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9. 如图3-4-13，在矩形ABCD中，AB=2√3，AD=10，三角尺的直角顶点P在AD上以每秒1个单位长度的速度由点D向点A滑动(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与直线AB交于点E。
(1)当∠CPD=30°时，求AE的长。
(2)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出点P的运动时间；若不存在，请说明理由。
(1)当∠CPD=30°时，求AE的长。
(2)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出点P的运动时间；若不存在，请说明理由。
答案
9. 解:(1)
∵∠CPD=90°−∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时,∠AEP=30°。
在Rt△CPD中,$CD=AB=2\sqrt{3},∠CPD=30°$，
因此 $PC=4\sqrt{3},PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=6$，
∴AP=AD−PD=10−6=4。
在Rt△APE中,AP=4,∠AEP=30°,因此 EP=8，
$AE=\sqrt{EP^2-AP^2}=4\sqrt{3}$。
(2)假设存在这样的点 P,运动时间为 t(0＜t＜10)s。
由(1)知∠CPD=∠AEP，
又∠A=∠D,
∴Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴$\frac{CD}{PA}=\frac{PD}{EA}=\frac{PC}{EP}=\frac{C_{△ DPC}}{C_{△ AEP}}=2$。
∵$CD=AB=2\sqrt{3}$，
∴$AP=\sqrt{3},\therefore DP=10-\sqrt{3},\therefore t=10-\sqrt{3}$。
∴存在这样的点 P,点 P 的运动时间为$(10-\sqrt{3})$s。
∵∠CPD=90°−∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时,∠AEP=30°。
在Rt△CPD中,$CD=AB=2\sqrt{3},∠CPD=30°$，
因此 $PC=4\sqrt{3},PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=6$，
∴AP=AD−PD=10−6=4。
在Rt△APE中,AP=4,∠AEP=30°,因此 EP=8，
$AE=\sqrt{EP^2-AP^2}=4\sqrt{3}$。
(2)假设存在这样的点 P,运动时间为 t(0＜t＜10)s。
由(1)知∠CPD=∠AEP，
又∠A=∠D,
∴Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴$\frac{CD}{PA}=\frac{PD}{EA}=\frac{PC}{EP}=\frac{C_{△ DPC}}{C_{△ AEP}}=2$。
∵$CD=AB=2\sqrt{3}$，
∴$AP=\sqrt{3},\therefore DP=10-\sqrt{3},\therefore t=10-\sqrt{3}$。
∴存在这样的点 P,点 P 的运动时间为$(10-\sqrt{3})$s。
解析
【分析】
(1) 首先利用矩形的性质得到∠A=∠D=90°，结合三角尺的直角∠EPC=90°，根据同角的余角相等可推出∠CPD=∠AEP。先在Rt△CPD中，利用30°角的直角三角形性质和勾股定理求出PD的长度，进而得到AP的长度，最后在Rt△APE中计算AE的长度即可。
(2) 先假设存在符合条件的点P，设运动时间为t，通过两角对应相等证明Rt△AEP∽Rt△DPC，根据相似三角形周长比等于相似比，结合周长的2倍关系得到相似比为2，再利用对应边成比例求出AP的长度，进而得到PD的长度即运动时间t，最后验证t的取值范围符合要求即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=$2\sqrt{3}$。
∵∠EPC=90°，
∴∠CPD+∠APE=90°，
又
∵∠AEP+∠APE=90°，
∴∠CPD=∠AEP。
当∠CPD=30°时，∠AEP=30°。
在Rt△CPD中，∠D=90°，CD=$2\sqrt{3}$，∠CPD=30°，
∴PC=2CD=$4\sqrt{3}$，
由勾股定理得$PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=6$，
∴AP=AD-PD=10-6=4。
在Rt△APE中，∠A=90°，∠AEP=30°，AP=4，
∴EP=2AP=8，
由勾股定理得$AE=\sqrt{EP^2-AP^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
(2) 假设存在这样的点P，设点P的运动时间为$t(0＜t＜10)$s，则PD=t。
由(1)可知∠CPD=∠AEP，又∠A=∠D=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴$\frac{C_{△DPC}}{C_{△AEP}}=\frac{CD}{AP}=2$。
