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8.如图,横断面为梯形的河坝,根据图中数据,若$AB=(9+4\sqrt{3})\mathrm{m}$,那么斜坡$BC$的坡度$i$等于()
A.$1:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$\sqrt{3}:3$
A.$1:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$\sqrt{3}:3$
答案
D
解析
【分析】要计算斜坡$BC$的坡度，首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，因此需要先求出$BC$的垂直高度$CE$和水平宽度$BE$的长度。首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用矩形性质得到相关边的长度，再用勾股定理求出未知边，最后代入坡度公式计算即可。
【解析】解：过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，
$\because DC// AB$，$CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
$\therefore$四边形$DCEF$是矩形，
$\therefore DC=EF=5\mathrm{m}$，$DF=CE=4\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AD=4\sqrt{2}\mathrm{m}$，$DF=4\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$。
已知$AB=(9+4\sqrt{3})\mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AF-EF=(9+4\sqrt{3})-4-5=4\sqrt{3}\mathrm{m}$。
根据坡度的定义，斜坡$BC$的坡度$i=CE:BE=4:4\sqrt{3}=1:\sqrt{3}=\sqrt{3}:3$。
故选D。
【答案】D
【知识点】梯形的性质，勾股定理，坡度的定义
【点评】本题是梯形与解直角三角形结合的基础应用题，解题的关键是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题，结合坡度的定义即可完成求解。
【难度系数】0.7
【解析】解：过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，
$\because DC// AB$，$CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
$\therefore$四边形$DCEF$是矩形，
$\therefore DC=EF=5\mathrm{m}$，$DF=CE=4\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AD=4\sqrt{2}\mathrm{m}$，$DF=4\mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$。
已知$AB=(9+4\sqrt{3})\mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AF-EF=(9+4\sqrt{3})-4-5=4\sqrt{3}\mathrm{m}$。
根据坡度的定义，斜坡$BC$的坡度$i=CE:BE=4:4\sqrt{3}=1:\sqrt{3}=\sqrt{3}:3$。
故选D。
【答案】D
【知识点】梯形的性质，勾股定理，坡度的定义
【点评】本题是梯形与解直角三角形结合的基础应用题，解题的关键是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题，结合坡度的定义即可完成求解。
【难度系数】0.7
9.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示,斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$,$BE=6\ \mathrm{m}$,在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为$45°$,在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为$60°$.
(1)求点B离水平地面的高度AB;
(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号).
(1)求点B离水平地面的高度AB;
(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号).
答案
解：
(1) 过点B作BG⊥CD于G，由题意得∠A=∠C=∠BGC=90°，
∴ 四边形ABGC是矩形，AB=CG。
∵ 斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 + AE^2 = BE^2$，$BE=6\ \mathrm{m}$，
代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 6^2$，
解得$x=3$（$x=-3$不符合实际，舍去），
∴ $AB=3\ \mathrm{m}$。
(2) 设$DG=x\ \mathrm{m}$，
∵ 在B处测得点D的仰角为$45°$，即$∠ DBG=45°$，$∠ BGD=90°$，
