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6. 若$x$为有理数，则$|x - 3| + |x - 2|$的最小值为
1
。答案
6. 1
解析
【分析】
解题可以从两个思路切入：①从绝对值的几何意义角度：|a-b|表示数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离，因此|x-3|是x到3的距离，|x-2|是x到2的距离，原式就是x到2、3两点的距离之和，要让距离和最小，x应落在2和3之间（含端点），此时距离和就是2和3之间的固定距离；②从代数化简角度：分情况讨论x的取值范围，去掉绝对值符号后化简整式，再分别求不同范围内的最小值，最后比较得到整体最小值。
【解析】
方法一（几何法）：
根据绝对值的几何意义，|x-3|表示数轴上表示数x的点到表示3的点的距离，|x-2|表示数轴上表示数x的点到表示2的点的距离，因此|x-3|+|x-2|表示x到2和3的距离之和。
当x在数轴上位于2和3之间（包括2和3）时，距离之和等于2和3之间的距离，即3-2=1；当x在2左侧或3右侧时，距离之和都会大于1，因此最小值为1。
方法二（代数分类法）：
分三种情况讨论：
1. 当x≥3时，原式=(x-3)+(x-2)=2x-5，x越小值越小，当x=3时取最小值，为$2×3-5=1$；
2. 当2≤x＜3时，原式=(3-x)+(x-2)=1，此范围内值恒为1；
3. 当x＜2时，原式=(3-x)+(2-x)=5-2x，x越大值越小，当x=2时取最小值，为$5-2×2=1$。
对比三种情况的结果，可得$|x - 3| + |x - 2|$的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的意义，分类讨论，数轴的应用
【点评】
本题是绝对值相关的经典题型，将代数运算和最值问题结合，既可以通过数形结合快速求解，也可以通过分类讨论化简得到结果，能有效考查对绝对值性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
解题可以从两个思路切入：①从绝对值的几何意义角度：|a-b|表示数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离，因此|x-3|是x到3的距离，|x-2|是x到2的距离，原式就是x到2、3两点的距离之和，要让距离和最小，x应落在2和3之间（含端点），此时距离和就是2和3之间的固定距离；②从代数化简角度：分情况讨论x的取值范围，去掉绝对值符号后化简整式，再分别求不同范围内的最小值，最后比较得到整体最小值。
【解析】
方法一（几何法）：
根据绝对值的几何意义，|x-3|表示数轴上表示数x的点到表示3的点的距离，|x-2|表示数轴上表示数x的点到表示2的点的距离，因此|x-3|+|x-2|表示x到2和3的距离之和。
当x在数轴上位于2和3之间（包括2和3）时，距离之和等于2和3之间的距离，即3-2=1；当x在2左侧或3右侧时，距离之和都会大于1，因此最小值为1。
方法二（代数分类法）：
分三种情况讨论：
1. 当x≥3时，原式=(x-3)+(x-2)=2x-5，x越小值越小，当x=3时取最小值，为$2×3-5=1$；
2. 当2≤x＜3时，原式=(3-x)+(x-2)=1，此范围内值恒为1；
3. 当x＜2时，原式=(3-x)+(2-x)=5-2x，x越大值越小，当x=2时取最小值，为$5-2×2=1$。
对比三种情况的结果，可得$|x - 3| + |x - 2|$的最小值为1。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的意义，分类讨论，数轴的应用
【点评】
本题是绝对值相关的经典题型，将代数运算和最值问题结合，既可以通过数形结合快速求解，也可以通过分类讨论化简得到结果，能有效考查对绝对值性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 在解决数学实际问题时,常常用到数形结合的思想,如:$|x+1|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$的点的距离,$|x-2|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数2的点的距离.结合以上知识,下列说法正确的是
① 若$|x-2022|=1$,则$x=2021$或$x=2023$;② 若$|x-1|=|x+3|$,则$x=-1$;③ 若$x＞y$,则$|x-2|＞|y-2|$;④ 关于$x$的方程$|x+1|+|x-2|=3$有无数个解.
