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1. (2024·陕西中考)已知一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表，则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (
A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
D
)A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
答案
1. D 解析:由题意得$\begin{cases}4a-2b+c=-8,\\c=0,\\9a+3b+c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=0,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1.\because a=-1＜0,$
∴图象的开口向下,故选项A不符合题意;图象的对称轴是直线$x=1$,故选项D符合题意;当$x＜1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,当$x＞1$时,$y$的值随$x$的值增大而减小,故选项B不符合题意;
∵顶点坐标为$(1,1)$且经过原点,图象的开口向下,
∴图象经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意.故选D.
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1.\because a=-1＜0,$
∴图象的开口向下,故选项A不符合题意;图象的对称轴是直线$x=1$,故选项D符合题意;当$x＜1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,当$x＞1$时,$y$的值随$x$的值增大而减小,故选项B不符合题意;
∵顶点坐标为$(1,1)$且经过原点,图象的开口向下,
∴图象经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意.故选D.
解析
【分析】
要判断二次函数的相关结论，首先需要求出二次函数的解析式。我们可以从表格中选取三组已知的x、y对应值（x=0时y=0，x=-2时y=-8，x=3时y=-3），代入二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，解三元一次方程组得到a、b、c的值，得到解析式后再转化为顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性、图象经过的象限等性质，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
将表中三组值$(-2,-8)$、$(0,0)$、$(3,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=-8\\c=0\\9a+3b+c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=0\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x$，整理为顶点式得$y=-(x-1)^2+1$。
对各选项分析如下：
A选项：
∵$a=-1＜0$，
∴图象开口向下，故A不符合题意；
B选项：该函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此“当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大”的说法错误，故B不符合题意；
C选项：函数顶点坐标为$(1,1)$（在第一象限），且经过原点，开口向下，因此图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C不符合题意；
D选项：由顶点式可知，图象的对称轴是直线$x=1$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的图象特征
【点评】
本题是对二次函数基础知识点的综合考查，解题核心是利用表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的相关性质逐一验证选项，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断二次函数的相关结论，首先需要求出二次函数的解析式。我们可以从表格中选取三组已知的x、y对应值（x=0时y=0，x=-2时y=-8，x=3时y=-3），代入二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，解三元一次方程组得到a、b、c的值，得到解析式后再转化为顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性、图象经过的象限等性质，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
将表中三组值$(-2,-8)$、$(0,0)$、$(3,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=-8\\c=0\\9a+3b+c=-3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=0\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x$，整理为顶点式得$y=-(x-1)^2+1$。
对各选项分析如下：
A选项：
∵$a=-1＜0$，
∴图象开口向下，故A不符合题意；
B选项：该函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，因此“当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大”的说法错误，故B不符合题意；
C选项：函数顶点坐标为$(1,1)$（在第一象限），且经过原点，开口向下，因此图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C不符合题意；
D选项：由顶点式可知，图象的对称轴是直线$x=1$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数的图象特征
【点评】
本题是对二次函数基础知识点的综合考查，解题核心是利用表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的相关性质逐一验证选项，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2024·青岛中考)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x=-1$，则过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. C 解析:
∵二次函数与$y$轴交于$y$轴的正半轴,$\therefore c＞0.$
∵对称轴是直线$x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$,$\therefore 2a-b=0$,$\therefore M(c,2a-b)$在$x$轴正半轴上.
∵二次函数顶点在第二象限,
∴当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0.$
∵二次函数与$x$轴无交点,$\therefore \Delta=b^2-4ac＜0$,$\therefore$点$N(b^2-4ac,a-b+c)$在第二象限,
∴经过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故选C.
∵二次函数与$y$轴交于$y$轴的正半轴,$\therefore c＞0.$
∵对称轴是直线$x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$,$\therefore 2a-b=0$,$\therefore M(c,2a-b)$在$x$轴正半轴上.
∵二次函数顶点在第二象限,
∴当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0.$
∵二次函数与$x$轴无交点,$\therefore \Delta=b^2-4ac＜0$,$\therefore$点$N(b^2-4ac,a-b+c)$在第二象限,
∴经过点$M(c,2a-b)$和点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的直线一定经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故选C.