∴ $BG=DG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $AC=BG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $EC=AC - AE = x - 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 在E处测得点D的仰角为$60°$，即$∠ DEC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\tan∠ DEC=\frac{CD}{EC}$，且$CD=DG+CG=DG+AB=(x+3)\ \mathrm{m}$，
代入得：$\tan60°=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，即$\sqrt{3}=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，
整理得：$x+3=\sqrt{3}x - 9$，
解得$x=6\sqrt{3}+6$，
∴ $CD=x+3=9+6\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：(1) 点B离水平地面的高度AB为$3\ \mathrm{m}$；(2) 电线塔CD的高度为$(9+6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(1) 过点B作BG⊥CD于G，由题意得∠A=∠C=∠BGC=90°，
∴ 四边形ABGC是矩形，AB=CG。
∵ 斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 + AE^2 = BE^2$，$BE=6\ \mathrm{m}$，
代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 6^2$，
解得$x=3$（$x=-3$不符合实际，舍去），
∴ $AB=3\ \mathrm{m}$。
(2) 设$DG=x\ \mathrm{m}$，
∵ 在B处测得点D的仰角为$45°$，即$∠ DBG=45°$，$∠ BGD=90°$，
∴ $BG=DG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $AC=BG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $EC=AC - AE = x - 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 在E处测得点D的仰角为$60°$，即$∠ DEC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\tan∠ DEC=\frac{CD}{EC}$，且$CD=DG+CG=DG+AB=(x+3)\ \mathrm{m}$，
代入得：$\tan60°=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，即$\sqrt{3}=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，
整理得：$x+3=\sqrt{3}x - 9$，
解得$x=6\sqrt{3}+6$，
∴ $CD=x+3=9+6\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：(1) 点B离水平地面的高度AB为$3\ \mathrm{m}$；(2) 电线塔CD的高度为$(9+6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求AB的长度时，结合斜坡BE的坡度可知AB与AE的比值，可设AB为未知数，用含未知数的式子表示AE，再在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解即可。
(2) 求CD的高度时，先过点B作BG⊥CD，构造矩形ABGC和直角三角形BDG、DEC。利用45°仰角的性质可得BG=DG，设DG为x，即可表示出AC、EC的长度；再结合60°仰角的正切值，列出关于x的方程，求解后结合CD=DG+AB即可得到结果。
【解析】
(1) 过点B作BG⊥CD于G，由题意得∠A=∠C=∠BGC=90°，
∴ 四边形ABGC是矩形，AB=CG。
∵ 斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 + AE^2 = BE^2$，$BE=6\ \mathrm{m}$，
代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 6^2$，
解得$x=3$（$x=-3$不符合实际，舍去），
∴ $AB=3\ \mathrm{m}$。
(2) 设$DG=x\ \mathrm{m}$，
∵ 在B处测得点D的仰角为$45°$，即$∠ DBG=45°$，$∠ BGD=90°$，
∴ $BG=DG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $AC=BG=x\ \mathrm{m}$，
由(1)得$AE=\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $EC=AC - AE = x - 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 在E处测得点D的仰角为$60°$，即$∠ DEC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\tan∠ DEC=\frac{CD}{EC}$，且$CD=DG+CG=DG+AB=(x+3)\ \mathrm{m}$，
