7.如果二次函数$y=a(x+3)^2$有最大值，那么a0，当x=时，函数的最大值是。

7. $＜$ $-3$ $0$

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值。2. 函数的顶点坐标为$(h,0)$，顶点是函数取最值的位置。首先根据函数有最大值判断$a$的符号，再将给出的函数式变形为标准顶点式找到$h$的值，即可得到取最大值时的$x$值和最大值。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-h)^2$：
① 若函数有最大值，说明抛物线开口向下，因此$a＜0$；
② 题中函数为$y=a(x+3)^2$，可改写为$y=a[x-(-3)]^2$，对应顶点式可得$h=-3$，顶点坐标为$(-3, 0)$；
③ 开口向下的抛物线顶点是最高点，因此当$x=-3$时，函数取得最大值，最大值为$0$。
【答案】
$＜$；$-3$；$0$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值；二次函数开口方向
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，熟练掌握$a$的符号与开口方向、最值的对应关系，以及顶点坐标的推导是解题关键。
【难度系数】
0.9

8.已知抛物线$y=-3x^2$，若抛物线不动，把y轴向右平移3个单位长度，那么在新平面直角坐标系下抛物线对应的函数解析式为

8. $y=-3(x+3)^2$

【分析】
解决这道题的核心是理解坐标系平移和图形平移的相对性：y轴向右平移3个单位，相当于新坐标系相对于原坐标系向右平移了3个单位，反过来就是抛物线相对于新坐标系向左平移了3个单位。接下来只需要结合二次函数左右平移的“左加右减”规则，对原解析式的x项进行调整即可。
【解析】
步骤1：转化平移关系
y轴向右平移3个单位，等价于抛物线相对于新的平面直角坐标系向左平移了3个单位长度。
步骤2：应用二次函数平移规律
对于二次函数$y=ax^2$，左右平移时遵循“左加右减”的规则（即向左平移$m$个单位，将$x$替换为$x+m$；向右平移$m$个单位，将$x$替换为$x-m$）。
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，向左平移3个单位，将$x$替换为$x+3$，代入得新解析式：
$y=-3(x+3)^2$
【答案】
$y=-3(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 坐标系平移的相对性
【点评】
本题是二次函数平移和坐标系平移结合的基础题，易错点是容易混淆平移方向，解题时需牢记坐标系的平移方向和图形相对平移方向相反，再结合“左加右减”的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.6

9.抛物线$y=a(x+h)^2$的对称轴是$x=-1$，且过点$(2,-3)$。
(1)求抛物线对应的函数解析式，并求出其顶点坐标。
(2)当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而增大？
(3)求将(1)中的抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式。

(1) 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(2) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) $y=-\dfrac{1}{3}(x-2)^2$。

【分析】
（1）先利用二次函数顶点式$y=a(x+h)^2$的对称轴公式$x=-h$，结合已知对称轴$x=-1$求出$h$的值，再将点$(2,-3)$代入解析式求出$a$的值，即可得到函数解析式，顶点式的顶点坐标可直接从解析式中得出；（2）根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可确定$y$随$x$增大而增大的$x$的取值范围；（3）根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，对$x$进行变换即可得到平移后的解析式。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=a(x+h)^2$的对称轴是直线$x=-h$，由题意对称轴为$x=-1$，因此：
$-h=-1$，解得$h=1$，
此时抛物线解析式为$y=a(x+1)^2$，将点$(2,-3)$代入得：
$-3=a×(2+1)^2$，即$9a=-3$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$，
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$，其顶点坐标为$(-1,0)$。
(2) 由$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
因此在对称轴左侧，即当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，将抛物线向右平移3个单位长度，即将解析式中的$x$替换为$x-3$，可得：
$y=-\dfrac{1}{3}(x-3+1)^2=-\dfrac{1}{3}(x-2)^2$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{3}(x+1)^2$，顶点坐标为$(-1,0)$。
(2) 当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) $y=-\dfrac{1}{3}(x-2)^2$。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数平移规律
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，涵盖了待定系数法求解析式、增减性判断以及图象平移变换三个核心考点，都是二次函数的基础内容，熟练掌握顶点式的相关性质和平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数$y=(x-1)^2$的图象，并根据图象解决下列问题：

