac{a}{b}=1$;④$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时先回忆等式的两个基本性质，再逐一验证4个变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制，同时结合非负数的性质判断分母的取值范围，最终统计正确变形的个数。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
我们逐个分析4个变形：
①已知a=b，等式两边同时减去1，符合等式性质1，可得a-1=b-1，故①正确；
②已知a=b，等式两边同时乘m，符合等式性质2的乘法规则，无论m取何值，am=bm都成立，故②正确；
③当a=b=0时，分母b=0，分式$\frac{a}{b}$无意义，因此该变形不恒成立，故③错误；
④由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1≠0$，等式a=b两边同时除以不为0的$c^2+1$，符合等式性质2的除法规则，可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，故④正确。
综上，正确的变形有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；分式有意义的条件；非负数的性质
【点评】
本题属于等式性质的常规考查题，易错点是判断变形③时遗漏a=b=0的特殊情况，误将其判定为正确，解题时要格外注意除法运算中除数不能为0的要求。
【难度系数】
0.7
本题考查等式基本性质的应用，解题时先回忆等式的两个基本性质，再逐一验证4个变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边作除法运算时，除数不能为0的限制，同时结合非负数的性质判断分母的取值范围，最终统计正确变形的个数。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
2. 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
我们逐个分析4个变形：
①已知a=b，等式两边同时减去1，符合等式性质1，可得a-1=b-1，故①正确；
②已知a=b，等式两边同时乘m，符合等式性质2的乘法规则，无论m取何值，am=bm都成立，故②正确；
③当a=b=0时，分母b=0，分式$\frac{a}{b}$无意义，因此该变形不恒成立，故③错误；
④由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1≠0$，等式a=b两边同时除以不为0的$c^2+1$，符合等式性质2的除法规则，可得$\frac{a}{c^2+1}=\frac{b}{c^2+1}$，故④正确。
综上，正确的变形有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；分式有意义的条件；非负数的性质
【点评】
本题属于等式性质的常规考查题，易错点是判断变形③时遗漏a=b=0的特殊情况，误将其判定为正确，解题时要格外注意除法运算中除数不能为0的要求。
【难度系数】
0.7
2. 解方程：$\frac{0.3x - 0.5}{0.3} + 1.5 = \frac{0.5 + 0.4x}{0.6}$
答案
2.解:原方程整理,得 $\frac{3x-5}{3}+\frac{3}{2}=\frac{5+4x}{6}$. 去分母,得 $2(3x-5)+9=5+4x$. 去括号,得 $6x-10+9=5+4x$. 移项,得 $6x-4x=5+10-9$. 合并同类项,得 $2x=6$. 两边同除以 2,得 $x=3$.
解析
【分析】
首先观察方程，发现各项的分母是小数，第一步可利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同的倍数，把小数分母转化为整数分母，简化方程；之后按照解一元一次方程的常规步骤依次计算：先去分母（注意不要漏乘不含分母的常数项），再去括号，然后移项（移项要变号），接着合并同类项，最后将系数化为1即可求出x的值。
【解析】
解：原方程整理，利用分数的基本性质将小数分母化为整数，得
$\frac{3x-5}{3}+\frac{3}{2}=\frac{5+4x}{6}$
去分母，方程两边同时乘6，得
$2(3x-5)+9=5+4x$
去括号，得
$6x-10+9=5+4x$
移项，将含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，得
$6x-4x=5+10-9$
合并同类项，得
$2x=6$
两边同除以2，将系数化为1，得
$x=3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
1.分数的基本性质
2.等式的基本性质
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题是解一元一次方程的常见题型，核心是先处理小数分母降低计算难度，再按常规解方程步骤计算，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号两个易错点，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先观察方程，发现各项的分母是小数，第一步可利用分数的基本性质，将分子分母同时扩大相同的倍数，把小数分母转化为整数分母，简化方程；之后按照解一元一次方程的常规步骤依次计算：先去分母（注意不要漏乘不含分母的常数项），再去括号，然后移项（移项要变号），接着合并同类项，最后将系数化为1即可求出x的值。
【解析】
解：原方程整理，利用分数的基本性质将小数分母化为整数，得
$\frac{3x-5}{3}+\frac{3}{2}=\frac{5+4x}{6}$
去分母，方程两边同时乘6，得
$2(3x-5)+9=5+4x$
去括号，得
$6x-10+9=5+4x$
移项，将含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，得
$6x-4x=5+10-9$
合并同类项，得
$2x=6$
两边同除以2，将系数化为1，得
$x=3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
1.分数的基本性质
2.等式的基本性质
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题是解一元一次方程的常见题型，核心是先处理小数分母降低计算难度，再按常规解方程步骤计算，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号两个易错点，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
1.(湖南永州)关于x的一元一次方程$2x+m=5$的解为$x=1$，则$m$的值为（
A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
A
）A.3
B.$-3$
C.7
D.$-7$
答案
1.A
解析
【分析】
本题已知一元一次方程的解，求参数m的值，解题核心是利用方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们只需将x=1代入原方程，就能得到一个只含有m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$2x+m=5$的解
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$2×1 + m = 5$
即$2 + m = 5$
移项得：$m = 5 - 2$
计算得：$m = 3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对方程解的概念的理解，计算量小，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
