25. 📺新考法 新定义问题(2026无锡江阴月考)(12分)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角.如图1,若$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$,则$∠ COD$是$∠ AOB$的内半角.
(1)如图1,已知$∠ AOB=70°,∠ AOC=15°,∠ COD$是$∠ AOB$的内半角,则$∠ BOD=$.
(2)如图2,已知$∠ AOB=63°$,将$∠ AOB$绕点$O$按顺时针方向旋转$α(0°＜α＜63°)$至$∠ COD$,当旋转角$α$为多少度时,$∠ COB$是$∠ AOD$的内半角?
(3)如图3,已知$∠ AOB=30°$,把一块含有$30°$角的三角板叠放在$∠ AOB$上,将三角板绕顶点$O$以$3°/\mathrm{s}$的速度按顺时针方向旋转(如图4),在旋转一周的过程中,射线$OD$始终在$∠ AOB$的外部,射线$OA,OB,OC,OD$能否构成内半角?若能,请求出旋转的时间;若不能,请说明理由.

封
线

$\boldsymbol{20°}$。
(2)
由旋转的性质得：$∠AOC = ∠BOD = α$，$∠COD = ∠AOB = 63°$，
∴$∠COB = ∠AOB - ∠AOC = 63° - α$，
$∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 63° + α$。
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴$∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，
即 $63° - α = \frac{1}{2}(63° + α)$，
解得：$α = 21°$。
答：当旋转角α为$21°$时，∠COB是∠AOD的内半角。
(3)
能。设旋转的时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得旋转角为$3t°$（$0 ＜ t ≤ 120$），$∠COD = 30°$，$∠AOB = 30°$，分四种情况讨论：
① 当$0 ＜ 3t ＜ 30$，即$0 ＜ t ＜ 10$时，
$∠COB = 30° - 3t°$，$∠AOD = 30° + 3t°$，
令$∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，得：
$30 - 3t = \frac{1}{2}(30 + 3t)$，
解得$t = \frac{10}{3}$；
② 当$30 ＜ 3t ＜ 180$，即$10 ＜ t ＜ 60$时，
$∠COB = 3t° - 30°$，$∠AOD = 30° + 3t°$，
令$∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，得：
$3t - 30 = \frac{1}{2}(30 + 3t)$，
解得$t = 30$；
③ 当$180 ＜ 3t ＜ 210$，即$60 ＜ t ＜ 70$时，
$∠AOD = 360° + 30° - 3t°$，$∠COB = 360° - 3t° - 30°$，
令$∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，得：
$330 - 3t = \frac{1}{2}(390 - 3t)$，
解得$t = 90$；
④ 当$210 ＜ 3t ＜ 360$，即$70 ＜ t ≤ 120$时，
$∠AOD = 360° + 30° - 3t°$，$∠COB = 3t° - 60°$，
令$∠COB = \frac{1}{2}∠AOD$，得：
$3t - 60 = \frac{1}{2}(390 - 3t)$，
解得$t = \frac{170}{3}$。
答：旋转的时间为$\frac{10}{3}\ \mathrm{s}$、$30\ \mathrm{s}$、$90\ \mathrm{s}$、$\frac{170}{3}\ \mathrm{s}$。

解：
(1)
∵∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD = $\frac{1}{2}∠AOB$ = $\frac{1}{2}×70°$ = $35°$，
∴∠BOD = $∠AOB - ∠AOC - ∠COD$ = $70° - 15° - 35°$ = $20°$。