(1)当$-2≤ x≤2$时，求$y$的取值范围.
(2)$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？

图象略。
(1)$0≤ y≤9$
(2)$x≥1$

【分析】
首先明确二次函数$y=(x-1)^2$属于顶点式$y=a(x-h)^2$，先提取核心性质：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
对于(1)问求指定区间内$y$的取值范围：开口向上的抛物线顶点为最低点，因此函数最小值为顶点的纵坐标；再比较区间端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点函数值越大，即可得到区间内的最大值，进而得到$y$的范围。
对于(2)问判断$y$随$x$增大而增大的区间：开口向上的抛物线，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴即可直接得到对应$x$的取值范围。
（画图可通过列表取$x=-1、0、1、2、3$，对应得$y=4、1、0、1、4$，描点连线即可得到函数图象）
【解析】
二次函数$y=(x-1)^2$的性质：$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
(1) 因为抛物线开口向上，顶点为函数的最低点，因此当$x=1$时，$y$取最小值$0$；
计算区间端点的函数值：当$x=-2$时，$y=(-2-1)^2=9$；当$x=2$时，$y=(2-1)^2=1$；
对比得区间内最大值为$9$，因此当$-2≤ x≤2$时，$y$的取值范围是$0≤ y≤9$。
(2) 由于抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，该函数对称轴为$x=1$，因此当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
图象略。
(1)$0≤ y≤9$
(2)$x≥1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础应用题，核心考查开口方向、对称轴、增减性以及区间最值的求解，熟练掌握顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

11. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y=(x-h)^2$的顶点为$B(2,0)$,与y轴交于点A,过点A作$AC⊥y$轴,交该抛物线于点C,连接BC,以AC,BC为边作$□ ACBD$,点D在x轴的负半轴上.
(1)求该抛物线对应的函数解析式;
(2)求点D的坐标及$□ ACBD$的面积.

(1)$y=(x-2)^2$
(2) 点 D 的坐标为$(-2,0)$，$□ ACBD$ 的面积为 16。

【分析】
(1) 已知抛物线解析式为顶点式$y=(x-h)^2$，且给出顶点B的坐标，直接根据顶点式的参数意义代入h的值即可求出解析式。
(2) 先求抛物线与y轴交点A的坐标，再根据AC垂直y轴的特征求出C点坐标，得到AC的长度；之后利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合B点坐标求出D点坐标；最后用平行四边形底乘高的面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，已知顶点为$B(2,0)$，因此$h=2$，代入得抛物线对应的函数解析式为$y=(x-2)^2$。
(2) ①求点A坐标：
y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=(x-2)^2$，得$y=(0-2)^2=4$，故$A(0,4)$。
②求点C坐标：
$\because AC⊥ y$轴，$\therefore$AC平行于x轴，C点纵坐标与A点相等，即$y=4$。
将$y=4$代入$y=(x-2)^2$，得$(x-2)^2=4$，解得$x_1=4$，$x_2=0$（$x=0$对应点A，舍去），故$C(4,4)$，$AC=4-0=4$。
③求点D坐标：
$\because$四边形ACBD是平行四边形，$\therefore BD// AC$，$BD=AC=4$。
$\because$BD在x轴上，$B(2,0)$，点D在x轴负半轴，$\therefore$D点横坐标为$2-4=-2$，纵坐标为0，即$D(-2,0)$。
④求$□ ACBD$的面积：
平行四边形的底$AC=4$，高为A点到x轴的距离，即A点纵坐标的长度4，因此面积$S=4×4=16$。
【答案】
(1)$y=(x-2)^2$
(2) 点D的坐标为$(-2,0)$，$□ ACBD$的面积为16。
【知识点】
二次函数顶点式；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，能准确求出抛物线上特殊点的坐标，再结合平行四边形的性质求解对应量，考查学生的基础计算能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7