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14.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为3,求$m - (-1) + \frac{2024(a + b)}{2025} - 5cd$的值.
答案
解：
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
因为m的绝对值为3，所以$m=3$或$m=-3$。
将$a+b=0$，$cd=1$代入原式：
$\begin{aligned}原式&= m + 1 + \frac{2024×0}{2025} - 5×1\\&= m + 1 + 0 - 5\\&= m - 4\end{aligned}$
当$m=3$时，原式$=3-4=-1$；
当$m=-3$时，原式$=-3-4=-7$。
所以该式的值为$-1$或$-7$。
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
因为m的绝对值为3，所以$m=3$或$m=-3$。
将$a+b=0$，$cd=1$代入原式：
$\begin{aligned}原式&= m + 1 + \frac{2024×0}{2025} - 5×1\\&= m + 1 + 0 - 5\\&= m - 4\end{aligned}$
当$m=3$时，原式$=3-4=-1$；
当$m=-3$时，原式$=-3-4=-7$。
所以该式的值为$-1$或$-7$。
解析
【分析】
遇到这类含相反数、倒数、绝对值条件的代数式求值题，我们可以分三步思考：第一步，根据相关概念推导已知条件的代数形式：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为3的数有3和-3两个；第二步，将推导出的定值代入原式，化简消去含a、b、c、d的项；第三步，分两种情况代入m的取值，计算最终结果即可，注意不要遗漏m的负数值。
【解析】
解：因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
因为m的绝对值为3，所以$m=3$或$m=-3$。
将$a+b=0$，$cd=1$代入原式：
$\begin{aligned}原式&= m + 1 + \frac{2024×0}{2025} - 5×1\\&= m + 1 + 0 - 5\\&= m - 4\end{aligned}$
当$m=3$时，原式$=3-4=-1$；
当$m=-3$时，原式$=-3-4=-7$。
所以该式的值为$-1$或$-7$。
【答案】
$-1$或$-7$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本性质，注意绝对值为正数的数对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
遇到这类含相反数、倒数、绝对值条件的代数式求值题，我们可以分三步思考：第一步，根据相关概念推导已知条件的代数形式：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为3的数有3和-3两个；第二步，将推导出的定值代入原式，化简消去含a、b、c、d的项；第三步，分两种情况代入m的取值，计算最终结果即可，注意不要遗漏m的负数值。
【解析】
解：因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
因为m的绝对值为3，所以$m=3$或$m=-3$。
将$a+b=0$，$cd=1$代入原式：
$\begin{aligned}原式&= m + 1 + \frac{2024×0}{2025} - 5×1\\&= m + 1 + 0 - 5\\&= m - 4\end{aligned}$
当$m=3$时，原式$=3-4=-1$；
当$m=-3$时，原式$=-3-4=-7$。
所以该式的值为$-1$或$-7$。
【答案】
$-1$或$-7$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本性质，注意绝对值为正数的数对应正负两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
15.李老师买了一套经济适用房，建筑平面图如图所示(单位:m).
(1)用含有x,y的代数式表示地面面积；
(写出必要的过程,结果保留最简形式)
(2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖,已知铺1平方米地砖的费用为80元,当x=4,y=3时,铺地砖的总费用是多少元?
(1)用含有x,y的代数式表示地面面积；
(写出必要的过程,结果保留最简形式)
(2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖,已知铺1平方米地砖的费用为80元,当x=4,y=3时,铺地砖的总费用是多少元?
