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1. 下列各式中，是关于 $ x,y $ 的二元一次方程的是 （
A.$ x - 2y = 3 $
B.$ x + xy - 3 = 0 $
C.$ 2x + y $
D.$ \frac{2}{x} - y = 1 $
A
）A.$ x - 2y = 3 $
B.$ x + xy - 3 = 0 $
C.$ 2x + y $
D.$ \frac{2}{x} - y = 1 $
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二元一次方程，需紧扣二元一次方程的三个核心判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数为1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。我们只需逐个对照条件分析四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的判定标准：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对选项A：$x-2y=3$，含有x、y两个未知数，x和-2y的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
对选项B：$x+xy-3=0$，其中$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
对选项C：$2x+y$是代数式，不是含有未知数的等式，因此不是方程，排除；
对选项D：$\frac{2}{x}-y=1$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程的三个判定要点，做题时需注意不要忽略“整式方程”“含未知数的项次数为1”这些易错细节，避免误选。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二元一次方程，需紧扣二元一次方程的三个核心判定条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数为1；③是整式方程（即分母中不含未知数）。我们只需逐个对照条件分析四个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的判定标准：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对选项A：$x-2y=3$，含有x、y两个未知数，x和-2y的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
对选项B：$x+xy-3=0$，其中$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
对选项C：$2x+y$是代数式，不是含有未知数的等式，因此不是方程，排除；
对选项D：$\frac{2}{x}-y=1$的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程的三个判定要点，做题时需注意不要忽略“整式方程”“含未知数的项次数为1”这些易错细节，避免误选。
【难度系数】
0.8
2. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（
A.如果$a=b$，那么$a+c=b-c$
B.如果$a^2=3a$，那么$a=3$
C.如果$a=b$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
D.如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，那么$a=b$
D
）A.如果$a=b$，那么$a+c=b-c$
B.如果$a^2=3a$，那么$a=3$
C.如果$a=b$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
D.如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，那么$a=b$
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题首先要熟练掌握等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边作除法运算时，除数不能为0这个核心限制。解题时先回忆等式性质的具体内容，再逐个排查错误选项，就能快速锁定正确答案。
【解析】
根据等式的基本性质逐个分析选项：
1. 选项A：等式性质1规定，等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立。若$a=b$，两边同时加c应得到$a+c=b+c$，而非$a+c=b-c$，因此A错误。
2. 选项B：当$a=0$时，左边$a^2=0$，右边$3a=0$，等式$a^2=3a$也成立，因此a的取值可以是0或3，不是只有$a=3$，因此B错误。
3. 选项C：等式性质2规定，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。该选项的变形是两边同时除以c，但没有说明$c≠0$，若c=0时分式无意义，变形不成立，因此C错误。
4. 选项D：已知$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，说明分母c有意义，隐含$c≠0$的前提，此时两边同时乘c，可得$a=b$，符合等式性质要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形的限制条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，易错点是容易忽略等式两边除以含字母的式子时，必须先确认式子不为0，很多同学会漏看C选项未说明$c≠0$的问题，或者忽略B选项中$a=0$的特殊情况导致失分。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要熟练掌握等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，尤其要注意等式两边作除法运算时，除数不能为0这个核心限制。解题时先回忆等式性质的具体内容，再逐个排查错误选项，就能快速锁定正确答案。
【解析】
根据等式的基本性质逐个分析选项：
1. 选项A：等式性质1规定，等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立。若$a=b$，两边同时加c应得到$a+c=b+c$，而非$a+c=b-c$，因此A错误。
2. 选项B：当$a=0$时，左边$a^2=0$，右边$3a=0$，等式$a^2=3a$也成立，因此a的取值可以是0或3，不是只有$a=3$，因此B错误。
3. 选项C：等式性质2规定，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。该选项的变形是两边同时除以c，但没有说明$c≠0$，若c=0时分式无意义，变形不成立，因此C错误。
4. 选项D：已知$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，说明分母c有意义，隐含$c≠0$的前提，此时两边同时乘c，可得$a=b$，符合等式性质要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形的限制条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，易错点是容易忽略等式两边除以含字母的式子时，必须先确认式子不为0，很多同学会漏看C选项未说明$c≠0$的问题，或者忽略B选项中$a=0$的特殊情况导致失分。
【难度系数】
0.7
3.若方程组$\begin{cases} y^{|m|}+(2-n)xy=2, \\ (m-1)x=3 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组，则$m^n=$ .