解析
【分析】
解题时首先结合二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数，再利用二次函数对称轴公式、特殊点函数值、判别式的意义，分别确定点M和点N的横、纵坐标的符号，进而判断过两点的直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图象可得：
1. 抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，因此$a＞0$，$c＞0$；
2. 抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，推导得$b=2a$，因此$2a-b=0$，点$M(c,2a-b)$的坐标为$(c,0)$，结合$c＞0$可知点M在x轴正半轴上；
3. 抛物线与x轴无交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$；
4. 当$x=-1$时，对应的函数值为顶点纵坐标，位于x轴上方，代入解析式得$y=a-b+c＞0$，因此点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的横坐标为负、纵坐标为正，点N在第二象限。
综上，连接x轴正半轴的点M和第二象限的点N的直线，经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象特征，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，解题核心是结合二次函数图象挖掘隐含的参数关系和数值符号，进而确定两点位置，判断直线所过象限，对学生的图象分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合二次函数图象提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数，再利用二次函数对称轴公式、特殊点函数值、判别式的意义，分别确定点M和点N的横、纵坐标的符号，进而判断过两点的直线经过的象限，即可得出结论。
【解析】
解：由二次函数图象可得：
1. 抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，因此$a＞0$，$c＞0$；
2. 抛物线对称轴为直线$x=-1$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，推导得$b=2a$，因此$2a-b=0$，点$M(c,2a-b)$的坐标为$(c,0)$，结合$c＞0$可知点M在x轴正半轴上；
3. 抛物线与x轴无交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$；
4. 当$x=-1$时，对应的函数值为顶点纵坐标，位于x轴上方，代入解析式得$y=a-b+c＞0$，因此点$N(b^2-4ac,a-b+c)$的横坐标为负、纵坐标为正，点N在第二象限。
综上，连接x轴正半轴的点M和第二象限的点N的直线，经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象特征，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，解题核心是结合二次函数图象挖掘隐含的参数关系和数值符号，进而确定两点位置，判断直线所过象限，对学生的图象分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2024·内江中考)已知二次函数$y=x^2 -2x +1$的图象向左平移两个单位长度得到抛物线C,点$P(2,y_1)$,$Q(3,y_2)$在抛物线C上,则$y_1$
＜
$y_2$.(填“＞”或“＜”)答案
3. ＜ 解析:$y=x^2-2x+1=(x-1)^2.$
∵二次函数$y=x^2-2x+1$的图象向左平移两个单位长度得到抛物线$C$,
∴抛物线$C$的表达式为$y=(x+1)^2$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,
∴当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大.$\because 2＜3$,$\therefore y_1＜y_2$,故答案为＜.
∵二次函数$y=x^2-2x+1$的图象向左平移两个单位长度得到抛物线$C$,
∴抛物线$C$的表达式为$y=(x+1)^2$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,
∴当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大.$\because 2＜3$,$\therefore y_1＜y_2$,故答案为＜.
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先求出平移后抛物线C的解析式，再结合二次函数的增减性判断。解题步骤可分为三步：第一步将原二次函数化为顶点式，方便平移计算；第二步根据“左加右减”的平移规律得到抛物线C的解析式；第三步确定抛物线C的开口方向和对称轴，判断对应区间的增减性，最后比较P、Q两点横坐标的大小，即可得出$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
先将原二次函数配方得：$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$。
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，原图象向左平移2个单位长度后，抛物线C的解析式为：$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$。
该抛物线二次项系数为$1＞0$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
由二次函数性质可知，开口向上时，在对称轴右侧即$x＞-1$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
点$P(2,y_1)$、$Q(3,y_2)$的横坐标均大于$-1$，且$2＜3$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.二次函数的增减性 3.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数部分的基础常规题型，核心考查二次函数的平移规律和增减性的应用，解题关键是准确求出平移后的抛物线解析式，再结合单调性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先求出平移后抛物线C的解析式，再结合二次函数的增减性判断。解题步骤可分为三步：第一步将原二次函数化为顶点式，方便平移计算；第二步根据“左加右减”的平移规律得到抛物线C的解析式；第三步确定抛物线C的开口方向和对称轴，判断对应区间的增减性，最后比较P、Q两点横坐标的大小，即可得出$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
先将原二次函数配方得：$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$。
根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，原图象向左平移2个单位长度后，抛物线C的解析式为：$y=(x-1+2)^2=(x+1)^2$。
该抛物线二次项系数为$1＞0$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
由二次函数性质可知，开口向上时，在对称轴右侧即$x＞-1$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
点$P(2,y_1)$、$Q(3,y_2)$的横坐标均大于$-1$，且$2＜3$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.二次函数的增减性 3.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数部分的基础常规题型，核心考查二次函数的平移规律和增减性的应用，解题关键是准确求出平移后的抛物线解析式，再结合单调性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
4. ★★★（福建中考）已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + b(a＞0) $ 经过 $ A(2n+3,y_1), B(n-1,y_2) $ 两点，若点A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且 $ y_1 ＜ y_2 $，则n的取值范围是
$-1＜n＜0$
。答案
4. $-1＜n＜0$ 解析:
∵$y=ax^2-2ax+b$,$a＞0$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,开口向上.