代入得：$\tan60°=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，即$\sqrt{3}=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，
整理得：$x+3=\sqrt{3}x - 9$，
解得$x=6\sqrt{3}+6$，
∴ $CD=x+3=9+6\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) $\boldsymbol{(9+6\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是实际测量类的典型题型，结合了坡度、仰角两个核心概念，需要通过作辅助线完成图形的转化，将实际问题转化为直角三角形中的计算问题，同时运用方程思想求解，能较好地考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求AB的长度时，结合斜坡BE的坡度可知AB与AE的比值，可设AB为未知数，用含未知数的式子表示AE，再在Rt△ABE中利用勾股定理列方程求解即可。
(2) 求CD的高度时，先过点B作BG⊥CD，构造矩形ABGC和直角三角形BDG、DEC。利用45°仰角的性质可得BG=DG，设DG为x，即可表示出AC、EC的长度；再结合60°仰角的正切值，列出关于x的方程，求解后结合CD=DG+AB即可得到结果。
【解析】
(1) 过点B作BG⊥CD于G，由题意得∠A=∠C=∠BGC=90°，
∴ 四边形ABGC是矩形，AB=CG。
∵ 斜坡BE的坡度$i=1:\sqrt{3}$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AE=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB^2 + AE^2 = BE^2$，$BE=6\ \mathrm{m}$，
代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 6^2$，
解得$x=3$（$x=-3$不符合实际，舍去），
∴ $AB=3\ \mathrm{m}$。
(2) 设$DG=x\ \mathrm{m}$，
∵ 在B处测得点D的仰角为$45°$，即$∠ DBG=45°$，$∠ BGD=90°$，
∴ $BG=DG=x\ \mathrm{m}$，
∴ $AC=BG=x\ \mathrm{m}$，
由(1)得$AE=\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $EC=AC - AE = x - 3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ 在E处测得点D的仰角为$60°$，即$∠ DEC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\tan∠ DEC=\frac{CD}{EC}$，且$CD=DG+CG=DG+AB=(x+3)\ \mathrm{m}$，
代入得：$\tan60°=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，即$\sqrt{3}=\frac{x+3}{x-3\sqrt{3}}$，
整理得：$x+3=\sqrt{3}x - 9$，
解得$x=6\sqrt{3}+6$，
∴ $CD=x+3=9+6\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) $\boldsymbol{(9+6\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是实际测量类的典型题型，结合了坡度、仰角两个核心概念，需要通过作辅助线完成图形的转化，将实际问题转化为直角三角形中的计算问题，同时运用方程思想求解，能较好地考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
10.某机场为了方便旅客换乘,计划在一、二层之间安装电梯,截面设计图如图所示.已知AD与BC平行,层高AB为8 m,A,D间的水平距离为5 m,∠ACB=21.5°.
(1)通过计算说明身高2.1 m的人在竖直站立的情况下,搭乘电梯在D处会不会碰到头部;
(2)若采用中段加平台设计(如图虚线所示),已知平台MN//BC,且AM段和NC段的坡度均为1:2,求平台MN的长度(参考数据:$\sin21.5°\approx\frac{9}{25}$,$\cos21.5°\approx\frac{9}{10}$,$\tan21.5°\approx\frac{2}{5}$).
(1)通过计算说明身高2.1 m的人在竖直站立的情况下,搭乘电梯在D处会不会碰到头部;
(2)若采用中段加平台设计(如图虚线所示),已知平台MN//BC,且AM段和NC段的坡度均为1:2,求平台MN的长度(参考数据:$\sin21.5°\approx\frac{9}{25}$,$\cos21.5°\approx\frac{9}{10}$,$\tan21.5°\approx\frac{2}{5}$).
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ BC$，$AB=8\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=21.5°$，
由$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，得：
$BC=\frac{AB}{\tan21.5°}\approx\frac{8}{\frac{2}{5}}=20\ \mathrm{m}$。
延长$AD$，过点$D$作竖直向下的直线交$AC$于点$E$。