答案
3.1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心定义：方程组一共含有2个未知数，含未知数的项的最高次数为1，且所有方程都是整式方程。我们对照定义逐一列出限制条件：1. 第一个方程中y的次数必须是1，因此|m|=1；2. 项(2-n)xy是x和y的乘积项，次数为2，二元一次方程不允许有二次项，因此该项系数必须为0，即2-n=0；3. 第二个方程(m-1)x=3要保证x是有效未知数，因此x的系数不能为0，否则要么方程无解，要么缺少未知数x。求出m、n的取值后代入计算mⁿ即可。
【解析】
解：
∵该方程组是关于x,y的二元一次方程组
∴根据二元一次方程组的定义，可列条件：
1. 保证y的次数为1：$\left|m\right|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 消去二次项：$2-n=0$，解得$n=2$
3. 保证x为有效未知数：$m-1≠0$，即$m≠1$
结合上述条件，可得$m=-1$，$n=2$
代入计算得：$m^n=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的定义、绝对值的性质、有理数的乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组定义的全面理解，易错点是忽略xy项属于二次项需系数为0，或忘记x的系数不能为0误取m=1，解题时要逐一核对定义的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的核心定义：方程组一共含有2个未知数，含未知数的项的最高次数为1，且所有方程都是整式方程。我们对照定义逐一列出限制条件：1. 第一个方程中y的次数必须是1，因此|m|=1；2. 项(2-n)xy是x和y的乘积项，次数为2，二元一次方程不允许有二次项，因此该项系数必须为0，即2-n=0；3. 第二个方程(m-1)x=3要保证x是有效未知数，因此x的系数不能为0，否则要么方程无解，要么缺少未知数x。求出m、n的取值后代入计算mⁿ即可。
【解析】
解：
∵该方程组是关于x,y的二元一次方程组
∴根据二元一次方程组的定义，可列条件：
1. 保证y的次数为1：$\left|m\right|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 消去二次项：$2-n=0$，解得$n=2$
3. 保证x为有效未知数：$m-1≠0$，即$m≠1$
结合上述条件，可得$m=-1$，$n=2$
代入计算得：$m^n=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的定义、绝对值的性质、有理数的乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组定义的全面理解，易错点是忽略xy项属于二次项需系数为0，或忘记x的系数不能为0误取m=1，解题时要逐一核对定义的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
4. 若关于$x$的一元一次方程$\frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1$的解是$x = -1$，则$k$的值是（
A.$\frac{2}{7}$
B.$1$
C.$-\frac{13}{11}$
D.$0$
B
）A.$\frac{2}{7}$
B.$1$
C.$-\frac{13}{11}$
D.$0$
答案
4.B
解析
【分析】
已知x=-1是一元一次方程的解，根据方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，我们可以将x=-1直接代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可得到k的值。
【解析】
将$x=-1$代入方程$\frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1$，可得：
$\frac{2×(-1)-k}{3}-\frac{-1-3k}{2}=1$
去分母，两边同时乘以6（3和2的最小公倍数），得：
$2(-2 - k) - 3(-1 - 3k) = 6$
去括号，得：
$-4 - 2k + 3 + 9k = 6$
合并同类项，得：
$7k - 1 = 6$
移项，得：
$7k = 6 + 1$
$7k = 7$
系数化为1，得：
$k = 1$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的方程解代入原式，将问题转化为关于参数的一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.8
已知x=-1是一元一次方程的解，根据方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，我们可以将x=-1直接代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可得到k的值。
【解析】
将$x=-1$代入方程$\frac{2x - k}{3} - \frac{x - 3k}{2} = 1$，可得：
$\frac{2×(-1)-k}{3}-\frac{-1-3k}{2}=1$
去分母，两边同时乘以6（3和2的最小公倍数），得：
$2(-2 - k) - 3(-1 - 3k) = 6$
去括号，得：
$-4 - 2k + 3 + 9k = 6$
合并同类项，得：
$7k - 1 = 6$
移项，得：
$7k = 6 + 1$
$7k = 7$
系数化为1，得：
$k = 1$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的方程解代入原式，将问题转化为关于参数的一元一次方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是得分的关键。
【难度系数】
0.8
5. 若关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}ax - by = 4, \\cx + dy = 44\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=8, \\y=4,\end{cases}$ 则关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}a(x+2)-b(y-1)=4, \\c(x+2)+d(y-1)=44\end{cases}$ 的解是 ______。