本题已知一元一次方程的解，求参数m的值，解题核心是利用方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们只需将x=1代入原方程，就能得到一个只含有m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$2x+m=5$的解
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$2×1 + m = 5$
即$2 + m = 5$
移项得：$m = 5 - 2$
计算得：$m = 3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对方程解的概念的理解，计算量小，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2.【数学文化】(四川成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何?其大意是:今有人合伙买琎石,每人出$\frac{1}{2}$钱,会多出4钱;每人出$\frac{1}{3}$钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少?设人数为$x$,琎价为$y$,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x + 4, \\ y=\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x - 4, \\ y=\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x - 4, \\ y=\frac{1}{3}x - 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x + 4, \\ y=\frac{1}{3}x - 3 \end{cases}$
B
)A.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x + 4, \\ y=\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x - 4, \\ y=\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x - 4, \\ y=\frac{1}{3}x - 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x + 4, \\ y=\frac{1}{3}x - 3 \end{cases}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题型，解题核心是找准两个等量关系。首先明确“盈”指总出钱数比物品价格多，“不足”指总出钱数比物品价格少。第一步，根据“每人出$\frac{1}{2}$钱，盈4”的条件，推导琎价和总出钱的关系；第二步，根据“每人出$\frac{1}{3}$钱，不足3”的条件，推导第二个关系式，最后联立两个方程匹配选项即可。
【解析】
设人数为$x$，琎价为$y$：
1. 每人出$\frac{1}{2}$钱时，总出钱为$\frac{1}{2}x$，此时多出4钱，说明总出钱比琎价多4，可列等式：$\frac{1}{2}x - y = 4$，变形得：$y=\frac{1}{2}x - 4$；
2. 每人出$\frac{1}{3}$钱时，总出钱为$\frac{1}{3}x$，此时差3钱，说明总出钱比琎价少3，可列等式：$y - \frac{1}{3}x = 3$，变形得：$y=\frac{1}{3}x + 3$。
联立两个方程得到的方程组对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；盈亏问题建模
【点评】
本题结合中国传统数学文化命题，考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，解题的关键是准确理解“盈”“不足”的含义，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
本题是根据实际问题列二元一次方程组的题型，解题核心是找准两个等量关系。首先明确“盈”指总出钱数比物品价格多，“不足”指总出钱数比物品价格少。第一步，根据“每人出$\frac{1}{2}$钱，盈4”的条件，推导琎价和总出钱的关系；第二步，根据“每人出$\frac{1}{3}$钱，不足3”的条件，推导第二个关系式，最后联立两个方程匹配选项即可。
【解析】
设人数为$x$，琎价为$y$：
1. 每人出$\frac{1}{2}$钱时，总出钱为$\frac{1}{2}x$，此时多出4钱，说明总出钱比琎价多4，可列等式：$\frac{1}{2}x - y = 4$，变形得：$y=\frac{1}{2}x - 4$；
2. 每人出$\frac{1}{3}$钱时，总出钱为$\frac{1}{3}x$，此时差3钱，说明总出钱比琎价少3，可列等式：$y - \frac{1}{3}x = 3$，变形得：$y=\frac{1}{3}x + 3$。
联立两个方程得到的方程组对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；盈亏问题建模
【点评】
本题结合中国传统数学文化命题，考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，解题的关键是准确理解“盈”“不足”的含义，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
3.【整体思想】已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$ax+by=3$的解，则代数式$2a+4b-5$的值为 ______ 。
答案
3.1
解析
【分析】
解题思路：首先根据二元一次方程解的定义，把已知的x、y的值代入原方程，得到a和b的数量关系；再观察所求代数式的结构，通过变形将得到的a、b的关系式整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=3$，得：
$a×1 + b×2 = 3$，整理得$a+2b=3$。
2. 对代数式$2a+4b-5$变形，提取公因数2可得：
$2a+4b-5=2(a+2b)-5$。
3. 将$a+2b=3$整体代入上式计算：
$2×3 -5=6-5=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题重点考查方程解的应用和整体思想的运用，属于代数式求值类的基础常考题型，解题时灵活运用整体代入可减少计算量。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据二元一次方程解的定义，把已知的x、y的值代入原方程，得到a和b的数量关系；再观察所求代数式的结构，通过变形将得到的a、b的关系式整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+by=3$，得：
$a×1 + b×2 = 3$，整理得$a+2b=3$。
2. 对代数式$2a+4b-5$变形，提取公因数2可得：
$2a+4b-5=2(a+2b)-5$。
3. 将$a+2b=3$整体代入上式计算：
$2×3 -5=6-5=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解；整体代入求值
【点评】
本题重点考查方程解的应用和整体思想的运用，属于代数式求值类的基础常考题型，解题时灵活运用整体代入可减少计算量。
【难度系数】
0.8
4.(阜阳二模)某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地,甲菜地去年收获$x$ kg西兰花,乙菜地去年收获$y$ kg西兰花.今年在县技术专家的帮助下,甲菜地增收10%,乙菜地增收15%.
