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例1 如图，学校准备新建一个长度为$L$(m)的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5 m。
(1)按图示规律，第一个图案的长度$L_1=$
(2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数$n$与长廊的长度$L_n$(m)之间的关系：
(1)按图示规律，第一个图案的长度$L_1=$
1.5
m；第二个图案的长度$L_2=$2.5
m。(2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数$n$与长廊的长度$L_n$(m)之间的关系：
$L_n=n+0.5$
。答案
(1)第一个图案的长度$L_1=0.5×3=1.5(\mathrm{m})$，第二个图案的长度$L_2=0.5×5=2.5(\mathrm{m})$。
(2)观察可得，第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块……故第$n$个图案中有花纹的地面砖有$n$块。第一个图案中$L_1=3×0.5$，第二个图案中$L_2=5×0.5$……则第$n$个图案中$L_n=0.5(2n+1)=n+0.5$。
(2)观察可得，第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块……故第$n$个图案中有花纹的地面砖有$n$块。第一个图案中$L_1=3×0.5$，第二个图案中$L_2=5×0.5$……则第$n$个图案中$L_n=0.5(2n+1)=n+0.5$。
解析
【分析】
解决这类图形规律问题，可按以下步骤思考：首先观察图案横向小正方形地砖的数量，第一问直接数出前两个图案横向的小地砖块数，乘每块地砖的边长就能得到对应长度；第二问先对应花纹砖块数n和横向小地砖数量的关系：n=1时横向地砖数为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，归纳出n块花纹砖对应的横向地砖数，再乘边长即可得到Lₙ的表达式。
【解析】
(1) 观察图1，第一个图案横向共有3块小正方形地砖，已知每块地砖边长为0.5m，因此：
$L_1=3×0.5=1.5\ \mathrm{m}$
观察图2，第二个图案横向共有5块小正方形地砖，因此：
$L_2=5×0.5=2.5\ \mathrm{m}$
(2) 观察规律：当花纹地砖为1块时，横向小地砖数量为$2×1+1=3$；当花纹地砖为2块时，横向小地砖数量为$2×2+1=5$；当花纹地砖为3块时，横向小地砖数量为$2×3+1=7$，以此类推，当花纹砖块数为n时，横向小地砖数量为$2n+1$。
因此长廊长度：
$L_n=0.5×(2n+1)=n+0.5$
【答案】
(1) $\boxed{1.5}$；$\boxed{2.5}$
(2) $\boxed{L_n=n+0.5}$（或$\boxed{L_n=0.5(2n+1)}$）
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题关键是通过观察图案的变化特征，归纳出花纹砖块数与长度方向小地砖数量的对应关系，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律问题，可按以下步骤思考：首先观察图案横向小正方形地砖的数量，第一问直接数出前两个图案横向的小地砖块数，乘每块地砖的边长就能得到对应长度；第二问先对应花纹砖块数n和横向小地砖数量的关系：n=1时横向地砖数为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，归纳出n块花纹砖对应的横向地砖数，再乘边长即可得到Lₙ的表达式。
【解析】
(1) 观察图1，第一个图案横向共有3块小正方形地砖，已知每块地砖边长为0.5m，因此：
$L_1=3×0.5=1.5\ \mathrm{m}$
观察图2，第二个图案横向共有5块小正方形地砖，因此：
$L_2=5×0.5=2.5\ \mathrm{m}$
(2) 观察规律：当花纹地砖为1块时，横向小地砖数量为$2×1+1=3$；当花纹地砖为2块时，横向小地砖数量为$2×2+1=5$；当花纹地砖为3块时，横向小地砖数量为$2×3+1=7$，以此类推，当花纹砖块数为n时，横向小地砖数量为$2n+1$。
因此长廊长度：
$L_n=0.5×(2n+1)=n+0.5$
【答案】
(1) $\boxed{1.5}$；$\boxed{2.5}$
(2) $\boxed{L_n=n+0.5}$（或$\boxed{L_n=0.5(2n+1)}$）
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题关键是通过观察图案的变化特征，归纳出花纹砖块数与长度方向小地砖数量的对应关系，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