答案
5.$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解的含义：把解代入原方程组，两个方程都成立。接下来观察两个方程组的结构，发现第二个方程组和第一个方程组的形式完全一致，仅将第一个方程组中的$x$替换成了$(x+2)$，$y$替换成了$(y-1)$。由此可直接对应得到相等关系：第二个方程组里的$(x+2)$等于第一个方程组的解$x=8$，$(y-1)$等于第一个方程组的解$y=4$，最后解两个一元一次方程即可得到答案。
【解析】
∵ 方程组 $\begin{cases}ax - by = 4, \\cx + dy = 44\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=8, \\y=4,\end{cases}$
对比方程组 $\begin{cases}a(x+2)-b(y-1)=4, \\c(x+2)+d(y-1)=44\end{cases}$ 的结构，可知两个方程组形式完全相同，仅将第一个方程组中的$x$替换为$(x+2)$，$y$替换为$(y-1)$
∴ 可列等式：$\begin{cases}x+2=8 \\ y-1=4\end{cases}$
分别求解：
由$x+2=8$，解得$x=8-2=6$
由$y-1=4$，解得$y=4+1=5$
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；一元一次方程的解法；整体思想
【点评】
本题不需要计算参数$a、b、c、d$的具体值，核心是通过观察两个方程组的结构特征，用整体对应的思路快速求解，能大幅简化运算，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
首先明确二元一次方程组的解的含义：把解代入原方程组，两个方程都成立。接下来观察两个方程组的结构，发现第二个方程组和第一个方程组的形式完全一致，仅将第一个方程组中的$x$替换成了$(x+2)$，$y$替换成了$(y-1)$。由此可直接对应得到相等关系：第二个方程组里的$(x+2)$等于第一个方程组的解$x=8$，$(y-1)$等于第一个方程组的解$y=4$，最后解两个一元一次方程即可得到答案。
【解析】
∵ 方程组 $\begin{cases}ax - by = 4, \\cx + dy = 44\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=8, \\y=4,\end{cases}$
对比方程组 $\begin{cases}a(x+2)-b(y-1)=4, \\c(x+2)+d(y-1)=44\end{cases}$ 的结构，可知两个方程组形式完全相同，仅将第一个方程组中的$x$替换为$(x+2)$，$y$替换为$(y-1)$
∴ 可列等式：$\begin{cases}x+2=8 \\ y-1=4\end{cases}$
分别求解：
由$x+2=8$，解得$x=8-2=6$
由$y-1=4$，解得$y=4+1=5$
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；一元一次方程的解法；整体思想
【点评】
本题不需要计算参数$a、b、c、d$的具体值，核心是通过观察两个方程组的结构特征，用整体对应的思路快速求解，能大幅简化运算，避免无效计算。
【难度系数】
0.7
6. 解下列方程(组)：
(1) $x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3}$；
(2) $\begin{cases} x + 4y = 14, ① \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}; ② \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 3x - y + 2z = 3, ① \\ 2x + y - 4z = 11, ② \\ 7x + y - 5z = 61. ③ \end{cases}$
(1) $x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3}$；
(2) $\begin{cases} x + 4y = 14, ① \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}; ② \end{cases}$
(3) $\begin{cases} 3x - y + 2z = 3, ① \\ 2x + y - 4z = 11, ② \\ 7x + y - 5z = 61. ③ \end{cases}$
答案
6.解:(1)去分母,得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1)$.去括号,得 $6x-3x+6=6+4x-2$.移项,得 $6x-3x-4x=6-6-2$.合并同类项,得$-x=-2$.两边同除以$-1$,得 $x=2$;(2)方程②整理,得 $3x-4y=-2$. ③ ①+③,得 $4x=12$. $x=3$.把 $x=3$ 代入①,得 $3+4y=14$. $4y=11$. $y=\frac{11}{4}$.所以$\begin{cases} x=3, \\ y=\frac{11}{4}; \end{cases}$(3)①+②,得 $5x-2z=14$.④ ③-②,得 $5x-z=50$.⑤ ⑤-④,得 $z=36$.把 $z=36$ 代入④,得$x=17.2$.把 $z=36,x=17.2$ 代入②,得 $y=120.6$.所以$\begin{cases} x=17.2, \\ y=120.6, \\ z=36. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 本题为一元一次方程，按照解一元一次方程的常规步骤求解即可：先找到分母2和3的最小公倍数6，方程两边同时乘6去分母，注意常数项也要乘公倍数避免漏乘；再去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；随后移项，移项要改变符号；合并同类项后将x的系数化为1即可得到结果。