∵$A(2n+3,y_1)$,$B(n-1,y_2)$分别位于抛物线对称轴的两侧,假设点$B$在对称轴的右侧,则$n-1＞1$,解得$n＞2$,$\therefore 2n+3-(n-1)=n+4＞0$,
∴点$A$在点$B$的右侧,与假设矛盾,则点$A$在对称轴的右侧,$\therefore \begin{cases}2n+3＞1,\\n-1＜1,\end{cases}$解得$-1＜n＜2$.又$\because y_1＜y_2$,$\therefore |(2n+3)-1|＜|1-(n-1)|$,$\therefore 2n+2＜2-n$.解得$n＜0$,$\therefore -1＜n＜0$,故答案为$-1＜n＜0$.
∵$y=ax^2-2ax+b$,$a＞0$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,开口向上.
∵$A(2n+3,y_1)$,$B(n-1,y_2)$分别位于抛物线对称轴的两侧,假设点$B$在对称轴的右侧,则$n-1＞1$,解得$n＞2$,$\therefore 2n+3-(n-1)=n+4＞0$,
∴点$A$在点$B$的右侧,与假设矛盾,则点$A$在对称轴的右侧,$\therefore \begin{cases}2n+3＞1,\\n-1＜1,\end{cases}$解得$-1＜n＜2$.又$\because y_1＜y_2$,$\therefore |(2n+3)-1|＜|1-(n-1)|$,$\therefore 2n+2＜2-n$.解得$n＜0$,$\therefore -1＜n＜0$,故答案为$-1＜n＜0$.
解析
【分析】
解决本题首先要遵循二次函数问题的常规解题顺序：第一步先确定抛物线的对称轴和开口方向，可通过对称轴公式直接计算对称轴，结合a＞0判断开口向上；第二步根据“A、B在对称轴两侧”的条件，通过假设法排除不符合的位置情况，确定两点分别在对称轴的哪一侧，列出第一组不等式得到n的初步范围；第三步利用开口向上的二次函数“离对称轴越近函数值越小”的性质，将y₁＜y₂转化为两点到对称轴的距离大小关系，列出第二个不等式；最后取两个范围的交集即可得到结果。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y = ax^2 - 2ax + b$，且$a＞0$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，且抛物线开口向上。
已知点A、B分别在对称轴两侧，先假设点B在对称轴右侧，则$n-1＞1$，解得$n＞2$。
此时$2n+3-(n-1)=n+4＞0$，即$2n+3＞n-1＞1$，说明点A也在对称轴右侧，与“两点在对称轴两侧”矛盾，因此假设不成立，故点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧。
据此列不等式组：
$\begin{cases}2n+3＞1\\n-1＜1\end{cases}$
解得$-1＜n＜2$。
又
∵$y_1＜y_2$，开口向上的二次函数中函数值越小，对应点到对称轴的距离越小，因此：
$|(2n+3)-1|＜|1-(n-1)|$
∵A在对称轴右侧、B在对称轴左侧，绝对值可直接去掉，得：
$2n+2＜2-n$
解得$n＜0$。
取两个解集的公共部分，得$-1＜n＜0$。
【答案】
$-1＜n＜0$
【知识点】
二次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数的中等偏难题，解题核心是先通过逻辑推导确定两点的位置，再将函数值关系转化为距离关系，解题时要注意排除不符合题意的位置假设，避免因位置判断错误导致不等式列反。
【难度系数】
0.35
