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1. 已知下列一组数:1, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{16}$, $\frac{9}{25}$, …。若用代数式表示第$n$个数,则第$n$个数是 (
A.$\frac{2n-1}{3n-2}$
B.$\frac{2n-1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{3n-2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
B
)A.$\frac{2n-1}{3n-2}$
B.$\frac{2n-1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{3n-2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$
答案
B
解析
【分析】
要推导这组数的第n个代数式，可将分数拆分为分子、分母两部分分别找规律，也可通过代入特殊值排除错误选项。第一种思路：先观察分子的排列特征，再观察分母的排列特征，分别推导第n项的分子、分母表达式后组合即可；第二种思路：将n=1、n=2等小数值代入四个选项，和题目给出的对应数对比，不符合的直接排除。
【解析】
方法一：拆分找规律
1. 分析分子规律：给出数的分子依次为1、3、5、7、9，是连续的正奇数，第1个分子为$2×1-1=1$，第2个分子为$2×2-1=3$，第3个分子为$2×3-1=5$，以此类推，第n个的分子为$2n-1$。
2. 分析分母规律：给出数的分母依次为1、4、9、16、25，分别是对应项数的平方，第1个分母为$1^2=1$，第2个分母为$2^2=4$，第3个分母为$3^2=9$，以此类推，第n个的分母为$n^2$。
3. 组合可得第n个数为$\frac{2n-1}{n^2}$。
方法二：代入排除法
1. 当n=1时，第1个数是1，代入选项：C选项$\frac{2×1+1}{3×1-2}=3$，D选项$\frac{2×1+1}{1^2}=3$，均不符合，排除C、D；
2. 当n=3时，第3个数是$\frac{5}{9}$，代入A选项$\frac{2×3-1}{3×3-2}=\frac{5}{7}$，不符合，排除A；
3. 仅剩B选项符合所有已知数值。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是代数式规律类的常见题型，解题核心是拆分结构分别找规律，也可利用特殊值代入法快速排除错误选项，是检验规律探究能力的基础习题。
【难度系数】
0.8
要推导这组数的第n个代数式，可将分数拆分为分子、分母两部分分别找规律，也可通过代入特殊值排除错误选项。第一种思路：先观察分子的排列特征，再观察分母的排列特征，分别推导第n项的分子、分母表达式后组合即可；第二种思路：将n=1、n=2等小数值代入四个选项，和题目给出的对应数对比，不符合的直接排除。
【解析】
方法一：拆分找规律
1. 分析分子规律：给出数的分子依次为1、3、5、7、9，是连续的正奇数，第1个分子为$2×1-1=1$，第2个分子为$2×2-1=3$，第3个分子为$2×3-1=5$，以此类推，第n个的分子为$2n-1$。
2. 分析分母规律：给出数的分母依次为1、4、9、16、25，分别是对应项数的平方，第1个分母为$1^2=1$，第2个分母为$2^2=4$，第3个分母为$3^2=9$，以此类推，第n个的分母为$n^2$。
3. 组合可得第n个数为$\frac{2n-1}{n^2}$。
方法二：代入排除法
1. 当n=1时，第1个数是1，代入选项：C选项$\frac{2×1+1}{3×1-2}=3$，D选项$\frac{2×1+1}{1^2}=3$，均不符合，排除C、D；
2. 当n=3时，第3个数是$\frac{5}{9}$，代入A选项$\frac{2×3-1}{3×3-2}=\frac{5}{7}$，不符合，排除A；
3. 仅剩B选项符合所有已知数值。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是代数式规律类的常见题型，解题核心是拆分结构分别找规律，也可利用特殊值代入法快速排除错误选项，是检验规律探究能力的基础习题。
【难度系数】
0.8
2. 观察下列单项式：$x, 3x^2, 5x^3, 7x, 9x^2, 11x^3, \dots$。则第2024个单项式是
