7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,先将$△ ABC$沿$AB$向下翻折,再绕点$A$按顺时针方向旋转$∠α(∠α＜∠ BAC)$,得到$Rt△ ADE$,其中斜边$AE$交$BC$于点$F$,直角边$DE$分别交$AB$,$BC$于点$G$,$H$.
求证:(1)$∠ AFC=∠ AGD$.
(2)$△ AFB≌△ AGE$.

7. 证明:(1)由翻折和旋转,知 $AC=AD$,
$∠ BAC=∠ EAD$,
所以$∠ FAC=∠ GAD$.
因为 $∠ AFC = 90° - ∠ FAC, ∠ AGD = 90°-∠ GAD$,
所以$∠ AFC=∠ AGD$.
(2)由题意,得 $AB=AE,∠ ABC=∠ E$.
在$△ AFB$ 和$△ AGE$ 中,
$\begin{cases}∠ ABC=∠ E,\\AB=AE,\\∠ α=∠ α,\end{cases}$
所以$△ AFB≌△ AGE(\mathrm{ASA})$.

8.(综合与实践)某数学研究小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下.
| 课题 | 测量教学楼的高度$AB$ |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测角仪、皮尺等 |
| 测量示意图 | |
| 测量说明 | 如图，$CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，甲同学在小树$CD$与楼$AB$之间的点$E$处，分别测得$∠ AEB=∠β$，$∠ CED=∠α$，发现$∠α$与$∠β$互余 |
| 测量数据 | $BE=DC=9\ \mathrm{m}$，$BD=30\ \mathrm{m}$ |
请你根据上述信息求出教学楼的高度$AB$.

8. 解:教学楼的高度 $AB$ 为 21 m.

9.如图，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$D$为$BC$的中点，$BE⊥ BC$，$CE⊥ AD$，垂足分别为$B$，$G$，那么$AD=CE$，$BD=BE$.这两个结论是否正确？为什么？

9. 解:这两个结论都是正确的.理由如下:
因为$∠ ACB=90°,CE⊥ AD$,
所以 $∠ ECB + ∠ ACG = 90°, ∠ ACG + ∠ DAC=90°$.
所以$∠ ECB=∠ DAC$.
又因为$∠ ACB=∠ CBE=90°,AC=BC$,
所以$△ ACD≌△ CBE(\mathrm{ASA})$.
所以 $AD=CE,CD=BE$.
又因为 $D$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $CD=BD$,所以 $BD=BE$.

10.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE。
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE。
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，线段DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

10. (1)证 明: ① 因为 $∠ ADC = ∠ ACB = ∠ BEC=90°$,
所以 $∠ CAD + ∠ ACD = 90°, ∠ ACD + ∠ BCE=90°$.
所以$∠ CAD=∠ BCE$.
因为 $AC=BC$,
所以$△ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$.
②由①,知$△ ADC≌△ CEB$,
所以 $AD=CE,CD=BE$.
所以 $DE=CE+CD=AD+BE$.
(2) 证 明: 因为 $∠ ADC = ∠ CEB = ∠ ACB=90°$,
所以$∠ ACD=∠ CBE$.
又因为 $AC=BC$,
所以$△ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS})$.
所以 $AD=CE,CD=BE$,
所以 $DE=CE-CD=AD-BE$.
(3) 解: $DE = BE - AD$ (或 $AD = BE - DE,BE=AD+DE$).理由如下:
因为$∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$,
所以$∠ ACD=∠ CBE$.
又因为 $AC=BC$,
所以$△ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS})$.
所以 $AD=CE,CD=BE$,
所以 $DE=CD-CE=BE-AD$.