解决本题首先要遵循二次函数问题的常规解题顺序：第一步先确定抛物线的对称轴和开口方向，可通过对称轴公式直接计算对称轴，结合a＞0判断开口向上；第二步根据“A、B在对称轴两侧”的条件，通过假设法排除不符合的位置情况，确定两点分别在对称轴的哪一侧，列出第一组不等式得到n的初步范围；第三步利用开口向上的二次函数“离对称轴越近函数值越小”的性质，将y₁＜y₂转化为两点到对称轴的距离大小关系，列出第二个不等式；最后取两个范围的交集即可得到结果。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y = ax^2 - 2ax + b$，且$a＞0$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，且抛物线开口向上。
已知点A、B分别在对称轴两侧，先假设点B在对称轴右侧，则$n-1＞1$，解得$n＞2$。
此时$2n+3-(n-1)=n+4＞0$，即$2n+3＞n-1＞1$，说明点A也在对称轴右侧，与“两点在对称轴两侧”矛盾，因此假设不成立，故点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧。
据此列不等式组：
$\begin{cases}2n+3＞1\\n-1＜1\end{cases}$
解得$-1＜n＜2$。
又
∵$y_1＜y_2$，开口向上的二次函数中函数值越小，对应点到对称轴的距离越小，因此：
$|(2n+3)-1|＜|1-(n-1)|$
∵A在对称轴右侧、B在对称轴左侧，绝对值可直接去掉，得：
$2n+2＜2-n$
解得$n＜0$。
取两个解集的公共部分，得$-1＜n＜0$。
【答案】
$-1＜n＜0$
【知识点】
二次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数的中等偏难题，解题核心是先通过逻辑推导确定两点的位置，再将函数值关系转化为距离关系，解题时要注意排除不符合题意的位置假设，避免因位置判断错误导致不等式列反。
【难度系数】
0.35
5. ★★★ (2024·成都中考)在平面直角坐标系$xOy$中，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是二次函数$y=-x^2+4x-1$图象上的三点.若$0＜x_1＜1$，$x_2＞4$，则$y_1$$y_2$(填“＞”或“＜”)；若对于$m＜x_1＜m+1$，$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$，存在$y_1＜y_3＜y_2$，则$m$的取值范围是.
答案
5. $＞ \quad -\frac{1}{2}＜m＜1$ 解析:由$y=-x^2+4x-1=-(x-2)^2+3$得抛物线的对称轴为直线$x=2$,开口向下.$\because 0＜x_1＜1$,$x_2＞4$,$\therefore |x_1-2|＜|x_2-2|$,$\therefore y_1＞y_2$.$\because m＜m+1＜m+2$,$m＜x_1＜m+1$,$m+1＜x_2＜m+2$,$m+2＜x_3＜m+3$,$\therefore x_1＜x_2＜x_3$.$\because$存在$y_1＜y_3＜y_2$,$\therefore x_1＜2$,$x_3＞2$,且$A(x_1,y_1)$离对称轴最远,$B(x_2,y_2)$离对称轴最近,$\therefore 2-x_1＞x_3-2＞|x_2-2|$,即$x_1+x_3＜4$,且$x_2+x_3＞4$.$\because 2m+2＜x_1+x_3＜2m+4$,$2m+3＜x_2+x_3＜2m+5$,$\therefore 2m+2＜4$且$2m+5＞4$,解得$-\frac{1}{2}＜m＜1$.故答案为$＞$;$-\frac{1}{2}＜m＜1$.