①②④
(填序号).① 若$|x-2022|=1$,则$x=2021$或$x=2023$;② 若$|x-1|=|x+3|$,则$x=-1$;③ 若$x＞y$,则$|x-2|＞|y-2|$;④ 关于$x$的方程$|x+1|+|x-2|=3$有无数个解.
答案
7. ①②④
解析
【分析】
本题考查绝对值的代数意义与几何意义的应用，解题时逐个分析四个结论即可：①根据“若|a|=b（b＞0），则a=±b”计算x的值判断正误；②可通过绝对值相等的性质列方程求解，或根据几何意义找两点中点判断；③判断错误结论可通过举反例验证；④根据绝对值的几何意义，分析x到-1和2的距离之和为3时x的取值范围，判断解的个数。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① 若$|x-2022|=1$，根据绝对值的性质，可得$x-2022=1$或$x-2022=-1$，解得$x=2023$或$x=2021$，故①正确；
② 若$|x-1|=|x+3|$，绝对值相等的两个数相等或互为相反数：
情况1：$x-1=x+3$，化简得$-1=3$，无解；
情况2：$x-1=-(x+3)$，解方程得$x-1=-x-3$，$2x=-2$，$x=-1$，故②正确；
③ 举反例验证：取$x=2$，$y=1$，满足$x＞y$，此时$|x-2|=0$，$|y-2|=1$，可得$|x-2|＜|y-2|$，故③错误；
④ $|x+1|+|x-2|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示$-1$的点、表示$2$的点的距离之和，$-1$和$2$两点之间的距离为$2-(-1)=3$，因此当$-1\le x\le2$时，距离之和恒等于3，该区间内有无数个实数$x$，即方程有无数个解，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
绝对值的性质，数轴的应用，含绝对值方程求解
【点评】
本题将绝对值与数轴结合，渗透数形结合思想，既可以通过代数运算验证结论，也可以借助几何意义快速判断，举反例是判断错误结论的高效方法，同学们要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查绝对值的代数意义与几何意义的应用，解题时逐个分析四个结论即可：①根据“若|a|=b（b＞0），则a=±b”计算x的值判断正误；②可通过绝对值相等的性质列方程求解，或根据几何意义找两点中点判断；③判断错误结论可通过举反例验证；④根据绝对值的几何意义，分析x到-1和2的距离之和为3时x的取值范围，判断解的个数。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① 若$|x-2022|=1$，根据绝对值的性质，可得$x-2022=1$或$x-2022=-1$，解得$x=2023$或$x=2021$，故①正确；
② 若$|x-1|=|x+3|$，绝对值相等的两个数相等或互为相反数：
情况1：$x-1=x+3$，化简得$-1=3$，无解；
情况2：$x-1=-(x+3)$，解方程得$x-1=-x-3$，$2x=-2$，$x=-1$，故②正确；
③ 举反例验证：取$x=2$，$y=1$，满足$x＞y$，此时$|x-2|=0$，$|y-2|=1$，可得$|x-2|＜|y-2|$，故③错误；
④ $|x+1|+|x-2|$的几何意义是数轴上表示$x$的点到表示$-1$的点、表示$2$的点的距离之和，$-1$和$2$两点之间的距离为$2-(-1)=3$，因此当$-1\le x\le2$时，距离之和恒等于3，该区间内有无数个实数$x$，即方程有无数个解，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
绝对值的性质，数轴的应用，含绝对值方程求解
【点评】
本题将绝对值与数轴结合，渗透数形结合思想，既可以通过代数运算验证结论，也可以借助几何意义快速判断，举反例是判断错误结论的高效方法，同学们要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8. (1) $a=2,|b|=3$,若$a＞b$,则$b$的值是________;
(2) $a=1,|b|=2$,若$a＜b$,则$b$的值是________;
(3) $|a|=2,|b|=1$,若$a＞b$,求$a,b$的值;
(4) $|a|=2,|b|=1$,若$a＜b$,求$a,b$的值.
(2) $a=1,|b|=2$,若$a＜b$,则$b$的值是________;
(3) $|a|=2,|b|=1$,若$a＞b$,求$a,b$的值;
(4) $|a|=2,|b|=1$,若$a＜b$,求$a,b$的值.