变式 如图，这是一组有规律的图案，它们是由等边三角形组成的，第1个图案中有6个等边三角形，第2个图案中有10个等边三角形，第3个图案中有14个等边三角形……按此规律，第n个图案中有
$4n+2$
个等边三角形。（用含n的代数式表示）答案
$4n+2$
解析
【分析】
这是图形类规律探究题，解题思路如下：第一步先将已知图案的序号和对应等边三角形的个数对应罗列；第二步观察相邻两个图案的数量差，发现每次增加的个数固定为4，说明表达式是含n的一次式，一次项系数为4；第三步代入n=1的情况求出常数项，再用其他已知图案验证表达式是否正确即可。
【解析】
观察图案可得：
第1个图案中等边三角形的个数：$6=4×1+2$
第2个图案中等边三角形的个数：$10=4×2+2$
第3个图案中等边三角形的个数：$14=4×3+2$
第4个图案中等边三角形的个数：$18=4×4+2$
……
以此类推，第n个图案中等边三角形的个数为$4n+2$。
【答案】
$4n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究题型，核心是通过观察对比已知项的数量变化特征，找到固定的增量，再结合序号推导通用表达式，掌握此类题的分析方法后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
这是图形类规律探究题，解题思路如下：第一步先将已知图案的序号和对应等边三角形的个数对应罗列；第二步观察相邻两个图案的数量差，发现每次增加的个数固定为4，说明表达式是含n的一次式，一次项系数为4；第三步代入n=1的情况求出常数项，再用其他已知图案验证表达式是否正确即可。
【解析】
观察图案可得：
第1个图案中等边三角形的个数：$6=4×1+2$
第2个图案中等边三角形的个数：$10=4×2+2$
第3个图案中等边三角形的个数：$14=4×3+2$
第4个图案中等边三角形的个数：$18=4×4+2$
……
以此类推，第n个图案中等边三角形的个数为$4n+2$。
【答案】
$4n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究题型，核心是通过观察对比已知项的数量变化特征，找到固定的增量，再结合序号推导通用表达式，掌握此类题的分析方法后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
例2 观察下列各算式：
$1+3=4=2^2$，
$1+3+5=9=3^2$，
$1+3+5+7=16=4^2$，
…
(1)试猜想$1+3+5+7+\dots+2005+2007$的值。
(2)推广：求$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)+(2n+1)$的值。
$1+3=4=2^2$，
$1+3+5=9=3^2$，
$1+3+5+7=16=4^2$，
…
(1)试猜想$1+3+5+7+\dots+2005+2007$的值。
(2)推广：求$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)+(2n+1)$的值。
答案
(1)$1004^2$
(2)$(n+1)^2$
(2)$(n+1)^2$
解析
【分析】
首先观察给出的已知算式，可总结出核心规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于相加的奇数的总个数的平方。解题时先明确第m个奇数可以表示为2m-1，再通过算式的最后一项反推出相加的奇数总个数，代入规律即可求出结果。
【解析】
观察已知算式可得通用规律：从1开始的连续k个奇数的和等于k的平方，即$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$。
(1) 设$1+3+5+\dots+2007$中共有m个连续奇数，第m个奇数的表达式为$2m-1$，令$2m-1=2007$，
解得：$2m=2008$，$m=1004$，
即共有1004个连续奇数相加，根据规律可得原式的值为$1004^2$。
(2) 设$1+3+5+\dots+(2n+1)$中共有k个连续奇数，令$2k-1=2n+1$，
解得：$2k=2n+2$，$k=n+1$，
即共有n+1个连续奇数相加，根据规律可得原式的值为$(n+1)^2$。
【答案】
(1)$1004^2$
(2)$(n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究、奇数的表示、列代数式
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题关键是从特例中归纳出通用运算规律，再将规律应用到具体数值求解和一般式推广中，能有效锻炼观察、归纳与知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的已知算式，可总结出核心规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于相加的奇数的总个数的平方。解题时先明确第m个奇数可以表示为2m-1，再通过算式的最后一项反推出相加的奇数总个数，代入规律即可求出结果。