答案
解：
(1) 客厅的面积为 $x·(14-4) = 10x \ (\mathrm{m}^2)$，
厨房的面积为 $4(x-2) \ (\mathrm{m}^2)$，
卧室的面积为 $4·(2+y) = 8+4y \ (\mathrm{m}^2)$，
卫生间的面积为 $3y \ (\mathrm{m}^2)$，
地面总面积为：
$10x + 4(x-2) + 8 + 4y + 3y$
$=10x +4x -8 +8 +7y$
$=14x+7y \ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 当 $x=4$，$y=3$ 时，
地面总面积为 $14×4 +7×3 = 56+21=77 \ (\mathrm{m}^2)$，
铺地砖的总费用为 $77×80 = 6160$（元）。
答：铺地砖的总费用是6160元。
(1) 客厅的面积为 $x·(14-4) = 10x \ (\mathrm{m}^2)$，
厨房的面积为 $4(x-2) \ (\mathrm{m}^2)$，
卧室的面积为 $4·(2+y) = 8+4y \ (\mathrm{m}^2)$，
卫生间的面积为 $3y \ (\mathrm{m}^2)$，
地面总面积为：
$10x + 4(x-2) + 8 + 4y + 3y$
$=10x +4x -8 +8 +7y$
$=14x+7y \ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 当 $x=4$，$y=3$ 时，
地面总面积为 $14×4 +7×3 = 56+21=77 \ (\mathrm{m}^2)$，
铺地砖的总费用为 $77×80 = 6160$（元）。
答：铺地砖的总费用是6160元。
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：第(1)问求地面总面积，我们采用“分割求和法”，将整体地面分割为客厅、厨房、卧室、卫生间四个长方形，先分别确定每个长方形的长和宽，结合长方形面积公式（面积=长×宽）计算各区域面积，再将四个面积相加后化简代数式，即可得到地面总面积的表达式。第(2)问属于代数式求值问题，将$x=4$、$y=3$代入第(1)问得到的总面积表达式，算出总面积后乘每平方米地砖的费用80元，即可求出总费用。
【解析】
(1) 分别计算四个房间的面积：
① 客厅的长为$14-4=10\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为 $10 × x = 10x \ (\mathrm{m}^2)$；
② 厨房的长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$x-2\ \mathrm{m}$，面积为 $4 × (x-2) = 4(x-2) \ (\mathrm{m}^2)$；
③ 卧室的长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$2+y\ \mathrm{m}$，面积为 $4 × (2+y) = 8+4y \ (\mathrm{m}^2)$；
④ 卫生间的长为$3\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，面积为 $3 × y = 3y \ (\mathrm{m}^2)$。
地面总面积为四个区域面积之和：
$\begin{aligned}&10x + 4(x-2) + 8 + 4y + 3y \\=&10x +4x -8 +8 +7y \\=&14x+7y \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 把$x=4$，$y=3$代入$14x+7y$，得：
地面总面积$=14×4 +7×3 = 56+21=77 \ (\mathrm{m}^2)$
已知铺1平方米地砖的费用为80元，总费用为：$77×80 = 6160$（元）
【答案】
(1) 地面面积为$\boldsymbol{(14x+7y)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 铺地砖的总费用是$\boldsymbol{6160}$元。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合房屋平面图的生活场景考查代数式的相关应用，解题核心是准确识别各长方形的边长，正确列式、化简代数式，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
这道题分为两小问，解题思路如下：第(1)问求地面总面积，我们采用“分割求和法”，将整体地面分割为客厅、厨房、卧室、卫生间四个长方形，先分别确定每个长方形的长和宽，结合长方形面积公式（面积=长×宽）计算各区域面积，再将四个面积相加后化简代数式，即可得到地面总面积的表达式。第(2)问属于代数式求值问题，将$x=4$、$y=3$代入第(1)问得到的总面积表达式，算出总面积后乘每平方米地砖的费用80元，即可求出总费用。
【解析】
(1) 分别计算四个房间的面积：
① 客厅的长为$14-4=10\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为 $10 × x = 10x \ (\mathrm{m}^2)$；
② 厨房的长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$x-2\ \mathrm{m}$，面积为 $4 × (x-2) = 4(x-2) \ (\mathrm{m}^2)$；
③ 卧室的长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$2+y\ \mathrm{m}$，面积为 $4 × (2+y) = 8+4y \ (\mathrm{m}^2)$；
④ 卫生间的长为$3\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，面积为 $3 × y = 3y \ (\mathrm{m}^2)$。
地面总面积为四个区域面积之和：
$\begin{aligned}&10x + 4(x-2) + 8 + 4y + 3y \\=&10x +4x -8 +8 +7y \\=&14x+7y \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 把$x=4$，$y=3$代入$14x+7y$，得：
地面总面积$=14×4 +7×3 = 56+21=77 \ (\mathrm{m}^2)$
已知铺1平方米地砖的费用为80元，总费用为：$77×80 = 6160$（元）
【答案】
(1) 地面面积为$\boldsymbol{(14x+7y)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 铺地砖的总费用是$\boldsymbol{6160}$元。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合房屋平面图的生活场景考查代数式的相关应用，解题核心是准确识别各长方形的边长，正确列式、化简代数式，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.75
16.【生活情境】
一种笔记本的售价为2.3元/本，如果买100本以上(不含100本)，那么售价为2.2元/本.
【问题思考】
(1)按这种售价规定，请你列式表示购买n本笔记本所需要的钱数；(注意对n的大小要有所考虑)
(2)小明发现，按照这种售价规定，会出现多买比少买反而付钱少的情况，如果需要100本笔记本，怎样购买最能省钱？可省多少钱？写出你的购买方案.
一种笔记本的售价为2.3元/本，如果买100本以上(不含100本)，那么售价为2.2元/本.