$\because AD// BC$，$AD=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DAE=∠ ACB=21.5°$，
直线$AC$的解析式可表示为$y=-\frac{2}{5}x+8$，将$x=5$代入得$y=6$，
$\therefore DE=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$身高$2.1\ \mathrm{m}$的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在$D$处会碰到头部。
(2) 过点$M$作$MF⊥ AB$于点$F$，过点$N$作$NG⊥ BC$于点$G$。
$\because AM$段的坡度为$1:2$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2$，
$\therefore \frac{AF}{MF}=\frac{1}{2}$，设$AF=k$，则$MF=2k$。
同理，$NC$段坡度为$1:2$，$\frac{NG}{GC}=\frac{1}{2}$，设$NG=h$，则$GC=2h$。
$\because MN// BC$，$AB⊥ BC$，
$\therefore$四边形$MFBG$是矩形，
$\therefore FB=NG=h$，$MN=BG$。
由$AB=AF+FB=8$，得$k+h=8$。
由$BC=MF+MN+GC=20$，得$2k+MN+2h=20$，
即$2(k+h)+MN=20$，将$k+h=8$代入得：
$2×8+MN=20$，解得$MN=4\ \mathrm{m}$。
答：平台$MN$的长度为$4\ \mathrm{m}$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ BC$，$AB=8\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=21.5°$，
由$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，得：
$BC=\frac{AB}{\tan21.5°}\approx\frac{8}{\frac{2}{5}}=20\ \mathrm{m}$。
延长$AD$，过点$D$作竖直向下的直线交$AC$于点$E$。
$\because AD// BC$，$AD=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DAE=∠ ACB=21.5°$，
直线$AC$的解析式可表示为$y=-\frac{2}{5}x+8$，将$x=5$代入得$y=6$，
$\therefore DE=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$身高$2.1\ \mathrm{m}$的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在$D$处会碰到头部。
(2) 过点$M$作$MF⊥ AB$于点$F$，过点$N$作$NG⊥ BC$于点$G$。
$\because AM$段的坡度为$1:2$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2$，
$\therefore \frac{AF}{MF}=\frac{1}{2}$，设$AF=k$，则$MF=2k$。
同理，$NC$段坡度为$1:2$，$\frac{NG}{GC}=\frac{1}{2}$，设$NG=h$，则$GC=2h$。
$\because MN// BC$，$AB⊥ BC$，
$\therefore$四边形$MFBG$是矩形，
$\therefore FB=NG=h$，$MN=BG$。
由$AB=AF+FB=8$，得$k+h=8$。
由$BC=MF+MN+GC=20$，得$2k+MN+2h=20$，
即$2(k+h)+MN=20$，将$k+h=8$代入得：
$2×8+MN=20$，解得$MN=4\ \mathrm{m}$。
答：平台$MN$的长度为$4\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 要判断D处站立的人是否会碰头，需先求出D点到电梯AC的竖直高度：首先在$Rt△ ABC$中利用$∠ ACB$的正切值求出BC的总长度；再延长AD，过D作竖直线交AC于点E，通过坐标法或相似三角形求出D到E的竖直距离，与2.1m比较即可得出结论。
(2) 求MN的长度时，先明确坡度是竖直高度与水平宽度的比，过M作$MF⊥ AB$、过N作$NG⊥ BC$，可得四边形MFBG是矩形；设两段电梯对应的竖直高度分别为k和h，结合总层高、总水平长度的等量关系，代入计算即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ BC$，$AB=8\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=21.5°$，
由$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，得：
$BC=\frac{AB}{\tan21.5°}\approx\frac{8}{\frac{2}{5}}=20\ \mathrm{m}$。
延长$AD$，过点$D$作竖直向下的直线交$AC$于点$E$。
设B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$A(0,8)$，$C(20,0)$，直线$AC$的解析式为$y=-\frac{2}{5}x+8$。
将D点横坐标$x=5$代入解析式，得$y=-\frac{2}{5}×5+8=6$，