$4047x^2$
。答案
$4047x^2$
解析
【分析】
解决这道题我们需要拆分单项式的系数和x的指数分别找规律：①先看系数：给出的单项式系数依次是1、3、5、7、9、11…都是连续奇数，可推出第n个单项式的系数为$2n-1$；②再看x的指数：依次是1、2、3、1、2、3…呈现每3个为1个周期的循环规律，可通过计算n除以3的余数判断对应指数：余数为1时指数是1，余数为2时指数是2，刚好整除时指数是3。最后将n=2024代入两个规律即可得到结果。
【解析】
步骤1：推导系数规律
观察系数序列1，3，5，7，9，11…，均为连续奇数，因此第n个单项式的系数为$2n-1$。
当n=2024时，系数为$2×2024 - 1 = 4048 - 1 = 4047$。
步骤2：推导x的指数规律
观察x的指数序列1，2，3，1，2，3…，周期为3循环。
计算2024除以3的余数：$2024÷3 = 674······2$，余数为2，对应指数为2。
综上，第2024个单项式为$4047x^2$。
【答案】
$4047x^2$
【知识点】
单项式规律探究，周期问题，列代数式
【点评】
本题是代数式规律探究类常见题型，需要将单项式拆分为系数和字母指数两部分分别分析，重点考查观察归纳能力和周期规律的运用，解题关键是发现指数每3个一循环的特征。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们需要拆分单项式的系数和x的指数分别找规律：①先看系数：给出的单项式系数依次是1、3、5、7、9、11…都是连续奇数，可推出第n个单项式的系数为$2n-1$；②再看x的指数：依次是1、2、3、1、2、3…呈现每3个为1个周期的循环规律，可通过计算n除以3的余数判断对应指数：余数为1时指数是1，余数为2时指数是2，刚好整除时指数是3。最后将n=2024代入两个规律即可得到结果。
【解析】
步骤1：推导系数规律
观察系数序列1，3，5，7，9，11…，均为连续奇数，因此第n个单项式的系数为$2n-1$。
当n=2024时，系数为$2×2024 - 1 = 4048 - 1 = 4047$。
步骤2：推导x的指数规律
观察x的指数序列1，2，3，1，2，3…，周期为3循环。
计算2024除以3的余数：$2024÷3 = 674······2$，余数为2，对应指数为2。
综上，第2024个单项式为$4047x^2$。
【答案】
$4047x^2$
【知识点】
单项式规律探究，周期问题，列代数式
【点评】
本题是代数式规律探究类常见题型，需要将单项式拆分为系数和字母指数两部分分别分析，重点考查观察归纳能力和周期规律的运用，解题关键是发现指数每3个一循环的特征。
【难度系数】
0.7
3. 有一种塑料杯子的高度是10 cm，两个以及三个这种杯子叠放时的高度如下图所示，则n个这种杯子叠放在一起的高度是
$3n+7$
cm。（用含n的代数式表示）答案
$3n+7$
解析
【分析】
首先观察不同数量杯子叠放的高度：单个杯子高度10cm，2个叠放高13cm，3个叠放高16cm。第一步先找增量：对比1个和2个的高度差，算出每多叠1个杯子增加的高度，再验证2个和3个的高度差确认增量是否一致；第二步推导n个杯子的总高度：总高度等于1个杯子的基础高度，加上额外(n-1)个杯子带来的高度增量，最后化简代数式即可得到结果。
【解析】
解：首先计算每多叠放1个杯子增加的高度：
2个杯子叠放比1个杯子高：$13 - 10 = 3\ \mathrm{cm}$
验证：3个杯子叠放比2个杯子高：$16 - 13 = 3\ \mathrm{cm}$，即每多叠1个杯子，总高度增加3cm。
n个杯子叠放时，基础是1个高10cm的杯子，剩下$(n-1)$个杯子每个增加3cm高度，因此总高度为：
$\begin{aligned}&10 + 3(n-1)\\=&10 + 3n - 3\\=&3n + 7\end{aligned}$
【答案】
$3n+7$
【知识点】
规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题属于叠放类规律探究题，解题核心是准确找到每增加一个叠放物体时的高度增量，再结合初始高度推导通用表达式，计算时注意正确化简整式即可。
【难度系数】
0.7
首先观察不同数量杯子叠放的高度：单个杯子高度10cm，2个叠放高13cm，3个叠放高16cm。第一步先找增量：对比1个和2个的高度差，算出每多叠1个杯子增加的高度，再验证2个和3个的高度差确认增量是否一致；第二步推导n个杯子的总高度：总高度等于1个杯子的基础高度，加上额外(n-1)个杯子带来的高度增量，最后化简代数式即可得到结果。