(1)今年两块菜地共收获
(2)若去年两块菜地共收获10 000 kg西兰花,今年共收获11 200 kg西兰花,求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西兰花.
(1)今年两块菜地共收获
1.1x+1.15y
kg西兰花;(用含$x,y$的代数式表示)(2)若去年两块菜地共收获10 000 kg西兰花,今年共收获11 200 kg西兰花,求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西兰花.
答案
4.(1)$(1.1x+1.15y)$ (2)根据题意,得 $\begin{cases} x+y=10\ 000, \\ 1.1x+1.15y=11\ 200. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=6\ 000, \\ y=4\ 000. \end{cases}$ $(1+10\%)x=1.1×6\ 000=6\ 600$,$(1+15\%)y=1.15×4\ 000=4\ 600$.答:甲菜地今年收获6 600 kg西兰花,乙菜地今年收获4 600 kg西兰花.
解析
【分析】
（1）解决第一问需先分别计算两块菜地今年的产量：甲菜地增收10%，即今年产量是去年的(1+10%)倍，乙菜地增收15%，即今年产量是去年的(1+15%)倍，再将两块地今年的产量相加即可得到总产的代数式。
（2）第二问有两个明确的等量关系：①去年甲菜地产量+去年乙菜地产量=10000kg；②今年甲菜地产量+今年乙菜地产量=11200kg。我们可以根据等量关系列二元一次方程组，先求出去年的产量，再换算成今年的产量即可，注意所求为今年的产量，不能直接把解得的去年产量作为最终结果。
【解析】
（1）甲菜地今年产量为$(1+10\%)x=1.1x$（kg），乙菜地今年产量为$(1+15\%)y=1.15y$（kg），因此今年两块地共收获$(1.1x+1.15y)$kg。
（2）根据题意，可列二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=10\ 000 \\ 1.1x+1.15y=11\ 200 \end{cases}$
由第一个方程得$x=10000-y$，将其代入第二个方程：
$1.1×(10000-y)+1.15y=11200$
展开计算得$11000-1.1y+1.15y=11200$
合并同类项得$11000+0.05y=11200$
解得$y=4000$
将$y=4000$代入$x=10000-y$，得$x=6000$
则甲菜地今年产量为$1.1x=1.1×6000=6600$（kg）
乙菜地今年产量为$1.15y=1.15×4000=4600$（kg）
【答案】
(1) $(1.1x+1.15y)$
(2) 甲菜地今年收获6600 kg西兰花，乙菜地今年收获4600 kg西兰花。
【知识点】
1. 列代数式
2. 二元一次方程组的应用
3. 增长率计算
【点评】
本题结合农业生产实际场景命题，侧重考查学生从题干中提取等量关系、利用代数知识解决实际问题的能力，解题时需注意区分去年和今年的产量，避免出现求解出去年产量后直接作为答案的错误。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需先分别计算两块菜地今年的产量：甲菜地增收10%，即今年产量是去年的(1+10%)倍，乙菜地增收15%，即今年产量是去年的(1+15%)倍，再将两块地今年的产量相加即可得到总产的代数式。
（2）第二问有两个明确的等量关系：①去年甲菜地产量+去年乙菜地产量=10000kg；②今年甲菜地产量+今年乙菜地产量=11200kg。我们可以根据等量关系列二元一次方程组，先求出去年的产量，再换算成今年的产量即可，注意所求为今年的产量，不能直接把解得的去年产量作为最终结果。
【解析】
（1）甲菜地今年产量为$(1+10\%)x=1.1x$（kg），乙菜地今年产量为$(1+15\%)y=1.15y$（kg），因此今年两块地共收获$(1.1x+1.15y)$kg。
（2）根据题意，可列二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=10\ 000 \\ 1.1x+1.15y=11\ 200 \end{cases}$
由第一个方程得$x=10000-y$，将其代入第二个方程：
$1.1×(10000-y)+1.15y=11200$
展开计算得$11000-1.1y+1.15y=11200$
合并同类项得$11000+0.05y=11200$
解得$y=4000$
将$y=4000$代入$x=10000-y$，得$x=6000$
则甲菜地今年产量为$1.1x=1.1×6000=6600$（kg）
乙菜地今年产量为$1.15y=1.15×4000=4600$（kg）
【答案】
(1) $(1.1x+1.15y)$
(2) 甲菜地今年收获6600 kg西兰花，乙菜地今年收获4600 kg西兰花。
【知识点】
1. 列代数式
2. 二元一次方程组的应用
3. 增长率计算
【点评】
本题结合农业生产实际场景命题，侧重考查学生从题干中提取等量关系、利用代数知识解决实际问题的能力，解题时需注意区分去年和今年的产量，避免出现求解出去年产量后直接作为答案的错误。