(2) 本题为二元一次方程组，先将带分母的方程②去分母整理为标准整式方程，观察发现整理后的方程与方程①中y的系数互为相反数，用加减消元法消去y先求出x的值，再将x代入①即可求出y的值，得到方程组的解。
(3) 本题为三元一次方程组，核心思路是消元降为二元一次方程组求解：观察三个方程中y的系数分别为-1、1、1，将①+②消去y得到仅含x、z的方程④，再将③-②消去y得到另一个仅含x、z的方程⑤，联立④⑤用加减消元法求出x、z的值，最后将x、z代入原方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 去分母，得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1)$
去括号，得 $6x-3x+6=6+4x-2$
移项，得 $6x-3x-4x=6-6-2$
合并同类项，得 $-x=-2$
两边同除以$-1$，得 $x=2$
(2) 方程②两边同乘12去分母，整理得 $3x-4y=-2$ ③
①+③，得 $4x=12$，解得 $x=3$
把 $x=3$ 代入①，得 $3+4y=14$，解得 $4y=11$，即 $y=\frac{11}{4}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=\frac{11}{4}; \end{cases}$
(3) ①+②，得 $5x-2z=14$ ④
③-②，得 $5x-z=50$ ⑤
⑤-④，得 $z=36$
把 $z=36$ 代入④，得 $x=17.2$
把 $z=36,x=17.2$ 代入②，得 $y=120.6$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=17.2, \\ y=120.6, \\ z=36. \end{cases}$
【答案】
(1) $x=2$；
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=\frac{11}{4}; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=17.2, \\ y=120.6, \\ z=36. \end{cases}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，三元一次方程组解法
【点评】
这三道题是一次方程（组）的常规基础题，核心解题逻辑是去分母、消元降次，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，多步运算时需仔细，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为一元一次方程，按照解一元一次方程的常规步骤求解即可：先找到分母2和3的最小公倍数6，方程两边同时乘6去分母，注意常数项也要乘公倍数避免漏乘；再去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；随后移项，移项要改变符号；合并同类项后将x的系数化为1即可得到结果。
(2) 本题为二元一次方程组，先将带分母的方程②去分母整理为标准整式方程，观察发现整理后的方程与方程①中y的系数互为相反数，用加减消元法消去y先求出x的值，再将x代入①即可求出y的值，得到方程组的解。
(3) 本题为三元一次方程组，核心思路是消元降为二元一次方程组求解：观察三个方程中y的系数分别为-1、1、1，将①+②消去y得到仅含x、z的方程④，再将③-②消去y得到另一个仅含x、z的方程⑤，联立④⑤用加减消元法求出x、z的值，最后将x、z代入原方程求出y的值即可。
【解析】
(1) 去分母，得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1)$
去括号，得 $6x-3x+6=6+4x-2$
移项，得 $6x-3x-4x=6-6-2$
合并同类项，得 $-x=-2$
两边同除以$-1$，得 $x=2$
(2) 方程②两边同乘12去分母，整理得 $3x-4y=-2$ ③
①+③，得 $4x=12$，解得 $x=3$
把 $x=3$ 代入①，得 $3+4y=14$，解得 $4y=11$，即 $y=\frac{11}{4}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=\frac{11}{4}; \end{cases}$
(3) ①+②，得 $5x-2z=14$ ④
③-②，得 $5x-z=50$ ⑤
⑤-④，得 $z=36$
把 $z=36$ 代入④，得 $x=17.2$
把 $z=36,x=17.2$ 代入②，得 $y=120.6$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=17.2, \\ y=120.6, \\ z=36. \end{cases}$
【答案】
(1) $x=2$；
(2) $\begin{cases} x=3, \\ y=\frac{11}{4}; \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=17.2, \\ y=120.6, \\ z=36. \end{cases}$
【知识点】
一元一次方程解法，二元一次方程组解法，三元一次方程组解法
【点评】
这三道题是一次方程（组）的常规基础题，核心解题逻辑是去分母、消元降次，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，多步运算时需仔细，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
7.有甲、乙、丙三种货物，购买5件甲、2件乙、4件丙共需要80元；购买3件甲、6件乙、4件丙共需144元，则购买甲、乙、丙各一件需要元
（
A.14
B.28
C.30
D.56
（
B
）A.14
B.28
C.30
D.56
答案
7.B
解析
【分析】
我们可以先设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两种购买方案的总价，可列出两个含x、y、z的方程。由于未知数有3个、方程只有2个，无法单独求出x、y、z的具体值，此时观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加后，x、y、z的系数相同，都为8，整体除以8即可直接得到x+y+z的值，也就是各买一件的总费用。
【解析】