【解析】
解：首先计算每多叠放1个杯子增加的高度：
2个杯子叠放比1个杯子高：$13 - 10 = 3\ \mathrm{cm}$
验证：3个杯子叠放比2个杯子高：$16 - 13 = 3\ \mathrm{cm}$，即每多叠1个杯子，总高度增加3cm。
n个杯子叠放时，基础是1个高10cm的杯子，剩下$(n-1)$个杯子每个增加3cm高度，因此总高度为：
$\begin{aligned}&10 + 3(n-1)\\=&10 + 3n - 3\\=&3n + 7\end{aligned}$
【答案】
$3n+7$
【知识点】
规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题属于叠放类规律探究题，解题核心是准确找到每增加一个叠放物体时的高度增量，再结合初始高度推导通用表达式，计算时注意正确化简整式即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,用火柴棍拼成图案,其中第1个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形,第2个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形……若按此规律拼下去,则第n个图案需要火柴棍的根数为
$6n+6$
。(用含n的代数式表示)答案
$6n+6$
解析
【分析】
解决这类图形规律问题，我们可以先从已知的前几个图案入手，先分别数出每个图案对应的火柴棍根数，再对比火柴棍数量和图案序号n的关系，找到变化规律。首先数出第1个图案有12根火柴棍，第2个有18根，第3个有24根，观察发现每多1个小菱形，火柴棍数量就增加6根，据此就能推导第n个图案的火柴棍根数。
【解析】
我们先计算前3个图案的火柴棍根数：
当n=1（第1个图案）时，火柴棍根数为12，可写成：$12=6×1+6$；
当n=2（第2个图案）时，火柴棍根数为18，可写成：$18=6×2+6$；
当n=3（第3个图案）时，火柴棍根数为24，可写成：$24=6×3+6$；
观察可得，每增加1个小菱形，火柴棍的数量固定增加6根，因此第n个图案需要的火柴棍根数为$6n+6$。
【答案】
$\boxed{6n+6}$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，找到固定的变化增量，再推导通用的代数式表示规律，解题时要注意准确数出前几个图形的火柴棍数量，避免因计数错误导致规律找错。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律问题，我们可以先从已知的前几个图案入手，先分别数出每个图案对应的火柴棍根数，再对比火柴棍数量和图案序号n的关系，找到变化规律。首先数出第1个图案有12根火柴棍，第2个有18根，第3个有24根，观察发现每多1个小菱形，火柴棍数量就增加6根，据此就能推导第n个图案的火柴棍根数。
【解析】
我们先计算前3个图案的火柴棍根数：
当n=1（第1个图案）时，火柴棍根数为12，可写成：$12=6×1+6$；
当n=2（第2个图案）时，火柴棍根数为18，可写成：$18=6×2+6$；
当n=3（第3个图案）时，火柴棍根数为24，可写成：$24=6×3+6$；
观察可得，每增加1个小菱形，火柴棍的数量固定增加6根，因此第n个图案需要的火柴棍根数为$6n+6$。
【答案】
$\boxed{6n+6}$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，找到固定的变化增量，再推导通用的代数式表示规律，解题时要注意准确数出前几个图形的火柴棍数量，避免因计数错误导致规律找错。
【难度系数】
0.7
5. 如图,这是某月的月历表,观察月历表,回答下列问题:
(1)月历表中被框起来的9个数之和与该方框中间的数有什么关系?
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
(3)这个关系对任何一个月的月历表都成立吗?为什么?
(1)月历表中被框起来的9个数之和与该方框中间的数有什么关系?
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?
(3)这个关系对任何一个月的月历表都成立吗?为什么?