∵CD=$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{AP}=2$，解得AP=$\sqrt{3}$，
∴PD=AD-AP=10-$\sqrt{3}$，即t=$10-\sqrt{3}$，
∵$0＜10-\sqrt{3}＜10$，符合点P的运动范围，
∴存在满足条件的点P。
【答案】
(1) $AE=4\sqrt{3}$；
(2) 存在，点P的运动时间为$(10-\sqrt{3})$s。
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于矩形背景下的动点综合题，将直角三角形计算、相似三角形的性质相结合，解题关键是通过角的互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，将周长的倍数关系转化为边长比例关系求解，解题时需注意验证动点结果是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用矩形的性质得到∠A=∠D=90°，结合三角尺的直角∠EPC=90°，根据同角的余角相等可推出∠CPD=∠AEP。先在Rt△CPD中，利用30°角的直角三角形性质和勾股定理求出PD的长度，进而得到AP的长度，最后在Rt△APE中计算AE的长度即可。
(2) 先假设存在符合条件的点P，设运动时间为t，通过两角对应相等证明Rt△AEP∽Rt△DPC，根据相似三角形周长比等于相似比，结合周长的2倍关系得到相似比为2，再利用对应边成比例求出AP的长度，进而得到PD的长度即运动时间t，最后验证t的取值范围符合要求即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=$2\sqrt{3}$。
∵∠EPC=90°，
∴∠CPD+∠APE=90°，
又
∵∠AEP+∠APE=90°，
∴∠CPD=∠AEP。
当∠CPD=30°时，∠AEP=30°。
在Rt△CPD中，∠D=90°，CD=$2\sqrt{3}$，∠CPD=30°，
∴PC=2CD=$4\sqrt{3}$，
由勾股定理得$PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=6$，
∴AP=AD-PD=10-6=4。
在Rt△APE中，∠A=90°，∠AEP=30°，AP=4，
∴EP=2AP=8，
由勾股定理得$AE=\sqrt{EP^2-AP^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
(2) 假设存在这样的点P，设点P的运动时间为$t(0＜t＜10)$s，则PD=t。
由(1)可知∠CPD=∠AEP，又∠A=∠D=90°，
∴Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴$\frac{C_{△DPC}}{C_{△AEP}}=\frac{CD}{AP}=2$。
∵CD=$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{AP}=2$，解得AP=$\sqrt{3}$，
∴PD=AD-AP=10-$\sqrt{3}$，即t=$10-\sqrt{3}$，
∵$0＜10-\sqrt{3}＜10$，符合点P的运动范围，
∴存在满足条件的点P。
【答案】
(1) $AE=4\sqrt{3}$；
(2) 存在，点P的运动时间为$(10-\sqrt{3})$s。
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于矩形背景下的动点综合题，将直角三角形计算、相似三角形的性质相结合，解题关键是通过角的互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，将周长的倍数关系转化为边长比例关系求解，解题时需注意验证动点结果是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6
10. 如图 3-4-14，在 $△ ABC$ 中，$BD = 2AD$，$AG=2CG$，$BE=EF=FC$，$S_{△ ABC}=9$，求阴影部分的面积。
图 3-4-14
图 3-4-14答案
10. 解:连接 DF(图略)，
∵$BD=2AD,BE=EF=FC=\frac{1}{3}BC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$。
又∠B=∠B,
∴△DBF∽△ABC，
∴$S_{△ DBF}:S_{△ ABC}=(\frac{2}{3})^2$。
∵△ABC 的面积为 9,
∴$S_{△ DBF}=\frac{4}{9}×9=4$。
∵BE=EF,
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ DBE}=4÷2=2$。
同理,$\frac{S_{△ GFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
∴$S_{△ GFC}=1$。
易知 $2S_{△ GFC}=S_{△ ADG},\therefore S_{△ ADG}=2$。
∴$S_{阴影}=9-2-1-2=4$。
∵$BD=2AD,BE=EF=FC=\frac{1}{3}BC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$。
又∠B=∠B,
∴△DBF∽△ABC，
∴$S_{△ DBF}:S_{△ ABC}=(\frac{2}{3})^2$。
∵△ABC 的面积为 9,