【解析】
观察已知算式可得通用规律：从1开始的连续k个奇数的和等于k的平方，即$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$。
(1) 设$1+3+5+\dots+2007$中共有m个连续奇数，第m个奇数的表达式为$2m-1$，令$2m-1=2007$，
解得：$2m=2008$，$m=1004$，
即共有1004个连续奇数相加，根据规律可得原式的值为$1004^2$。
(2) 设$1+3+5+\dots+(2n+1)$中共有k个连续奇数，令$2k-1=2n+1$，
解得：$2k=2n+2$，$k=n+1$，
即共有n+1个连续奇数相加，根据规律可得原式的值为$(n+1)^2$。
【答案】
(1)$1004^2$
(2)$(n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究、奇数的表示、列代数式
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题关键是从特例中归纳出通用运算规律，再将规律应用到具体数值求解和一般式推广中，能有效锻炼观察、归纳与知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
变式 已知一列数 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$，其中
$a_1=0,a_2=2a_1+1,a_3=2a_2+1,\dots,a_{n+1}$
$=2a_n+1$，则 $a_{2020} - a_{2019}$ 的个位数字是
$a_1=0,a_2=2a_1+1,a_3=2a_2+1,\dots,a_{n+1}$
$=2a_n+1$，则 $a_{2020} - a_{2019}$ 的个位数字是
4
。答案
4
解析：因为$a_1=0,a_2=1,a_3=3,a_4=7,a_5=15,a_6=31,a_7=63,a_8=127,a_9=255,\dots\dots$从$a_2$开始个位数字以1,3,7,5每4个一循环，则$(2020-1)÷4=504······3$，$(2019-1)÷4=504······2$，则$a_{2020}$的个位数字是7，$a_{2019}$的个位数字是3，则$a_{2020}-a_{2019}$的个位数字是4。
解析：因为$a_1=0,a_2=1,a_3=3,a_4=7,a_5=15,a_6=31,a_7=63,a_8=127,a_9=255,\dots\dots$从$a_2$开始个位数字以1,3,7,5每4个一循环，则$(2020-1)÷4=504······3$，$(2019-1)÷4=504······2$，则$a_{2020}$的个位数字是7，$a_{2019}$的个位数字是3，则$a_{2020}-a_{2019}$的个位数字是4。
解析
【分析】
本题是数列规律类题目，解题思路可分四步走：①先根据给出的递推公式计算前若干项的值，重点观察个位数字的变化特点；②找到个位数字的循环周期，因为最终求的是差的个位数字，只需关注个位即可，无需计算完整的大数；③分别计算$a_{2020}$、$a_{2019}$对应在循环周期中的位置，得到二者的个位数字；④将两个个位数字相减，即可得到结果。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项的值：
$a_1=0$，
$a_2=2a_1+1=2×0+1=1$，
$a_3=2a_2+1=2×1+1=3$，
$a_4=2a_3+1=2×3+1=7$，
$a_5=2a_4+1=2×7+1=15$，个位数字为5，
$a_6=2a_5+1=2×15+1=31$，个位数字为1，
$a_7=2a_6+1=2×31+1=63$，个位数字为3，
……
观察可得：从$a_2$开始，个位数字以1、3、7、5为一组，每4个一循环。
接下来确定$a_{2020}$和$a_{2019}$的个位数字：
因为循环从$a_2$开始，对应循环的第1位，所以对于$a_n$，用$(n-1)$除以循环周期4，余数对应循环中的位置（余1对应1，余2对应3，余3对应7，余0对应5）。
计算$a_{2020}$：$(2020-1)÷4=2019÷4=504······3$，余数为3，对应循环中第3个数字7，即$a_{2020}$的个位数字是7。
计算$a_{2019}$：$(2019-1)÷4=2018÷4=504······2$，余数为2，对应循环中第2个数字3，即$a_{2019}$的个位数字是3。
最后计算差的个位数字：$7-3=4$。
【答案】
4
【知识点】
规律探究问题，周期循环问题，有理数运算
【点评】
