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问题 如果$(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，求$m,n$的值.
名师指导
既然$(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，则必须满足未知数$x$的次数等于1且未知数$x$的系数不等于0.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
既然$(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，则必须满足未知数$x$的次数等于1且未知数$x$的系数不等于0.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
∵ $(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 未知数$x$的次数等于1，且$x$的系数不为0，
可得：
$m-2=1$，且$n-3≠0$，
由$m-2=1$，解得$m=3$，
由$n-3≠0$，解得$n≠3$。
综上，$m=3$，$n$是不等于3的数。
∵ $(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 未知数$x$的次数等于1，且$x$的系数不为0，
可得：
$m-2=1$，且$n-3≠0$，
由$m-2=1$，解得$m=3$，
由$n-3≠0$，解得$n≠3$。
综上，$m=3$，$n$是不等于3的数。
解析
【分析】
解答这道题首先要明确一元一次方程的核心判定条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0。题目说明方程是关于x的一元一次方程，因此我们可以从两个维度推导：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0，否则方程将不含x项，不符合一元一次方程的要求，再分别根据这两个条件列式求解即可。
【解析】
∵ $(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 需满足：未知数$x$的次数等于1，且$x$的系数不为0，
由此可得：
$m-2=1$，且$n-3≠0$，
解$m-2=1$，移项得$m=1+2=3$，
解$n-3≠0$，移项得$n≠3$。
【答案】
$m=3$，$n$是不等于3的数
【知识点】
一元一次方程定义；一元一次方程判定；简单不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程模块的基础题型，重点考查对一元一次方程定义的理解，解题时需特别注意“未知数系数不为0”这个容易被忽略的隐含条件，避免错解。
【难度系数】
0.8
解答这道题首先要明确一元一次方程的核心判定条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0。题目说明方程是关于x的一元一次方程，因此我们可以从两个维度推导：一是x的次数必须等于1，二是x的系数不能为0，否则方程将不含x项，不符合一元一次方程的要求，再分别根据这两个条件列式求解即可。
【解析】
∵ $(n-3)x^{m-2}-4=8$是关于$x$的一元一次方程，
∴ 需满足：未知数$x$的次数等于1，且$x$的系数不为0，
由此可得：
$m-2=1$，且$n-3≠0$，
解$m-2=1$，移项得$m=1+2=3$，
解$n-3≠0$，移项得$n≠3$。
【答案】
$m=3$，$n$是不等于3的数
【知识点】
一元一次方程定义；一元一次方程判定；简单不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程模块的基础题型，重点考查对一元一次方程定义的理解，解题时需特别注意“未知数系数不为0”这个容易被忽略的隐含条件，避免错解。
【难度系数】
0.8
1. 若$x=2$是关于$x$的一元一次方程$ax+3=b$的解，则$6a-3b+2$的值是（
A.$-1$
B.$-7$
C.$7$
D.$11$
B
）A.$-1$
B.$-7$
C.$7$
D.$11$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从“方程的解”的定义入手，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此先把x=2代入给定的一元一次方程，得到a与b的数量关系；再观察待求代数式的结构，发现可以通过变形将a、b的数量关系整体代入计算，不需要单独求出a、b的具体值即可得到结果。
【解析】
∵ x=2是方程$ax+3=b$的解
∴ 将x=2代入方程，得：$2a + 3 = b$
整理可得：$2a - b = -3$
对待求式变形：$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入上式，得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心是掌握方程的解的定义，解题时要注意观察所求代数式和参数关系式的联系，运用整体代入的思想可以简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
解题时先从“方程的解”的定义入手，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此先把x=2代入给定的一元一次方程，得到a与b的数量关系；再观察待求代数式的结构，发现可以通过变形将a、b的数量关系整体代入计算，不需要单独求出a、b的具体值即可得到结果。
【解析】
∵ x=2是方程$ax+3=b$的解
∴ 将x=2代入方程，得：$2a + 3 = b$
整理可得：$2a - b = -3$
对待求式变形：$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入上式，得：
$3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题是基础计算题，核心是掌握方程的解的定义，解题时要注意观察所求代数式和参数关系式的联系，运用整体代入的思想可以简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.7
2. 已知方程$(m-2)x^{|m|-1}+3=m-5$是关于$x$的一元一次方程.