解析
【分析】
第一问要比较$y_1$和$y_2$的大小，先将二次函数化为顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的二次函数中，点到对称轴的距离越近，函数值越大，只需计算两点到对称轴的距离即可判断。第二问已知三个点的横坐标所在区间依次增大，要满足$y_1＜y_3＜y_2$，结合二次函数性质可得三点到对称轴的距离关系，将其转化为横坐标的不等式，再结合自变量的取值范围列关于$m$的不等式组，求解即可得到$m$的范围。
【解析】
先将二次函数解析式化为顶点式：
$y=-x^2+4x-1=-(x-2)^2+3$，
可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
1. 比较$y_1$和$y_2$的大小
已知$0＜x_1＜1$，$x_2＞4$，
则$A$点到对称轴的距离：$1＜|x_1-2|＜2$，
$B$点到对称轴的距离：$|x_2-2|＞2$，
可得$|x_1-2|＜|x_2-2|$，
因开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，故$y_1＞y_2$。
2. 求$m$的取值范围
由题意得$x_1＜x_2＜x_3$，要存在$y_1＜y_3＜y_2$，结合二次函数性质可得三点到对称轴的距离满足：$2-x_1 ＞ x_3-2 ＞ |x_2-2|$，
整理得：
① $x_1+x_3 ＜ 4$；② $x_2+x_3＞4$。
已知$m＜x_1＜m+1$，$m+2＜x_3＜m+3$，则$2m+2 ＜ x_1+x_3 ＜ 2m+4$，要满足$x_1+x_3＜4$，需$2m+2＜4$，解得$m＜1$；
又$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$，则$2m+3 ＜ x_2+x_3 ＜ 2m+5$，要满足$x_2+x_3＞4$，需$2m+5＞4$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
综上，$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜1$。
【答案】
$＞$；$-\frac{1}{2}＜m＜1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数值大小比较；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，核心是掌握开口向下的二次函数中，函数值大小和点到对称轴距离的关系；第二问需要将函数值的大小关系转化为横坐标的不等关系，再结合自变量范围列不等式组求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
第一问要比较$y_1$和$y_2$的大小，先将二次函数化为顶点式确定开口方向和对称轴，开口向下的二次函数中，点到对称轴的距离越近，函数值越大，只需计算两点到对称轴的距离即可判断。第二问已知三个点的横坐标所在区间依次增大，要满足$y_1＜y_3＜y_2$，结合二次函数性质可得三点到对称轴的距离关系，将其转化为横坐标的不等式，再结合自变量的取值范围列关于$m$的不等式组，求解即可得到$m$的范围。
【解析】
先将二次函数解析式化为顶点式：
$y=-x^2+4x-1=-(x-2)^2+3$，
可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
1. 比较$y_1$和$y_2$的大小
已知$0＜x_1＜1$，$x_2＞4$，
则$A$点到对称轴的距离：$1＜|x_1-2|＜2$，
$B$点到对称轴的距离：$|x_2-2|＞2$，
可得$|x_1-2|＜|x_2-2|$，
因开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，故$y_1＞y_2$。
2. 求$m$的取值范围
由题意得$x_1＜x_2＜x_3$，要存在$y_1＜y_3＜y_2$，结合二次函数性质可得三点到对称轴的距离满足：$2-x_1 ＞ x_3-2 ＞ |x_2-2|$，
整理得：
① $x_1+x_3 ＜ 4$；② $x_2+x_3＞4$。
已知$m＜x_1＜m+1$，$m+2＜x_3＜m+3$，则$2m+2 ＜ x_1+x_3 ＜ 2m+4$，要满足$x_1+x_3＜4$，需$2m+2＜4$，解得$m＜1$；
又$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$，则$2m+3 ＜ x_2+x_3 ＜ 2m+5$，要满足$x_2+x_3＞4$，需$2m+5＞4$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
综上，$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜1$。
【答案】
$＞$；$-\frac{1}{2}＜m＜1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数值大小比较；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，核心是掌握开口向下的二次函数中，函数值大小和点到对称轴距离的关系；第二问需要将函数值的大小关系转化为横坐标的不等关系，再结合自变量范围列不等式组求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
6. （2026·合肥模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线$y = ax^2 - 2x - 2$（$a≠0$）经过点$(-1,1)$，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作$PQ⊥y$轴于点Q，将线段PQ绕点O旋转$180°$得到线段MN，作四边形PQMN.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形PQMN的面积；
(3)当$m＜0$时，抛物线在四边形PQMN内部的图象(包括边界)记为G，若图象G上的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形PQMN的面积；
(3)当$m＜0$时，抛物线在四边形PQMN内部的图象(包括边界)记为G，若图象G上的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值.
答案
6. (1)将点$(-1,1)$代入$y=ax^2-2x-2(a≠0)$,得$a+2-2=1$,解得$a=1$,
∴该抛物线所对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$.