本题解题核心是通过计算前几项找到个位数字的循环周期，利用周期规律简化运算，避免了直接计算超大数的繁琐，考察了观察归纳和灵活处理问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是数列规律类题目，解题思路可分四步走：①先根据给出的递推公式计算前若干项的值，重点观察个位数字的变化特点；②找到个位数字的循环周期，因为最终求的是差的个位数字，只需关注个位即可，无需计算完整的大数；③分别计算$a_{2020}$、$a_{2019}$对应在循环周期中的位置，得到二者的个位数字；④将两个个位数字相减，即可得到结果。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项的值：
$a_1=0$，
$a_2=2a_1+1=2×0+1=1$，
$a_3=2a_2+1=2×1+1=3$，
$a_4=2a_3+1=2×3+1=7$，
$a_5=2a_4+1=2×7+1=15$，个位数字为5，
$a_6=2a_5+1=2×15+1=31$，个位数字为1，
$a_7=2a_6+1=2×31+1=63$，个位数字为3，
……
观察可得：从$a_2$开始，个位数字以1、3、7、5为一组，每4个一循环。
接下来确定$a_{2020}$和$a_{2019}$的个位数字：
因为循环从$a_2$开始，对应循环的第1位，所以对于$a_n$，用$(n-1)$除以循环周期4，余数对应循环中的位置（余1对应1，余2对应3，余3对应7，余0对应5）。
计算$a_{2020}$：$(2020-1)÷4=2019÷4=504······3$，余数为3，对应循环中第3个数字7，即$a_{2020}$的个位数字是7。
计算$a_{2019}$：$(2019-1)÷4=2018÷4=504······2$，余数为2，对应循环中第2个数字3，即$a_{2019}$的个位数字是3。
最后计算差的个位数字：$7-3=4$。
【答案】
4
【知识点】
规律探究问题，周期循环问题，有理数运算
【点评】
本题解题核心是通过计算前几项找到个位数字的循环周期，利用周期规律简化运算，避免了直接计算超大数的繁琐，考察了观察归纳和灵活处理问题的能力。
【难度系数】
0.6
例3 在月历表上,某些数满足一定的规律。如图,这是某月的月历表,用“田”字形方框任意框选月历表上的4个数字,设右上角的数字为$a$,则下列说法正确的是 (
A. 左上角的数字为$a+1$
B. 左下角的数字为$a+7$
C. 右下角的数字为$a+8$
D. 方框中的4个数相加,结果是4的倍数
变式 如图,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个数:2,第二行有2个数:4,6,……,第$n$行有$n$个数。探究其中的规律,则第$n$行从左至右第3个数不可能是 (
A. 36
B. 96
C. 226
D. 426
D
)A. 左上角的数字为$a+1$
B. 左下角的数字为$a+7$
C. 右下角的数字为$a+8$
D. 方框中的4个数相加,结果是4的倍数
变式 如图,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个数:2,第二行有2个数:4,6,……,第$n$行有$n$个数。探究其中的规律,则第$n$行从左至右第3个数不可能是 (
C
)A. 36
B. 96
C. 226
D. 426
答案
例3答案为D；变式答案为C。
解析：由题知，$2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,\dots$，所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n+1)$，则从第三行起，第$n$行从左至右第3个数可表示为$n(n-1)+6$（$n$为大于1的整数）。因为$5×6+6=36$，故A选项不符合题意。因为$9×10+6=96$，故B选项不符合题意。因为$14×15+6=216,15×16+6=246$，且$216＜226＜246$，故C选项符合题意。因为$20×21+6=426$，故D选项不符合题意。
解析：由题知，$2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,\dots$，所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n+1)$，则从第三行起，第$n$行从左至右第3个数可表示为$n(n-1)+6$（$n$为大于1的整数）。因为$5×6+6=36$，故A选项不符合题意。因为$9×10+6=96$，故B选项不符合题意。因为$14×15+6=216,15×16+6=246$，且$216＜226＜246$，故C选项符合题意。因为$20×21+6=426$，故D选项不符合题意。
解析
【分析】
例3解题思路：首先明确月历表的数字规律：同一行相邻数差1（左小右大），同一列相邻数差7（上小下大）。已知田字格右上角数字为a，根据四个数的位置关系分别表示出其余三个数，再逐一核对选项即可判断对错。