(1) 求$m$的值；
(2) 写出关于$x$的一元一次方程；
(3) 求$2m^2 -2(m^2 -2m +1)$的值.
(1) 求$m$的值；
(2) 写出关于$x$的一元一次方程；
(3) 求$2m^2 -2(m^2 -2m +1)$的值.
答案
(1) $m=-2$；
(2) $-4x+3=-7$；
(3) $-10$.
(2) $-4x+3=-7$；
(3) $-10$.
解析
【分析】
解决本题需要紧扣一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0。
(1)求m的值时，先根据未知数次数为1列等式求m的可能值，再根据系数不为0排除不符合的取值，即可得到m的正确值；
(2)将求出的m值代入原方程，分别计算左右两边的常数项和x的系数，整理即可得到对应的一元一次方程；
(3)先对所求代数式进行去括号、合并同类项化简，再代入m的值计算，比直接代入计算更简便。
【解析】
(1) 因为方程$(m-2)x^{|m|-1}+3=m-5$是关于x的一元一次方程，所以需满足两个条件：
① 未知数x的次数为1：$|m|-1=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
② 未知数x的系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m=-2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程：
左边x的系数为$m-2=-2-2=-4$，右边常数项为$m-5=-2-5=-7$，
所以对应的一元一次方程为：$-4x+3=-7$。
(3) 先化简代数式$2m^2 -2(m^2 -2m +1)$：
去括号得：$2m^2 -2m^2 +4m -2$，
合并同类项得：$4m -2$。
将$m=-2$代入化简后的式子：
$4×(-2)-2=-8-2=-10$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) $-4x+3=-7$；
(3) $-10$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解与应用，解题时需注意不要遗漏系数不为0的限制条件，代数式求值类问题优先化简再代入计算，可有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解决本题需要紧扣一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不为0。
(1)求m的值时，先根据未知数次数为1列等式求m的可能值，再根据系数不为0排除不符合的取值，即可得到m的正确值；
(2)将求出的m值代入原方程，分别计算左右两边的常数项和x的系数，整理即可得到对应的一元一次方程；
(3)先对所求代数式进行去括号、合并同类项化简，再代入m的值计算，比直接代入计算更简便。
【解析】
(1) 因为方程$(m-2)x^{|m|-1}+3=m-5$是关于x的一元一次方程，所以需满足两个条件：
① 未知数x的次数为1：$|m|-1=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
② 未知数x的系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m=-2$。
(2) 将$m=-2$代入原方程：
左边x的系数为$m-2=-2-2=-4$，右边常数项为$m-5=-2-5=-7$，
所以对应的一元一次方程为：$-4x+3=-7$。
(3) 先化简代数式$2m^2 -2(m^2 -2m +1)$：
去括号得：$2m^2 -2m^2 +4m -2$，
合并同类项得：$4m -2$。
将$m=-2$代入化简后的式子：
$4×(-2)-2=-8-2=-10$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) $-4x+3=-7$；
(3) $-10$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查对一元一次方程定义的理解与应用，解题时需注意不要遗漏系数不为0的限制条件，代数式求值类问题优先化简再代入计算，可有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
3. 张新和李明相约到图书城去买书,请你根据他们的对话内容,求出李明上次所买书籍的原价总和.(只列方程)
答案
设书籍的原价为$x$元，则有$x-(0.8x+20)=12$.