$\therefore DE=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$身高2.1m的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会碰到头部。
(2) 过点$M$作$MF⊥ AB$于点$F$，过点$N$作$NG⊥ BC$于点$G$。
$\because AM$段的坡度为$1:2$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2$，
$\therefore \frac{AF}{MF}=\frac{1}{2}$，设$AF=k$，则$MF=2k$。
同理，$NC$段坡度为$1:2$，$\frac{NG}{GC}=\frac{1}{2}$，设$NG=h$，则$GC=2h$。
$\because MN// BC$，$AB⊥ BC$，
$\therefore$四边形$MFBG$是矩形，
$\therefore FB=NG=h$，$MN=BG$。
由$AB=AF+FB=8$，得$k+h=8$。
由$BC=MF+MN+GC=20$，得$2k+MN+2h=20$，
即$2(k+h)+MN=20$，将$k+h=8$代入得：
$2×8+MN=20$，解得$MN=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 身高2.1m的人在D处会碰到头部；
(2) 平台MN的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合机场电梯设计的实际场景考查数学知识的应用，既需要熟练掌握三角函数、坡度的基本概念，也需要通过作辅助线构造几何图形建立等量关系，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断D处站立的人是否会碰头，需先求出D点到电梯AC的竖直高度：首先在$Rt△ ABC$中利用$∠ ACB$的正切值求出BC的总长度；再延长AD，过D作竖直线交AC于点E，通过坐标法或相似三角形求出D到E的竖直距离，与2.1m比较即可得出结论。
(2) 求MN的长度时，先明确坡度是竖直高度与水平宽度的比，过M作$MF⊥ AB$、过N作$NG⊥ BC$，可得四边形MFBG是矩形；设两段电梯对应的竖直高度分别为k和h，结合总层高、总水平长度的等量关系，代入计算即可求出MN的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ BC$，$AB=8\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=21.5°$，
由$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，得：
$BC=\frac{AB}{\tan21.5°}\approx\frac{8}{\frac{2}{5}}=20\ \mathrm{m}$。
延长$AD$，过点$D$作竖直向下的直线交$AC$于点$E$。
设B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则$A(0,8)$，$C(20,0)$，直线$AC$的解析式为$y=-\frac{2}{5}x+8$。
将D点横坐标$x=5$代入解析式，得$y=-\frac{2}{5}×5+8=6$，
$\therefore DE=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$\because 2＜2.1$，
$\therefore$身高2.1m的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会碰到头部。
(2) 过点$M$作$MF⊥ AB$于点$F$，过点$N$作$NG⊥ BC$于点$G$。
$\because AM$段的坡度为$1:2$，即竖直高度与水平宽度的比为$1:2$，
$\therefore \frac{AF}{MF}=\frac{1}{2}$，设$AF=k$，则$MF=2k$。
同理，$NC$段坡度为$1:2$，$\frac{NG}{GC}=\frac{1}{2}$，设$NG=h$，则$GC=2h$。
$\because MN// BC$，$AB⊥ BC$，
$\therefore$四边形$MFBG$是矩形，
$\therefore FB=NG=h$，$MN=BG$。
由$AB=AF+FB=8$，得$k+h=8$。
由$BC=MF+MN+GC=20$，得$2k+MN+2h=20$，
即$2(k+h)+MN=20$，将$k+h=8$代入得：
$2×8+MN=20$，解得$MN=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 身高2.1m的人在D处会碰到头部；
(2) 平台MN的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合机场电梯设计的实际场景考查数学知识的应用，既需要熟练掌握三角函数、坡度的基本概念，也需要通过作辅助线构造几何图形建立等量关系，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
11.某过街天桥的截面图为梯形,如图所示,其中天桥斜面CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$,CD的长为10m,天桥另一斜面AB的坡角$∠ ABC=45°$.
(1)求过街天桥斜面AB的坡度;
(2)求DE的长;
(3)若将斜面AB的坡度进行改造使其变缓,将$45°$坡角改为$30°$,改建后的斜面为AF,试计算改建后需多占道多少米.
(1)求过街天桥斜面AB的坡度;
(2)求DE的长;
(3)若将斜面AB的坡度进行改造使其变缓,将$45°$坡角改为$30°$,改建后的斜面为AF,试计算改建后需多占道多少米.