(2)$\because y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.
∵点$P$在抛物线上,横坐标为$m$,作$PQ⊥y$轴于点$Q$,
∴$P(m,m^2-2m-2)$,$Q(0,m^2-2m-2)$.
∵将线段$PQ$绕点$O$旋转$180°$得到线段$MN$,
∴点$P$和点$M$,点$Q$和点$N$分别关于原点$O$对称,且$PQ=MN$,$PQ// MN$,
∴$M(-m,-m^2+2m+2)$,$N(0,-m^2+2m+2)$,
∴四边形$PQMN$为平行四边形,且$PQ⊥QN$.又
∵$M,N$两点关于该抛物线的对称轴$x=1$对称,且点$N$在$y$轴上,
∴点$M$在对称轴的右侧,
∴$-m-1=1-0$,解得$m=-2$,
∴$P(-2,6)$,$Q(0,6)$,$M(2,-6)$,$N(0,-6)$,
∴$PQ=0-(-2)=2$,$QN=6-(-6)=12$,
∴四边形$PQMN$的面积$=PQ·QN=2×12=24$.
(3)$\because y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-3)$.
∵抛物线在四边形$PQMN$内部的图象(包括边界)记为$G$,图象$G$上的点的纵坐标$y$先随$x$的增大而减小,后随$x$的增大而增大,
∴图象$G$一定包含抛物线的顶点部分,即图象$G$的最低点的纵坐标为$-3$,如图
.又∵图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为$8$,
∴图象$G$的最高点的纵坐标为$8+(-3)=5$,
∴点$P$的纵坐标为$5$,$\therefore m^2-2m-2=5$,解得$m=±2\sqrt{2}+1$.$\because m＜0$,$\therefore m=-2\sqrt{2}+1$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知点$(-1,1)$代入解析式，求解参数$a$即可得到结果；
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式得到对称轴，再结合点$P$的横坐标写出$P$、$Q$的坐标；根据旋转$180°$即中心对称的性质，得到$M$、$N$的坐标；再利用$M$、$N$关于抛物线对称轴对称的性质列方程求出$m$的值，最后根据矩形面积公式计算四边形面积即可；
(3) 二次函数开口向上，图象$G$的$y$值先减后增说明图象包含抛物线顶点，即最低点为顶点，纵坐标为$-3$，结合纵坐标差为8可得最高点纵坐标为5，即点$P$纵坐标为5，代入解析式求解$m$后根据$m＜0$的条件筛选出正确结果即可。
【解析】
(1) 将点$(-1,1)$代入$y=ax^2-2x-2(a≠0)$，得：
$a× (-1)^2-2× (-1)-2=1$，即$a+2-2=1$，解得$a=1$，
∴该抛物线所对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
∵点$P$在抛物线上，横坐标为$m$，$PQ⊥y$轴于点$Q$，
∴$P(m,m^2-2m-2)$，$Q(0,m^2-2m-2)$。
∵线段$PQ$绕点$O$旋转$180°$得到线段$MN$，
∴点$P$与点$M$、点$Q$与点$N$分别关于原点$O$中心对称，且$PQ=MN$，$PQ// MN$，
∴$M(-m,-m^2+2m+2)$，$N(0,-m^2+2m+2)$，
∴四边形$PQMN$为平行四边形，又$PQ⊥QN$，故四边形$PQMN$为矩形。
∵$M$、$N$两点关于抛物线对称轴$x=1$对称，$N$点横坐标为0，
∴两点横坐标到对称轴的距离相等，即$-m-1=1-0$，解得$m=-2$，
代入得$P(-2,6)$，$Q(0,6)$，$M(2,-6)$，$N(0,-6)$，
∴$PQ=0-(-2)=2$，$QN=6-(-6)=12$，
∴四边形$PQMN$的面积$=PQ· QN=2×12=24$。
(3) 由$y=(x-1)^2-3$可知，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-3)$。
∵图象$G$上的点的纵坐标$y$先随$x$的增大而减小，后随$x$的增大而增大，
∴图象$G$包含抛物线的顶点部分，即图象$G$的最低点纵坐标为$-3$，如图。
∵图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为8，
∴图象$G$的最高点的纵坐标为$-3+8=5$，即点$P$的纵坐标为5，
代入解析式得$m^2-2m-2=5$，整理得$m^2-2m-7=0$，解得$m=1\pm2\sqrt{2}$，
∵$m＜0$，$1+2\sqrt{2}＞0$不符合要求，故$m=1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-2}$；
(2) $\boldsymbol{24}$；
