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20 新情境 机器人行走（2023·绍兴中考）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米。甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行。图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象。
（1）求OA所在直线的表达式。
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离。
（1）求OA所在直线的表达式。
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离。
答案
20.(1)设OA所在直线的表达式为$ y=ax $,$ \because A(5,1000) $,
$ \therefore 5a=1000 $,解得$ a=200 $,
$ \therefore $OA所在直线的表达式为$ y=200x $.
(2)设BC所在直线的表达式为$ y=kx+b $,
把$ B(0,1000) $代入,得$ b=1000 $,$ \therefore y=kx+1000 $.
把$ C(10,0) $代入,得$ 10k+1000=0 $,解得$ k=-100 $.
故BC所在直线的表达式为$ y=-100x+1000 $.甲、乙机器人相遇时,即$ 200x=-100x+1000 $,解得$ x=\dfrac{10}{3} $,
$ \therefore $出发后甲机器人行走$ \dfrac{10}{3} $分钟,与乙机器人相遇.
(3)设甲机器人行走$ t $分钟时到$ P $地,则$ P $地与$ M $地距离$ m=200t $,
$ \therefore $乙机器人$ (t+1) $分钟后到$ P $地,$ P $地与$ M $地距离$ m=-100(t+1)+1000 $,
由$ 200t=-100(t+1)+1000 $,得$ t=3 $,$ \therefore m=600 $.
故$ P,M $两地间的距离为600米.
解后反思 本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用、求函数表达式、求两个函数图象的交点坐标,充分应用数形结合的思想是解题的关键.
$ \therefore 5a=1000 $,解得$ a=200 $,
$ \therefore $OA所在直线的表达式为$ y=200x $.
(2)设BC所在直线的表达式为$ y=kx+b $,
把$ B(0,1000) $代入,得$ b=1000 $,$ \therefore y=kx+1000 $.
把$ C(10,0) $代入,得$ 10k+1000=0 $,解得$ k=-100 $.
故BC所在直线的表达式为$ y=-100x+1000 $.甲、乙机器人相遇时,即$ 200x=-100x+1000 $,解得$ x=\dfrac{10}{3} $,
$ \therefore $出发后甲机器人行走$ \dfrac{10}{3} $分钟,与乙机器人相遇.
(3)设甲机器人行走$ t $分钟时到$ P $地,则$ P $地与$ M $地距离$ m=200t $,
$ \therefore $乙机器人$ (t+1) $分钟后到$ P $地,$ P $地与$ M $地距离$ m=-100(t+1)+1000 $,
由$ 200t=-100(t+1)+1000 $,得$ t=3 $,$ \therefore m=600 $.
故$ P,M $两地间的距离为600米.
解后反思 本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用、求函数表达式、求两个函数图象的交点坐标,充分应用数形结合的思想是解题的关键.
21 跨学科 杠杆原理在杆秤中的应用 (2023·广西中考)[综合与实践]有言道:“杆秤一头称起人间生计,一头称起天地良”心.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进行调试,请完成下列方案设计中的任务.
[知识背景]如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$.其中秤盘质量$m_0$克,重物质量$m$克,秤砣质量$M$克,秤纽与秤盘的水平距离为$l$厘米,秤纽与零刻线的水平距离为$a$厘米,秤砣与零刻线的水平距离为$y$厘米.
[方案设计]
目标:设计简易杆秤.设定$m_0 = 10, M = 50$,最大可称重物质量为1 000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一:确定$l$和$a$的值.
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请列出关于$l,a$的方程;
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,请列出关于$l,a$的方程;
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出$l$和$a$的值.
任务二:确定刻线的位置.
(4)根据任务一,求$y$关于$m$的函数表达式;
(5)从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离.
[知识背景]如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得$(m_0 + m) · l = M · (a + y)$.其中秤盘质量$m_0$克,重物质量$m$克,秤砣质量$M$克,秤纽与秤盘的水平距离为$l$厘米,秤纽与零刻线的水平距离为$a$厘米,秤砣与零刻线的水平距离为$y$厘米.
[方案设计]
目标:设计简易杆秤.设定$m_0 = 10, M = 50$,最大可称重物质量为1 000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一:确定$l$和$a$的值.
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请列出关于$l,a$的方程;
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,请列出关于$l,a$的方程;
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出$l$和$a$的值.
任务二:确定刻线的位置.
(4)根据任务一,求$y$关于$m$的函数表达式;
(5)从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离.
答案
21.(1)由题意,得$ m=0,y=0 $,$ \therefore 10l=50a $,$ \therefore l=5a $.
(2)由题意,得$ m=1000,y=50 $,
$ \therefore (10+1000)l=50(a+50) $,$ \therefore 101l-5a=250 $.
(3)将$ l=5a $代入$ 101l-5a=250 $,
得$ 505a-5a=250 $,解得$ a=0.5 $,所以$ l=2.5 $.
(4)由任务一可知,$ l=2.5,a=0.5 $,
$ \therefore 2.5(10+m)=50(0.5+y) $,$ \therefore y=\dfrac{1}{20}m $.
(5)由(4)可知,$ y=\dfrac{1}{20}m $,
$ \therefore $当$ m=0 $时,则有$ y=0 $;当$ m=100 $时,则有$ y=5 $;
当$ m=200 $时,则有$ y=10 $;当$ m=300 $时,则有$ y=15 $;
当$ m=400 $时,则有$ y=20 $;当$ m=500 $时,则有$ y=25 $;
当$ m=600 $时,则有$ y=30 $;当$ m=700 $时,则有$ y=35 $;
当$ m=800 $时,则有$ y=40 $;当$ m=900 $时,则有$ y=45 $;
当$ m=1000 $时,则有$ y=50 $,
$ \therefore $相邻刻线间的距离为5厘米.
(2)由题意,得$ m=1000,y=50 $,
$ \therefore (10+1000)l=50(a+50) $,$ \therefore 101l-5a=250 $.
(3)将$ l=5a $代入$ 101l-5a=250 $,
得$ 505a-5a=250 $,解得$ a=0.5 $,所以$ l=2.5 $.
(4)由任务一可知,$ l=2.5,a=0.5 $,
$ \therefore 2.5(10+m)=50(0.5+y) $,$ \therefore y=\dfrac{1}{20}m $.
(5)由(4)可知,$ y=\dfrac{1}{20}m $,
$ \therefore $当$ m=0 $时,则有$ y=0 $;当$ m=100 $时,则有$ y=5 $;
当$ m=200 $时,则有$ y=10 $;当$ m=300 $时,则有$ y=15 $;
当$ m=400 $时,则有$ y=20 $;当$ m=500 $时,则有$ y=25 $;
当$ m=600 $时,则有$ y=30 $;当$ m=700 $时,则有$ y=35 $;
当$ m=800 $时,则有$ y=40 $;当$ m=900 $时,则有$ y=45 $;
当$ m=1000 $时,则有$ y=50 $,
$ \therefore $相邻刻线间的距离为5厘米.