答案
解：
(1) 过点A作AG⊥FC于点G，
在Rt△AGB中，∠ABC=45°，
∴ AG=BG，
∴ 斜面AB的坡度$i_{AB}=AG:BG=1:1$。
(2) 在Rt△DEC中，斜面CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$DE:EC=1:\sqrt{3}$，
设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DE^2+EC^2=CD^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2=10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
∴ DE的长为5m。
(3) 由题意得$AG=DE=5\ \mathrm{m}$，
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
$\tan30°=\frac{AG}{FG}$，
∴ $FG=\frac{AG}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴ $BG=AG=5\ \mathrm{m}$，
∴ $FB=FG-BG=(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
答：过街天桥斜面AB的坡度为1:1；DE的长为5m；改建后需多占道$(5\sqrt{3}-5)$米。
(1) 过点A作AG⊥FC于点G，
在Rt△AGB中，∠ABC=45°，
∴ AG=BG，
∴ 斜面AB的坡度$i_{AB}=AG:BG=1:1$。
(2) 在Rt△DEC中，斜面CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$DE:EC=1:\sqrt{3}$，
设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DE^2+EC^2=CD^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2=10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
∴ DE的长为5m。
(3) 由题意得$AG=DE=5\ \mathrm{m}$，
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
$\tan30°=\frac{AG}{FG}$，
∴ $FG=\frac{AG}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴ $BG=AG=5\ \mathrm{m}$，
∴ $FB=FG-BG=(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
答：过街天桥斜面AB的坡度为1:1；DE的长为5m；改建后需多占道$(5\sqrt{3}-5)$米。
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用问题，解题核心是利用坡度、坡角的定义，将斜面问题转化为直角三角形的边长、角度计算问题：
1. 求AB的坡度：坡度为铅直高度与水平宽度的比值，已知AB的坡角为45°，对应的直角三角形是等腰直角三角形，铅直高度和水平宽度相等，即可直接得到坡度；
2. 求DE的长：已知CD的坡度和长度，根据坡度设出DE和EC的长度，结合勾股定理列方程求解即可；
3. 求改建后多占道的长度：首先明确梯形的高AG=DE，分别求出改造后坡面AF的水平宽度FG、原坡面AB的水平宽度BG，二者的差值就是多占道的长度。
【解析】
(1) 过点A作AG⊥FC于点G，
在Rt△AGB中，∠ABC=45°，
∴ AG=BG，
∴ 斜面AB的坡度$i_{AB}=AG:BG=1:1$。
(2) 在Rt△DEC中，斜面CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$DE:EC=1:\sqrt{3}$，
设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DE^2+EC^2=CD^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2=10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
∴ DE的长为5m。
(3) 由题意得$AG=DE=5\ \mathrm{m}$，
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
$\tan30°=\frac{AG}{FG}$，
∴ $FG=\frac{AG}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴ $BG=AG=5\ \mathrm{m}$，
∴ $FB=FG-BG=(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 斜面AB的坡度为$1:1$；
(2) DE的长为$5\ \mathrm{m}$；
(3) 改建后需多占道$(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形的应用，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解坡度、坡角的定义，熟练运用特殊角的三角函数值和勾股定理进行直角三角形的边长计算，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际生活中的应用问题，解题核心是利用坡度、坡角的定义，将斜面问题转化为直角三角形的边长、角度计算问题：
1. 求AB的坡度：坡度为铅直高度与水平宽度的比值，已知AB的坡角为45°，对应的直角三角形是等腰直角三角形，铅直高度和水平宽度相等，即可直接得到坡度；
2. 求DE的长：已知CD的坡度和长度，根据坡度设出DE和EC的长度，结合勾股定理列方程求解即可；
3. 求改建后多占道的长度：首先明确梯形的高AG=DE，分别求出改造后坡面AF的水平宽度FG、原坡面AB的水平宽度BG，二者的差值就是多占道的长度。
【解析】
(1) 过点A作AG⊥FC于点G，
在Rt△AGB中，∠ABC=45°，
∴ AG=BG，
∴ 斜面AB的坡度$i_{AB}=AG:BG=1:1$。
(2) 在Rt△DEC中，斜面CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$DE:EC=1:\sqrt{3}$，
设$DE=x\ \mathrm{m}$，则$EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DE^2+EC^2=CD^2$，
即$x^2+(\sqrt{3}x)^2=10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
∴ DE的长为5m。
(3) 由题意得$AG=DE=5\ \mathrm{m}$，
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
$\tan30°=\frac{AG}{FG}$，
∴ $FG=\frac{AG}{\tan30°}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴ $BG=AG=5\ \mathrm{m}$，
∴ $FB=FG-BG=(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 斜面AB的坡度为$1:1$；
(2) DE的长为$5\ \mathrm{m}$；
(3) 改建后需多占道$(5\sqrt{3}-5)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形的应用，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解坡度、坡角的定义，熟练运用特殊角的三角函数值和勾股定理进行直角三角形的边长计算，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