设购买1件甲需x元，1件乙需y元，1件丙需z元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 2y + 4z = 80 \quad ①\\3x + 6y + 4z = 144 \quad ②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$5x+2y+4z + 3x+6y+4z = 80 + 144$
整理得：$8(x+y+z) = 224$
两边同时除以8，得：$x+y+z = 28$
即购买甲、乙、丙各一件需要28元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；整体思想求值
【点评】
本题是不定方程组的典型应用，不需要求解每个未知数的具体值，通过观察方程系数的特点，用整体相加的方式即可快速求出目标式子的值，是简化这类问题计算的常用技巧。
【难度系数】
0.6
我们可以先设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元、y元、z元，根据题目给出的两种购买方案的总价，可列出两个含x、y、z的方程。由于未知数有3个、方程只有2个，无法单独求出x、y、z的具体值，此时观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加后，x、y、z的系数相同，都为8，整体除以8即可直接得到x+y+z的值，也就是各买一件的总费用。
【解析】
设购买1件甲需x元，1件乙需y元，1件丙需z元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 2y + 4z = 80 \quad ①\\3x + 6y + 4z = 144 \quad ②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，可得：
$5x+2y+4z + 3x+6y+4z = 80 + 144$
整理得：$8(x+y+z) = 224$
两边同时除以8，得：$x+y+z = 28$
即购买甲、乙、丙各一件需要28元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的应用；整体思想求值
【点评】
本题是不定方程组的典型应用，不需要求解每个未知数的具体值，通过观察方程系数的特点，用整体相加的方式即可快速求出目标式子的值，是简化这类问题计算的常用技巧。
【难度系数】
0.6
8.如图,周长为 68 cm 的大长方形 ABCD 被分成7个相同的小长方形,求大长方形的面积.
答案
8.解:设小长方形的宽是 x cm,长为 y cm. 根据题意,得 $\begin{cases} 2[(x+y)+5x]=68, \\ 5x=2y. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4, \\ y=10. \end{cases}$ 所以大长方形的面积是 $7×4×10=280(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，找到小长方形长和宽的等量关系：从大长方形的长来看，上方5个小长方形的宽拼接的长度等于下方2个小长方形的长拼接的长度，可得第一个等量关系；再结合大长方形的周长为68cm，大长方形的长为5倍小长方形的宽，大长方形的宽为小长方形的长加小长方形的宽，利用长方形周长公式可得到第二个等量关系，联立两个等量关系列二元一次方程组，求解得到小长方形的长和宽后，即可计算大长方形的面积。
【解析】
设小长方形的宽是$x\ \mathrm{cm}$，长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形的边长关系和大长方形周长条件，列方程组：
$\begin{cases} 2[(x+y)+5x]=68, \\ 5x=2y. \end{cases}$
先整理第一个方程：$2(6x+y)=68$，即$6x+y=34$。
把$y=\frac{5}{2}x$代入$6x+y=34$，得$6x+\frac{5}{2}x=34$，通分计算得$\frac{17}{2}x=34$，解得$x=4$。
把$x=4$代入$5x=2y$，得$20=2y$，解得$y=10$。
大长方形由7个小长方形组成，因此大长方形面积为$7× x× y=7×4×10=280(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boxed{280\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过观察图形挖掘隐含的边长等量关系，结合周长公式建立方程组求解，考察了数形结合的思想，只要准确找到小长方形长、宽的数量关系，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，找到小长方形长和宽的等量关系：从大长方形的长来看，上方5个小长方形的宽拼接的长度等于下方2个小长方形的长拼接的长度，可得第一个等量关系；再结合大长方形的周长为68cm，大长方形的长为5倍小长方形的宽，大长方形的宽为小长方形的长加小长方形的宽，利用长方形周长公式可得到第二个等量关系，联立两个等量关系列二元一次方程组，求解得到小长方形的长和宽后，即可计算大长方形的面积。
【解析】
设小长方形的宽是$x\ \mathrm{cm}$，长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形的边长关系和大长方形周长条件，列方程组：
$\begin{cases} 2[(x+y)+5x]=68, \\ 5x=2y. \end{cases}$
先整理第一个方程：$2(6x+y)=68$，即$6x+y=34$。
把$y=\frac{5}{2}x$代入$6x+y=34$，得$6x+\frac{5}{2}x=34$，通分计算得$\frac{17}{2}x=34$，解得$x=4$。
把$x=4$代入$5x=2y$，得$20=2y$，解得$y=10$。
大长方形由7个小长方形组成，因此大长方形面积为$7× x× y=7×4×10=280(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boxed{280\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题的解题核心是通过观察图形挖掘隐含的边长等量关系，结合周长公式建立方程组求解，考察了数形结合的思想，只要准确找到小长方形长、宽的数量关系，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