∴$S_{△ DBF}=\frac{4}{9}×9=4$。
∵BE=EF,
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ DBE}=4÷2=2$。
同理,$\frac{S_{△ GFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
∴$S_{△ GFC}=1$。
易知 $2S_{△ GFC}=S_{△ ADG},\therefore S_{△ ADG}=2$。
∴$S_{阴影}=9-2-1-2=4$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察发现阴影为不规则图形，优先采用“整体减空白”的思路求解，即阴影面积等于△ABC的面积减去三个空白小三角形的面积。首先根据题目给出的线段比例关系，通过连接辅助线DF构造相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△DBF的面积，再结合等底同高的三角形面积相等求出△DBE的面积；同理利用相似求出△GFC的面积，再根据共角三角形的面积比例关系求出△ADG的面积，最后用总面积减去三个空白面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：连接DF，
∵$BD=2AD$，$BE=EF=FC=\frac{1}{3}BC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$，
又
∵$∠ B=∠ B$，
∴$△ DBF ∽ △ ABC$，
∴$S_{△ DBF}:S_{△ ABC}=(\frac{2}{3})^2$，
∵$S_{△ ABC}=9$，
∴$S_{△ DBF}=\frac{4}{9}×9=4$，
∵$BE=EF$，$△ DBE$和$△ DEF$同高，
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ DBE}=4÷2=2$，
同理，$△ GFC ∽ △ ABC$，$\frac{S_{△ GFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ GFC}=1$，
对于$△ ADG$，$∠ A$为公共角，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AC}=\frac{2}{3}$，可得$S_{△ ADG}=2S_{△ GFC}=2$，
∴$S_{阴影}=9-2-1-2=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算，比例线段应用
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，将不规则面积转化为规则图形面积的差，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方、等底同高的三角形面积相等等性质是解题核心，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察发现阴影为不规则图形，优先采用“整体减空白”的思路求解，即阴影面积等于△ABC的面积减去三个空白小三角形的面积。首先根据题目给出的线段比例关系，通过连接辅助线DF构造相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△DBF的面积，再结合等底同高的三角形面积相等求出△DBE的面积；同理利用相似求出△GFC的面积，再根据共角三角形的面积比例关系求出△ADG的面积，最后用总面积减去三个空白面积即可得到阴影面积。
【解析】
解：连接DF，
∵$BD=2AD$，$BE=EF=FC=\frac{1}{3}BC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$，
又
∵$∠ B=∠ B$，
∴$△ DBF ∽ △ ABC$，
∴$S_{△ DBF}:S_{△ ABC}=(\frac{2}{3})^2$，
∵$S_{△ ABC}=9$，
∴$S_{△ DBF}=\frac{4}{9}×9=4$，
∵$BE=EF$，$△ DBE$和$△ DEF$同高，
∴$S_{△ DBE}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ DBE}=4÷2=2$，
同理，$△ GFC ∽ △ ABC$，$\frac{S_{△ GFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ GFC}=1$，
对于$△ ADG$，$∠ A$为公共角，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AG}{AC}=\frac{2}{3}$，可得$S_{△ ADG}=2S_{△ GFC}=2$，
∴$S_{阴影}=9-2-1-2=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算，比例线段应用
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，将不规则面积转化为规则图形面积的差，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方、等底同高的三角形面积相等等性质是解题核心，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