(3) $\boldsymbol{m=1-2\sqrt{2}}$，对应图象如图。
【知识点】
待定系数法求解析式、中心对称的性质、二次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数与几何变换的综合题，解题时需要结合代数计算和几何性质分析条件，求解参数时要注意结合题目给出的限制条件筛选解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知点$(-1,1)$代入解析式，求解参数$a$即可得到结果；
(2) 先将抛物线解析式化为顶点式得到对称轴，再结合点$P$的横坐标写出$P$、$Q$的坐标；根据旋转$180°$即中心对称的性质，得到$M$、$N$的坐标；再利用$M$、$N$关于抛物线对称轴对称的性质列方程求出$m$的值，最后根据矩形面积公式计算四边形面积即可；
(3) 二次函数开口向上，图象$G$的$y$值先减后增说明图象包含抛物线顶点，即最低点为顶点，纵坐标为$-3$，结合纵坐标差为8可得最高点纵坐标为5，即点$P$纵坐标为5，代入解析式求解$m$后根据$m＜0$的条件筛选出正确结果即可。
【解析】
(1) 将点$(-1,1)$代入$y=ax^2-2x-2(a≠0)$，得：
$a× (-1)^2-2× (-1)-2=1$，即$a+2-2=1$，解得$a=1$，
∴该抛物线所对应的函数表达式为$y=x^2-2x-2$。
(2) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2-2x-2=(x-1)^2-3$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
∵点$P$在抛物线上，横坐标为$m$，$PQ⊥y$轴于点$Q$，
∴$P(m,m^2-2m-2)$，$Q(0,m^2-2m-2)$。
∵线段$PQ$绕点$O$旋转$180°$得到线段$MN$，
∴点$P$与点$M$、点$Q$与点$N$分别关于原点$O$中心对称，且$PQ=MN$，$PQ// MN$，
∴$M(-m,-m^2+2m+2)$，$N(0,-m^2+2m+2)$，
∴四边形$PQMN$为平行四边形，又$PQ⊥QN$，故四边形$PQMN$为矩形。
∵$M$、$N$两点关于抛物线对称轴$x=1$对称，$N$点横坐标为0，
∴两点横坐标到对称轴的距离相等，即$-m-1=1-0$，解得$m=-2$，
代入得$P(-2,6)$，$Q(0,6)$，$M(2,-6)$，$N(0,-6)$，
∴$PQ=0-(-2)=2$，$QN=6-(-6)=12$，
∴四边形$PQMN$的面积$=PQ· QN=2×12=24$。
(3) 由$y=(x-1)^2-3$可知，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-3)$。
∵图象$G$上的点的纵坐标$y$先随$x$的增大而减小，后随$x$的增大而增大，
∴图象$G$包含抛物线的顶点部分，即图象$G$的最低点纵坐标为$-3$，如图
。∵图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为8，
∴图象$G$的最高点的纵坐标为$-3+8=5$，即点$P$的纵坐标为5，
代入解析式得$m^2-2m-2=5$，整理得$m^2-2m-7=0$，解得$m=1\pm2\sqrt{2}$，
∵$m＜0$，$1+2\sqrt{2}＞0$不符合要求，故$m=1-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x-2}$；
(2) $\boldsymbol{24}$；
(3) $\boldsymbol{m=1-2\sqrt{2}}$，对应图象如图
。【知识点】
待定系数法求解析式、中心对称的性质、二次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数与几何变换的综合题，解题时需要结合代数计算和几何性质分析条件，求解参数时要注意结合题目给出的限制条件筛选解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ (河北中考)已知二次函数$y=-x^2+m^2x$和$y=x^2 - m^2$（$m$是常数）的图象与$x$轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（
A.2
B.$m^2$
C.4
D.$2m^2$
A
）A.2
B.$m^2$
C.4
D.$2m^2$
答案
7. A 解析:令$y=0$,则$-x^2+m^2x=0$和$x^2-m^2=0$,解得$x=0$或$x=m^2$或$x=-m$或$x=m$.不妨设$m＞0$,如图
,∵$(m,0)$和$(-m,0)$关于原点对称,又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,
∴$(m^2,0)$与原点关于点$(m,0)$对称,
∴$2m=m^2$,
∴$m=2$或$m=0$(舍去).