【问题思考】
(1)按这种售价规定，请你列式表示购买n本笔记本所需要的钱数；(注意对n的大小要有所考虑)
(2)小明发现，按照这种售价规定，会出现多买比少买反而付钱少的情况，如果需要100本笔记本，怎样购买最能省钱？可省多少钱？写出你的购买方案.
答案
解：
(1) 分两种情况：
当$1 ≤ n ≤ 100$，且$n$为正整数时，购买$n$本笔记本所需的钱数为$2.3n$元；
当$n ＞ 100$，且$n$为正整数时，购买$n$本笔记本所需的钱数为$2.2n$元。
(2) 若直接购买100本，所需费用为：
$2.3 × 100 = 230$（元）
若购买101本，所需费用为：
$2.2 × 101 = 222.2$（元）
因为$222.2 ＜ 230$，
$230 - 222.2 = 7.8$（元）
所以购买101本笔记本最省钱，可省7.8元。
(1) 分两种情况：
当$1 ≤ n ≤ 100$，且$n$为正整数时，购买$n$本笔记本所需的钱数为$2.3n$元；
当$n ＞ 100$，且$n$为正整数时，购买$n$本笔记本所需的钱数为$2.2n$元。
(2) 若直接购买100本，所需费用为：
$2.3 × 100 = 230$（元）
若购买101本，所需费用为：
$2.2 × 101 = 222.2$（元）
因为$222.2 ＜ 230$，
$230 - 222.2 = 7.8$（元）
所以购买101本笔记本最省钱，可省7.8元。
解析
【分析】
(1) 题目明确笔记本售价随购买数量不同有两种标准，因此要分类讨论n的取值范围，结合“总费用=单价×数量”的关系分别列式即可。(2) 要找购买100本的最省钱方案，先计算直接买100本的费用，再对比购买刚好满足优惠条件的最少数量（101本）的费用，选费用更低的方案，两者的差值就是节省的钱数。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$1 ≤ n ≤ 100$，且$n$为正整数时，笔记本单价为2.3元/本，总费用为$2.3n$元；
② 当$n ＞ 100$，且$n$为正整数时，笔记本单价为2.2元/本，总费用为$2.2n$元。
(2) 分别计算两种购买方案的总费用：
若直接购买100本，所需费用为：$2.3 × 100 = 230$（元）
若购买101本（满足优惠条件），所需费用为：$2.2 × 101 = 222.2$（元）
因为$222.2 ＜ 230$，所以购买101本更省钱，可节省的金额为：$230 - 222.2 = 7.8$（元）
【答案】
(1) 当$1 ≤ n ≤ 100$且$n$为正整数时，需要$2.3n$元；当$n＞100$且$n$为正整数时，需要$2.2n$元。
(2) 购买101本笔记本最省钱，可省7.8元。
【知识点】
分段代数式、最优方案选择、有理数运算
【点评】
本题结合生活消费场景命题，核心考查分类讨论思想的应用，第二问打破了“买刚好需要的数量最划算”的思维定式，能引导学生灵活运用数学知识解决实际生活问题。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确笔记本售价随购买数量不同有两种标准，因此要分类讨论n的取值范围，结合“总费用=单价×数量”的关系分别列式即可。(2) 要找购买100本的最省钱方案，先计算直接买100本的费用，再对比购买刚好满足优惠条件的最少数量（101本）的费用，选费用更低的方案，两者的差值就是节省的钱数。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$1 ≤ n ≤ 100$，且$n$为正整数时，笔记本单价为2.3元/本，总费用为$2.3n$元；
② 当$n ＞ 100$，且$n$为正整数时，笔记本单价为2.2元/本，总费用为$2.2n$元。
(2) 分别计算两种购买方案的总费用：
若直接购买100本，所需费用为：$2.3 × 100 = 230$（元）
若购买101本（满足优惠条件），所需费用为：$2.2 × 101 = 222.2$（元）
因为$222.2 ＜ 230$，所以购买101本更省钱，可节省的金额为：$230 - 222.2 = 7.8$（元）
【答案】
(1) 当$1 ≤ n ≤ 100$且$n$为正整数时，需要$2.3n$元；当$n＞100$且$n$为正整数时，需要$2.2n$元。
(2) 购买101本笔记本最省钱，可省7.8元。
【知识点】
分段代数式、最优方案选择、有理数运算
【点评】
本题结合生活消费场景命题，核心考查分类讨论思想的应用，第二问打破了“买刚好需要的数量最划算”的思维定式，能引导学生灵活运用数学知识解决实际生活问题。
【难度系数】
0.7