答案
8. (1) $-3$ (2) $2$ (3) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＞b,\therefore a=2,b=\pm1.$ (4) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＜b,\therefore a=-2,b=\pm1.$
解析
【分析】
解这组题的通用思路是：首先根据绝对值的性质，求出对应字母所有可能的取值；再结合题目给出的大小比较条件，逐一判断每个取值是否符合要求，筛选出符合条件的结果即可，解题时注意不要漏算绝对值对应的正负两种情况。
【解析】
(1) 已知$a=2$，由$|b|=3$可得$b=3$或$b=-3$，结合条件$a＞b$（即$2＞b$），$3＞2$不符合要求，$-3＜2$符合要求，因此$b=-3$。
(2) 已知$a=1$，由$|b|=2$可得$b=2$或$b=-2$，结合条件$a＜b$（即$1＜b$），$-2＜1$不符合要求，$2＞1$符合要求，因此$b=2$。
(3) 由$|a|=2$可得$a=\pm2$，由$|b|=1$可得$b=\pm1$；结合条件$a＞b$：当$a=2$时，$2＞1$、$2＞-1$均成立，$b$可取$\pm1$；当$a=-2$时，$-2＜1$、$-2＜-1$均不成立，因此$a=2$，$b=\pm1$。
(4) 由$|a|=2$可得$a=\pm2$，由$|b|=1$可得$b=\pm1$；结合条件$a＜b$：当$a=2$时，$2＞1$、$2＞-1$均不成立；当$a=-2$时，$-2＜1$、$-2＜-1$均成立，$b$可取$\pm1$，因此$a=-2$，$b=\pm1$。
【答案】
(1) $-3$ (2) $2$ (3) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＞b,\therefore a=2,b=\pm1.$ (4) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＜b,\therefore a=-2,b=\pm1.$
【知识点】
1. 绝对值的性质 2. 有理数的大小比较
【点评】
本题是绝对值与有理数大小比较的综合基础题，解题核心是先根据绝对值性质列出所有可能的取值，再结合大小条件筛选，易错点是容易遗漏绝对值对应的负数值，或筛选时判断大小出错。
【难度系数】
0.8
解这组题的通用思路是：首先根据绝对值的性质，求出对应字母所有可能的取值；再结合题目给出的大小比较条件，逐一判断每个取值是否符合要求，筛选出符合条件的结果即可，解题时注意不要漏算绝对值对应的正负两种情况。
【解析】
(1) 已知$a=2$，由$|b|=3$可得$b=3$或$b=-3$，结合条件$a＞b$（即$2＞b$），$3＞2$不符合要求，$-3＜2$符合要求，因此$b=-3$。
(2) 已知$a=1$，由$|b|=2$可得$b=2$或$b=-2$，结合条件$a＜b$（即$1＜b$），$-2＜1$不符合要求，$2＞1$符合要求，因此$b=2$。
(3) 由$|a|=2$可得$a=\pm2$，由$|b|=1$可得$b=\pm1$；结合条件$a＞b$：当$a=2$时，$2＞1$、$2＞-1$均成立，$b$可取$\pm1$；当$a=-2$时，$-2＜1$、$-2＜-1$均不成立，因此$a=2$，$b=\pm1$。
(4) 由$|a|=2$可得$a=\pm2$，由$|b|=1$可得$b=\pm1$；结合条件$a＜b$：当$a=2$时，$2＞1$、$2＞-1$均不成立；当$a=-2$时，$-2＜1$、$-2＜-1$均成立，$b$可取$\pm1$，因此$a=-2$，$b=\pm1$。
【答案】
(1) $-3$ (2) $2$ (3) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＞b,\therefore a=2,b=\pm1.$ (4) $\because|a|=2,|b|=1,\therefore a=\pm2,b=\pm1.\because a＜b,\therefore a=-2,b=\pm1.$
【知识点】
1. 绝对值的性质 2. 有理数的大小比较
【点评】
本题是绝对值与有理数大小比较的综合基础题，解题核心是先根据绝对值性质列出所有可能的取值，再结合大小条件筛选，易错点是容易遗漏绝对值对应的负数值，或筛选时判断大小出错。
【难度系数】
0.8
9. 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示.