解析
【分析】
要解决这个列方程的问题，首先确定未知量：题目要求书籍的原价总和，我们将其设为未知数$x$。接下来找等量关系：题目中“办卡后还省了12元”，说明不办卡的总花费（即书籍原价）减去办卡后的总花费，等于省下的12元。办卡后的总花费包含两部分：一是打八折后的书钱（原价的80%，即$0.8x$），二是20元的办卡费用，将两部分相加就是办卡的总支出，再对应等量关系就能列出方程。
【解析】
解：设李明上次所买书籍的原价总和为$x$元。
1. 办卡后总花费：打八折的购书费用为$0.8x$元，加上办卡费20元，合计$(0.8x+20)$元。
2. 根据“办卡比不办卡省12元”的等量关系：原价 - 办卡总花费 = 节省的金额，代入对应量即可列方程。
【答案】
设书籍的原价为$x$元，则有$x-(0.8x+20)=12$。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，等量关系确定
【点评】
本题是贴近生活的方程应用题，解题关键是理清两种消费方式的总金额，抓住“省了12元”的核心表述建立等量关系，逻辑清晰就能顺利列写方程。
【难度系数】
0.8
要解决这个列方程的问题，首先确定未知量：题目要求书籍的原价总和，我们将其设为未知数$x$。接下来找等量关系：题目中“办卡后还省了12元”，说明不办卡的总花费（即书籍原价）减去办卡后的总花费，等于省下的12元。办卡后的总花费包含两部分：一是打八折后的书钱（原价的80%，即$0.8x$），二是20元的办卡费用，将两部分相加就是办卡的总支出，再对应等量关系就能列出方程。
【解析】
解：设李明上次所买书籍的原价总和为$x$元。
1. 办卡后总花费：打八折的购书费用为$0.8x$元，加上办卡费20元，合计$(0.8x+20)$元。
2. 根据“办卡比不办卡省12元”的等量关系：原价 - 办卡总花费 = 节省的金额，代入对应量即可列方程。
【答案】
设书籍的原价为$x$元，则有$x-(0.8x+20)=12$。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，等量关系确定
【点评】
本题是贴近生活的方程应用题，解题关键是理清两种消费方式的总金额，抓住“省了12元”的核心表述建立等量关系，逻辑清晰就能顺利列写方程。
【难度系数】
0.8
如果$(m-1)x^2 +5nx -2a=0$是关于$x$的一元一次方程，则一定有（
A.$m=-1$，$n≠0$，$a$为任意数
B.$m=1$，$n,a$为任意数
C.$m=1$，$n≠0$，$a$为任意数
D.$m=1$，$n≠0$，$a≠0$
C
）A.$m=-1$，$n≠0$，$a$为任意数
B.$m=1$，$n,a$为任意数
C.$m=1$，$n≠0$，$a$为任意数
D.$m=1$，$n≠0$，$a≠0$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的定义要点：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、是整式方程，且含未知数的项的系数不能为0。解题时我们可以按以下步骤思考：第一步，先处理二次项，要让方程没有二次项，必须让二次项的系数为0，由此求出m的值；第二步，要保证方程有一次项，一次项的系数不能为0，由此得到n的取值要求；第三步，常数项的取值不会影响方程的次数和未知数的存在，所以a没有额外限制，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，对给定方程分析如下：
1. 消除二次项：方程中二次项为$(m-1)x^2$，要使方程最高次数为1，需二次项系数为0，即：
$m-1=0$，解得$m=1$；
2. 保证一次项存在：一次项为$5nx$，其系数不能为0，否则方程不含未知数x，不满足一元一次方程的要求，即：
$5n≠0$，解得$n≠0$；
3. 常数项$-2a$的取值不影响方程是一元一次方程，因此a可以为任意数。
综上，$m=1$，$n≠0$，a为任意数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定；项的系数要求
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元一次方程定义的准确掌握，容易出错的地方是忽略一次项系数不能为0的限制，或者错误认为常数项也有取值要求，牢记一元一次方程的核心要点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆一元一次方程的定义要点：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、是整式方程，且含未知数的项的系数不能为0。解题时我们可以按以下步骤思考：第一步，先处理二次项，要让方程没有二次项，必须让二次项的系数为0，由此求出m的值；第二步，要保证方程有一次项，一次项的系数不能为0，由此得到n的取值要求；第三步，常数项的取值不会影响方程的次数和未知数的存在，所以a没有额外限制，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，对给定方程分析如下：
1. 消除二次项：方程中二次项为$(m-1)x^2$，要使方程最高次数为1，需二次项系数为0，即：
$m-1=0$，解得$m=1$；
2. 保证一次项存在：一次项为$5nx$，其系数不能为0，否则方程不含未知数x，不满足一元一次方程的要求，即：
$5n≠0$，解得$n≠0$；
3. 常数项$-2a$的取值不影响方程是一元一次方程，因此a可以为任意数。
综上，$m=1$，$n≠0$，a为任意数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；整式方程的判定；项的系数要求
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元一次方程定义的准确掌握，容易出错的地方是忽略一次项系数不能为0的限制，或者错误认为常数项也有取值要求，牢记一元一次方程的核心要点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