∵抛物线$y=x^2-m^2$的对称轴为直线$x=0$,抛物线$y=-x^2+m^2x$的对称轴为直线$x=\frac{m^2}{2}=2$,
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2,故选A.
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，求两个二次函数与x轴的交点，遇到函数与x轴交点问题，首先令y=0分别解两个一元二次方程，即可得到四个交点的横坐标；第二步，结合图像中交点的排列顺序和“相邻两点距离相等”的条件，建立关于m的等量关系，求解m的取值，注意m≠0，否则两个函数与x轴都只有1个交点，不符合题意；第三步，分别求出两个二次函数的对称轴，计算两条对称轴之间的距离即可。
【解析】
令$y=0$，分别解两个方程：
对于$y=-x^2+m^2x$，有$-x^2+m^2x=0$，因式分解得$x(-x+m^2)=0$，解得$x=0$或$x=m^2$；
对于$y=x^2 - m^2$，有$x^2 - m^2=0$，解得$x=-m$或$x=m$。
不妨设$m＞0$，结合图像可得四个交点在x轴上从左到右依次为$(-m,0)$、$(0,0)$、$(m,0)$、$(m^2,0)$。
∵每相邻两点间的距离都相等，
∴相邻两段距离相等，即$m - 0 = m^2 - m$，整理得$m^2=2m$，
解得$m=2$或$m=0$，当$m=0$时两个函数与x轴的交点不足4个，不符合题意，舍去，故$m=2$。
二次函数$y=x^2 - m^2$的对称轴为直线$x=0$，
二次函数$y=-x^2+m^2x$的对称轴为直线$x=\frac{m^2}{2}=\frac{4}{2}=2$，
∴两个函数图象对称轴之间的距离为$|2 - 0|=2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点；二次函数对称轴；数轴两点距离
【点评】
本题综合考察二次函数的性质与数轴上点的距离关系，解题的核心是先求出所有交点坐标，再根据相邻距离相等的条件建立方程求解参数，是二次函数基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步，求两个二次函数与x轴的交点，遇到函数与x轴交点问题，首先令y=0分别解两个一元二次方程，即可得到四个交点的横坐标；第二步，结合图像中交点的排列顺序和“相邻两点距离相等”的条件，建立关于m的等量关系，求解m的取值，注意m≠0，否则两个函数与x轴都只有1个交点，不符合题意；第三步，分别求出两个二次函数的对称轴，计算两条对称轴之间的距离即可。
【解析】
令$y=0$，分别解两个方程：
对于$y=-x^2+m^2x$，有$-x^2+m^2x=0$，因式分解得$x(-x+m^2)=0$，解得$x=0$或$x=m^2$；
对于$y=x^2 - m^2$，有$x^2 - m^2=0$，解得$x=-m$或$x=m$。
不妨设$m＞0$，结合图像可得四个交点在x轴上从左到右依次为$(-m,0)$、$(0,0)$、$(m,0)$、$(m^2,0)$。
∵每相邻两点间的距离都相等，
∴相邻两段距离相等，即$m - 0 = m^2 - m$，整理得$m^2=2m$，
解得$m=2$或$m=0$，当$m=0$时两个函数与x轴的交点不足4个，不符合题意，舍去，故$m=2$。
二次函数$y=x^2 - m^2$的对称轴为直线$x=0$，
二次函数$y=-x^2+m^2x$的对称轴为直线$x=\frac{m^2}{2}=\frac{4}{2}=2$，
∴两个函数图象对称轴之间的距离为$|2 - 0|=2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点；二次函数对称轴；数轴两点距离
【点评】
本题综合考察二次函数的性质与数轴上点的距离关系，解题的核心是先求出所有交点坐标，再根据相邻距离相等的条件建立方程求解参数，是二次函数基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.6