【难度系数】
0.7
5.(山西)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 g.已知从2.5 t废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6 t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
答案
5.解:设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 x g,白银 y g. 根据题意,得 $\begin{cases} y=x+760, \\ 2.5x=0.6y. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=240, \\ y=1\ 000. \end{cases}$ 答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 240 g,白银 1 000 g.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：①确定未知量：题目要求每吨废旧手机中提炼的黄金、白银克数，因此设这两个量分别为x g、y g；②找等量关系：第一个等量关系为“每吨中提炼的白银比黄金多760g”，即$y = x + 760$；第二个等量关系为“2.5t废旧手机提炼的黄金总克数=0.6t废旧手机提炼的白银总克数”，即$2.5x = 0.6y$；③根据等量关系列方程组，用代入消元法求解即可，最后验证结果符合实际意义。
【解析】
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$x$ g，白银$y$ g。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases} y=x+760, \quad \mathrm{①} \\ 2.5x=0.6y. \quad \mathrm{②} \end{cases}$
把①代入②，得：
$2.5x = 0.6(x + 760)$
展开计算：$2.5x = 0.6x + 456$
移项合并同类项：$1.9x = 456$
解得：$x = 240$
把$x=240$代入①，得：$y = 240 + 760 = 1000$
经检验，$x=240$、$y=1000$符合题意。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1000 g。
【答案】
从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1000 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合废旧电子产品回收的现实情境出题，既考察了学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解的能力，也能引导学生关注环保、树立资源回收利用的意识，解题关键是准确找到两个对应等量关系。
【难度系数】
0.75
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：①确定未知量：题目要求每吨废旧手机中提炼的黄金、白银克数，因此设这两个量分别为x g、y g；②找等量关系：第一个等量关系为“每吨中提炼的白银比黄金多760g”，即$y = x + 760$；第二个等量关系为“2.5t废旧手机提炼的黄金总克数=0.6t废旧手机提炼的白银总克数”，即$2.5x = 0.6y$；③根据等量关系列方程组，用代入消元法求解即可，最后验证结果符合实际意义。
【解析】
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金$x$ g，白银$y$ g。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases} y=x+760, \quad \mathrm{①} \\ 2.5x=0.6y. \quad \mathrm{②} \end{cases}$
把①代入②，得：
$2.5x = 0.6(x + 760)$
展开计算：$2.5x = 0.6x + 456$
移项合并同类项：$1.9x = 456$
解得：$x = 240$
把$x=240$代入①，得：$y = 240 + 760 = 1000$
经检验，$x=240$、$y=1000$符合题意。
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1000 g。
【答案】
从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1000 g。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题结合废旧电子产品回收的现实情境出题，既考察了学生从实际问题中提取等量关系、列方程组求解的能力，也能引导学生关注环保、树立资源回收利用的意识，解题关键是准确找到两个对应等量关系。
【难度系数】
0.75