变式解题思路：先推导正偶数三角数阵的通用规律：第n行有n个连续正偶数，先计算前n-1行的数字总个数，结合“第k个正偶数为2k”得到第n-1行的最后一个数，进而推出第n行从左到右第3个数的代数式，最后将各选项数值代入验证，若求出的n是不小于3的正整数则该数可能出现，反之则不可能。
【解析】
例3解析
设田字格右上角数字为a：
1. 左上角数字与a同行且在a左侧，比a小1，为$a-1$，故A选项错误；
2. 左下角数字与左上角同列且在其下方，比左上角大7，为$(a-1)+7=a+6$，故B选项错误；
3. 右下角数字与左下角同行且在其右侧，比左下角大1，为$(a+6)+1=a+7$，故C选项错误；
4. 四个数的和为$(a-1)+a+(a+6)+(a+7)=4a+12=4(a+3)$，显然是4的倍数，故D选项正确。
变式解析
1. 前$n-1$行的数字总个数为$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，所有数都是正偶数，第k个正偶数为$2k$，因此第$n-1$行最后一个数为$2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$；
2. 第n行的数从左到右依次比前一个大2，因此第n行从左至右第3个数为$n(n-1)+6$（$n≥3$，n为正整数）；
3. 逐一验证选项：
A：令$n(n-1)+6=36$，得$n(n-1)=30$，正整数解$n=6$，故36可能出现，不符合题意；
B：令$n(n-1)+6=96$，得$n(n-1)=90$，正整数解$n=10$，故96可能出现，不符合题意；
C：令$n(n-1)+6=226$，得$n(n-1)=220$，无符合要求的正整数解（$14×15=210$，$15×16=240$），故226不可能出现，符合题意；
D：令$n(n-1)+6=426$，得$n(n-1)=420$，正整数解$n=21$，故426可能出现，不符合题意。
【答案】
例3选D；变式选C
【知识点】
代数式规律探究、月历数字规律、列代数式
【点评】
这两道题是代数式规律探究的典型题型，例3结合生活常见的月历考查数字规律，变式结合数阵考查规律推导能力，解题核心是先提炼数字间的通用规律，用字母表示出所求量后再验证判断，能有效锻炼逻辑推理和代数式应用能力。
【难度系数】
0.65
例3解题思路：首先明确月历表的数字规律：同一行相邻数差1（左小右大），同一列相邻数差7（上小下大）。已知田字格右上角数字为a，根据四个数的位置关系分别表示出其余三个数，再逐一核对选项即可判断对错。
变式解题思路：先推导正偶数三角数阵的通用规律：第n行有n个连续正偶数，先计算前n-1行的数字总个数，结合“第k个正偶数为2k”得到第n-1行的最后一个数，进而推出第n行从左到右第3个数的代数式，最后将各选项数值代入验证，若求出的n是不小于3的正整数则该数可能出现，反之则不可能。
【解析】
例3解析
设田字格右上角数字为a：
1. 左上角数字与a同行且在a左侧，比a小1，为$a-1$，故A选项错误；
2. 左下角数字与左上角同列且在其下方，比左上角大7，为$(a-1)+7=a+6$，故B选项错误；
3. 右下角数字与左下角同行且在其右侧，比左下角大1，为$(a+6)+1=a+7$，故C选项错误；
4. 四个数的和为$(a-1)+a+(a+6)+(a+7)=4a+12=4(a+3)$，显然是4的倍数，故D选项正确。
变式解析
1. 前$n-1$行的数字总个数为$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，所有数都是正偶数，第k个正偶数为$2k$，因此第$n-1$行最后一个数为$2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$；
2. 第n行的数从左到右依次比前一个大2，因此第n行从左至右第3个数为$n(n-1)+6$（$n≥3$，n为正整数）；
3. 逐一验证选项：
A：令$n(n-1)+6=36$，得$n(n-1)=30$，正整数解$n=6$，故36可能出现，不符合题意；
B：令$n(n-1)+6=96$，得$n(n-1)=90$，正整数解$n=10$，故96可能出现，不符合题意；
C：令$n(n-1)+6=226$，得$n(n-1)=220$，无符合要求的正整数解（$14×15=210$，$15×16=240$），故226不可能出现，符合题意；
D：令$n(n-1)+6=426$，得$n(n-1)=420$，正整数解$n=21$，故426可能出现，不符合题意。
【答案】
例3选D；变式选C
【知识点】
代数式规律探究、月历数字规律、列代数式
【点评】
这两道题是代数式规律探究的典型题型，例3结合生活常见的月历考查数字规律，变式结合数阵考查规律推导能力，解题核心是先提炼数字间的通用规律，用字母表示出所求量后再验证判断，能有效锻炼逻辑推理和代数式应用能力。
【难度系数】
0.65