（1）化简：$|a|=$
（2）在图中的数轴上标出表示$-a,-b,-c$的点；
（3）将$a,b,c,-a,-b,-c$按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
（1）化简：$|a|=$
-a
；$|b|=$b
；$|c|=$-c
；（2）在图中的数轴上标出表示$-a,-b,-c$的点；
（3）将$a,b,c,-a,-b,-c$按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
答案
9. (1) $-a$ $b$ $-c$ (2) 略 (3) 观察数轴可知:$c＜-b＜a＜-a＜b＜-c.$
解析
【分析】
首先观察数轴可得有理数$c$、$a$为负数，$b$为正数，且$c＜a＜0＜b$。对于（1），根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可化简三个绝对值；对于（2），根据相反数的几何意义：互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧，即可标出$-a$、$-b$、$-c$的位置；对于（3），根据“数轴上左边的数总小于右边的数”，将6个数按数轴上从左到右的顺序排列即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$。
（1）因为$a$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|a|=-a$；
因为$b$是正数，正数的绝对值等于它本身，所以$|b|=b$；
因为$c$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|c|=-c$。
（2）根据相反数的几何意义标注：
$-a$是$a$的相反数，在原点右侧，与$a$到原点的距离相等；
$-b$是$b$的相反数，在原点左侧，位于$a$和$0$之间，与$b$到原点的距离相等；
$-c$是$c$的相反数，在原点右侧，位于$b$的右侧，与$c$到原点的距离相等，按上述规则标注即可。
（3）根据数轴上数的大小规律：左边的数始终小于右边的数，将$a,b,c,-a,-b,-c$按从左到右的顺序排列，得到$c ＜ -b ＜ a ＜ -a ＜ b ＜ -c$。
【答案】
（1）$-a$；$b$；$-c$
（2）略
（3）$c＜-b＜a＜-a＜b＜-c$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的概念；有理数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关基础性质，解题的关键是先通过数轴判断各数的正负和相对大小关系，再结合绝对值、相反数的性质逐步求解，利用数轴比较数的大小更直观清晰，能有效避免排序错误。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得有理数$c$、$a$为负数，$b$为正数，且$c＜a＜0＜b$。对于（1），根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可化简三个绝对值；对于（2），根据相反数的几何意义：互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧，即可标出$-a$、$-b$、$-c$的位置；对于（3），根据“数轴上左边的数总小于右边的数”，将6个数按数轴上从左到右的顺序排列即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$c ＜ a ＜ 0 ＜ b$。
（1）因为$a$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|a|=-a$；
因为$b$是正数，正数的绝对值等于它本身，所以$|b|=b$；
因为$c$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|c|=-c$。
（2）根据相反数的几何意义标注：
$-a$是$a$的相反数，在原点右侧，与$a$到原点的距离相等；
$-b$是$b$的相反数，在原点左侧，位于$a$和$0$之间，与$b$到原点的距离相等；
$-c$是$c$的相反数，在原点右侧，位于$b$的右侧，与$c$到原点的距离相等，按上述规则标注即可。
（3）根据数轴上数的大小规律：左边的数始终小于右边的数，将$a,b,c,-a,-b,-c$按从左到右的顺序排列，得到$c ＜ -b ＜ a ＜ -a ＜ b ＜ -c$。
【答案】
（1）$-a$；$b$；$-c$
（2）略
（3）$c＜-b＜a＜-a＜b＜-c$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的概念；有理数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关基础性质，解题的关键是先通过数轴判断各数的正负和相对大小关系，再结合绝对值、相反数的性质逐步求解，利用数轴比较数的大小更直观清晰，能有效避免排序错误。
【难度系数】
0.7