答案
(1)9个数的和为中间数的9倍。
(2)任意框9个数，设中间的数为$a$，则左、右两边的数分别为$a-1,a+1$，上行邻数为$(a-7)$，下行邻数为$(a+7)$，左上角、右上角邻数分别为$(a-8),(a-6)$，左下角、右下角邻数分别为$(a+6),(a+8)$，所以9个数之和为$a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a$。
(3)这个关系对任何一个月的月历表都成立，理由为任何一个月历表都具有这种排列规律。
(2)任意框9个数，设中间的数为$a$，则左、右两边的数分别为$a-1,a+1$，上行邻数为$(a-7)$，下行邻数为$(a+7)$，左上角、右上角邻数分别为$(a-8),(a-6)$，左下角、右下角邻数分别为$(a+6),(a+8)$，所以9个数之和为$a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a$。
(3)这个关系对任何一个月的月历表都成立，理由为任何一个月历表都具有这种排列规律。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 要探究框内9个数之和与中间数的关系，先直接计算这9个数的总和，再与中间数作比较，就能得到二者的倍数关系。
(2) 验证该关系是否通用时，首先明确月历的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。设中间数为$a$，用含$a$的代数式表示出其余8个数，再将9个数相加化简，观察和与$a$的关系即可推导出通用结论。
(3) 判断是否对所有月历成立，只需看月历的排列规律是否通用：所有月历都按每周7天排列，上述数的差值规律对任意月历都适用，即可得到对应结论。
【解析】
(1) 计算被框的9个数的和：$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$，方框中间的数是9，$81÷9=9$，因此9个数的和是中间数的9倍。
(2) 该关系对其他同类型方框也成立。设方框中间的数为$a$，根据月历排列规律：
同一行相邻数相差1，因此中间数左侧为$a-1$，右侧为$a+1$；
同一列相邻数相差7，因此中间数上方为$a-7$，下方为$a+7$；
四个角的数分别为：左上角$a-8$，右上角$a-6$，左下角$a+6$，右下角$a+8$。
将9个数求和：
$\begin{split}&a+(a-1)+(a+1)+(a-7)+(a+7)+(a-8)+(a-6)+(a+6)+(a+8)\\=&9a+(-1+1-7+7-8-6+6+8)\\=&9a\end{split}$
因此9个数之和为$9a$，即9个数的和是中间数的9倍，关系成立。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。因为所有月历的排列规则一致：每周有7天，所以同一列上下两数相差7，同一行左右两数相差1，该排列规律是所有月历共有的，因此上述关系通用。
【答案】
(1)9个数的和为中间数的9倍。
(2)成立。设中间的数为$a$，则左、右两边的数分别为$a-1,a+1$，上行邻数为$(a-7)$，下行邻数为$(a+7)$，左上角、右上角邻数分别为$(a-8),(a-6)$，左下角、右下角邻数分别为$(a+6),(a+8)$，所以9个数之和为$a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a$，即9个数的和为中间数的9倍。
(3)成立，理由为任何一个月历表都具有这种排列规律。
【知识点】
数字规律探究，代数式的应用，整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体计算得到初步结论，再通过代数式推导验证规律的通用性，能有效锻炼逻辑推理和抽象概括能力。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：
(1) 要探究框内9个数之和与中间数的关系，先直接计算这9个数的总和，再与中间数作比较，就能得到二者的倍数关系。
(2) 验证该关系是否通用时，首先明确月历的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。设中间数为$a$，用含$a$的代数式表示出其余8个数，再将9个数相加化简，观察和与$a$的关系即可推导出通用结论。
(3) 判断是否对所有月历成立，只需看月历的排列规律是否通用：所有月历都按每周7天排列，上述数的差值规律对任意月历都适用，即可得到对应结论。
【解析】
(1) 计算被框的9个数的和：$1+2+3+8+9+10+15+16+17=81$，方框中间的数是9，$81÷9=9$，因此9个数的和是中间数的9倍。
(2) 该关系对其他同类型方框也成立。设方框中间的数为$a$，根据月历排列规律：
同一行相邻数相差1，因此中间数左侧为$a-1$，右侧为$a+1$；
同一列相邻数相差7，因此中间数上方为$a-7$，下方为$a+7$；
四个角的数分别为：左上角$a-8$，右上角$a-6$，左下角$a+6$，右下角$a+8$。
将9个数求和：
$\begin{split}&a+(a-1)+(a+1)+(a-7)+(a+7)+(a-8)+(a-6)+(a+6)+(a+8)\\=&9a+(-1+1-7+7-8-6+6+8)\\=&9a\end{split}$
因此9个数之和为$9a$，即9个数的和是中间数的9倍，关系成立。
(3) 这个关系对任何一个月的月历都成立。因为所有月历的排列规则一致：每周有7天，所以同一列上下两数相差7，同一行左右两数相差1，该排列规律是所有月历共有的，因此上述关系通用。
【答案】
(1)9个数的和为中间数的9倍。
(2)成立。设中间的数为$a$，则左、右两边的数分别为$a-1,a+1$，上行邻数为$(a-7)$，下行邻数为$(a+7)$，左上角、右上角邻数分别为$(a-8),(a-6)$，左下角、右下角邻数分别为$(a+6),(a+8)$，所以9个数之和为$a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a$，即9个数的和为中间数的9倍。
(3)成立，理由为任何一个月历表都具有这种排列规律。
【知识点】
数字规律探究，代数式的应用，整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，遵循从特殊到一般的探究思路，先通过具体计算得到初步结论，再通过代数式推导验证规律的通用性，能有效锻炼逻辑推理和抽象概括能力。
【难度系数】
0.75