10. |4－1|表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|4＋1|可以看作|4－(－1)|，表示4与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离。
(1) |4－(－1)|＝
(2) 在数轴上，有理数5与－3所对应的两点之间的距离为
(3) 结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x＋1|＝3，x的值为
(4) 利用数轴分析(如图)，若x是整数，且满足|x＋3|＋|x－2|＝5，求满足条件的所有x的值。
(1) |4－(－1)|＝
5
；(2) 在数轴上，有理数5与－3所对应的两点之间的距离为
8
；(3) 结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x＋1|＝3，x的值为
-4或2
；(4) 利用数轴分析(如图)，若x是整数，且满足|x＋3|＋|x－2|＝5，求满足条件的所有x的值。
答案
10. (1) 5 (2) 8 (3) $-4或2$ (4)$x=-3,x=-2,x=-1,x=0,x=1,x=2.$
解析
【分析】
本题围绕绝对值的几何意义设计，解题核心是理解|a-b|表示数轴上数a、b对应两点之间的距离，结合数轴直观分析即可解题：
1. 前两问直接将两点距离转化为求两数差的绝对值计算即可；
2. 第三问把|x+1|转化为x到-1的距离，距离为3时x在-1的左右两侧各有一个符合条件的值；
3. 第四问先明确两个绝对值分别对应的距离含义，先算出两个定点的距离，判断出x的取值范围，再找出范围内的整数即可。
【解析】
(1) 根据题意，|4－(－1)|表示4与-1在数轴上的距离，计算得：$\vert4 - (-1)\vert = \vert5\vert = 5$；
(2) 有理数5与-3对应两点的距离为$\vert5 - (-3)\vert = \vert8\vert = 8$；
(3) $|x+1|=3$可变形为$\vert x - (-1)\vert=3$，即x到-1的距离为3：
若x在-1左侧，$x = -1 - 3 = -4$；
若x在-1右侧，$x = -1 + 3 = 2$；
故x的值为-4或2；
(4) $|x+3|$表示x到-3的距离，$|x-2|$表示x到2的距离：
先计算-3与2两点之间的距离：$2 - (-3) = 5$，
因此当x在-3和2之间（包含端点-3、2）时，x到两个点的距离之和恰好为5，
又因为x是整数，所以x可取的值为-3、-2、-1、0、1、2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{8}$；(3) $\boldsymbol{-4或2}$；(4) $\boldsymbol{-3、-2、-1、0、1、2}$
【知识点】
绝对值的意义；数轴的应用；两点距离计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将抽象的绝对值运算转化为直观的数轴距离问题，既可以加深对绝对值含义的理解，也能大幅简化绝对值相关问题的解题难度，需要熟练掌握绝对值和数轴的关联应用。
【难度系数】
0.7
本题围绕绝对值的几何意义设计，解题核心是理解|a-b|表示数轴上数a、b对应两点之间的距离，结合数轴直观分析即可解题：
1. 前两问直接将两点距离转化为求两数差的绝对值计算即可；
2. 第三问把|x+1|转化为x到-1的距离，距离为3时x在-1的左右两侧各有一个符合条件的值；
3. 第四问先明确两个绝对值分别对应的距离含义，先算出两个定点的距离，判断出x的取值范围，再找出范围内的整数即可。
【解析】
(1) 根据题意，|4－(－1)|表示4与-1在数轴上的距离，计算得：$\vert4 - (-1)\vert = \vert5\vert = 5$；
(2) 有理数5与-3对应两点的距离为$\vert5 - (-3)\vert = \vert8\vert = 8$；
(3) $|x+1|=3$可变形为$\vert x - (-1)\vert=3$，即x到-1的距离为3：
若x在-1左侧，$x = -1 - 3 = -4$；
若x在-1右侧，$x = -1 + 3 = 2$；
故x的值为-4或2；
(4) $|x+3|$表示x到-3的距离，$|x-2|$表示x到2的距离：
先计算-3与2两点之间的距离：$2 - (-3) = 5$，
因此当x在-3和2之间（包含端点-3、2）时，x到两个点的距离之和恰好为5，
又因为x是整数，所以x可取的值为-3、-2、-1、0、1、2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{8}$；(3) $\boldsymbol{-4或2}$；(4) $\boldsymbol{-3、-2、-1、0、1、2}$
【知识点】
绝对值的意义；数轴的应用；两点距离计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将抽象的绝对值运算转化为直观的数轴距离问题，既可以加深对绝对值含义的理解，也能大幅简化绝对值相关问题的解题难度，需要熟练掌握绝对值和数轴的关联应用。
【难度系数】
0.7
